基于Bootstrap原理的立靶密集度估計(jì)

彭峰生，舒林森，寧瑋

(陜西理工學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

[摘要]闡明了Bootstrap抽樣的理論和方法，著重對該方法的置信區(qū)間等參數(shù)估計(jì)作了詳細(xì)研究，應(yīng)用該方法進(jìn)行了火炮射擊立靶密集度估計(jì)實(shí)例分析，結(jié)果表明該方法對小樣本參數(shù)估計(jì)問題有較高的實(shí)用價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]統(tǒng)計(jì)與概率；Bootstrap理論；Monte Carlo抽樣；參數(shù)估計(jì)；立靶密集度

[文章編號]1673-2944(2015)05-0066-04

[中圖分類號]O212.2

收稿日期：2015-03-19

基金項(xiàng)目：陜西省教育廳科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目(15JK1142)

作者簡介：彭峰生(1972—)，男，陜西省漢中市人，陜西理工學(xué)院高級工程師，博士，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜機(jī)電系統(tǒng)分析。

長期以來，小子樣參數(shù)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)分析問題困擾著許多工程實(shí)踐工作，一些重大項(xiàng)目的試驗(yàn)樣機(jī)數(shù)量很少，一般只有有限的幾個(gè)，甚至只有唯一的一件樣機(jī)。這種情況下，通過現(xiàn)場試驗(yàn)測試的數(shù)據(jù)十分寶貴而有限。如何在少量測試數(shù)據(jù)的條件下，找出數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性和規(guī)律，為樣機(jī)的改進(jìn)提供指導(dǎo)依據(jù)，給工程試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析人員帶來挑戰(zhàn)。

Bootstrap方法[1-2]由美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Efron首次系統(tǒng)地提出，該方法并不需要對總體分布作假設(shè)或事先推導(dǎo)估計(jì)量的解析式，它要做的僅僅是重構(gòu)樣本并不斷計(jì)算估計(jì)值，本質(zhì)上是一種非參數(shù)方法[3]。在分布類型未知的情況下，Bootstrap方法為我們提供了解決此類問題的另一種有效思路。

本文通過研究Bootstrap方法和有關(guān)統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)的理論，采用樣本數(shù)據(jù)重復(fù)抽樣的方法增大研究對象的數(shù)據(jù)樣本容量，在此基礎(chǔ)上提出參數(shù)估計(jì)的方法和步驟，并給出參數(shù)估計(jì)的誤差分析與估計(jì)辦法。最后通過一個(gè)工程實(shí)例的小樣本條件下數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)計(jì)算，初步驗(yàn)證了所提出的方法。

1Bootstrap方法參數(shù)估計(jì)原理

樣本參數(shù)θ是分布函數(shù)F的函數(shù)，記作θ=θ(F)。當(dāng)我們將樣本看作總體來處理時(shí)，樣本分布函數(shù)的估計(jì)參數(shù)應(yīng)該是總體參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì)。參數(shù)估計(jì)的步驟如下[6]：

(2)重復(fù)(1)中的過程B次，B是一個(gè)足夠大的整數(shù)，由此獲得了B個(gè)容量為n的Bootstrap樣本；

2Bootstrap抽樣的置信區(qū)間

大多數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷涉及到分布參數(shù)的估計(jì)。最常見的是近似置信區(qū)間估計(jì)，就是使用樣本參數(shù)確定特殊區(qū)間的一種方法[7]。理想的區(qū)間有如下兩個(gè)特性：(1)該區(qū)間包含了參數(shù)θ；(2)區(qū)間相對來說是較窄的。區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)稱作上、下置信限，它們是隨機(jī)樣本的函數(shù)，因而也是隨機(jī)變量。因此，由一個(gè)樣本計(jì)算出的區(qū)間不一定包含θ。當(dāng)然，如果采用一種合適的區(qū)間估計(jì)法，不斷地重復(fù)取樣，那么將從每個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生的估計(jì)區(qū)間之中，確定得到以概率C包含參數(shù)θ的估計(jì)區(qū)間。置信度C定義為置信區(qū)間包含θ的近似概率。因此，如果C很大(接近于1)，則我們完全可以確信由單個(gè)樣本計(jì)算出的置信區(qū)間包含參數(shù)θ。

2.1　標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間

(1)

(2)

(3)

(4)

這里η～N(0，1)，當(dāng)樣本容量n→+∞時(shí)，稱之為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間是根據(jù)η～N(0，1)分布推導(dǎo)出來的。

還可得到另一個(gè)更好的近似估計(jì)，設(shè)

