袁明月，文鴻雁，周　呂，陳冠宇(桂林理工大學a.廣西礦冶與環(huán)境科學實驗中心; b.測繪地理信息學