(5)

式(5)表明η服從于n-1個(gè)自由度的t分布。定義置信度為100(1-α)%的標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間為

(6)

這里α=1-C稱為顯著性水平。

2.2　百分位置信區(qū)間

3應(yīng)用Bootstrap方法分析火炮射擊密集度

火炮用相同的射擊諸元對立靶進(jìn)行多發(fā)射擊，靶平面上彈著點(diǎn)的分布稱為彈著散布。大量統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)表明：單管火炮的射彈立靶散布服從正態(tài)分布[6]。

所有彈著點(diǎn)的平均坐標(biāo)稱為散布中心。以散布中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，鉛直向上為Y坐標(biāo)，水平向右為Z坐標(biāo)，建立直角坐標(biāo)系ZOY。假設(shè)射彈散布在Z和Y軸相互獨(dú)立，則射彈散布服從獨(dú)立二維正態(tài)分布，其分布密度為f(z,y)，即：

(7)

式中z和y分別為彈著點(diǎn)在Z和Y軸上的坐標(biāo)，σz和σy分別為彈著點(diǎn)在Z和Y軸上散布的均方差。

通過坐標(biāo)變換可得

(8)

r和θ仍然為獨(dú)立隨機(jī)變量，且有

(9)

稱r為彈著點(diǎn)的瑞利半徑，一定的半徑表示一條等概率密度橢圓線。式(8)和(9)就是用瑞利半徑表示的彈著散布概率密度的數(shù)學(xué)表達(dá)式[8]。

某型自動炮通過靶場射擊試驗(yàn)，取得一組立靶密集度數(shù)據(jù)(單位：m)：0.732，0.864，0.627，0.563，0.926，0.684，0.981。假設(shè)系統(tǒng)誤差為0，則由式(2)得標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.840 m，彈丸落入瑞利半徑R為1.5 m的圓內(nèi)的概率可由下式求出：

(10)

采用基于Bootstrap方法的蒙特卡洛仿真方法，通過仿真得到一組立靶密集度數(shù)據(jù)(單位：m)：0.685，0.669，0.673，0.907，0.589，0.801，0.602，0.724，0.826，0.705。將仿真數(shù)據(jù)與靶場測試試驗(yàn)數(shù)據(jù)組合，得到一組新的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：0.732，0.864，0.627，0.563，0.926，0.684，0.981，0.685，0.669，0.673，0.907，0.589，0.801，0.602，0.724，0.826，0.705。

同理，假定系統(tǒng)誤差為0，則由式(2)得σ=0.770 m，彈丸落入瑞利半徑R為1.5 m的圓內(nèi)的概率可由下式求出：

(11)

顯然，通過基于Bootstrap方法的蒙特卡洛仿真方法增加試驗(yàn)數(shù)據(jù)后，可以明顯提高參數(shù)評估的置信度水平。

4結(jié)束語

Bootstrap抽樣分析方法對于解決小樣本問題參數(shù)估計(jì)有獨(dú)特的優(yōu)勢。其方法簡單，可操作性強(qiáng)，只要對初始樣本多次重復(fù)隨機(jī)抽樣，就可構(gòu)成容量大的分析樣本，從而便于構(gòu)成統(tǒng)計(jì)量。該方法分析精度高，收斂快。

需指出的是，該方法估計(jì)參數(shù)對初始樣本有較強(qiáng)的依賴性。Bootstrap方法是一個(gè)復(fù)雜的過程，若重復(fù)這個(gè)過程，每次得到的結(jié)果會有輕微的差別。該方法的優(yōu)點(diǎn)是無需任何樣本總體的分布假定，即可獲得某一感興趣的分布參數(shù)估計(jì)。

[參考文獻(xiàn)]

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[8]彭峰生,廖震強(qiáng),王濤.有脫靶彈時(shí)自動火炮立靶密集度估計(jì)[J].彈道學(xué)報(bào),2008,20(1):66-70.

[責(zé)任編輯：張存鳳]

Crowding level of vertical target parameters estimation based on Bootstrap sampling

PENG Feng-sheng,SHU Lin-sen,NING Wei

(School of Mechanical Engineering, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China)

Abstract:The paper concentrates on developing the using of Bootstrap sampling methods and relative theories. The crowding level of vertical target of an automatic gun is studied carefully as a real example to explain the usage of the methods. It proves that Bootstrap sampling method is of great value in parameters estimation of small sampling problems.

Key words:statistics and probability;Bootstrap theory;Monte Carlo sampling;parameters estimating;crowding level of the vertical target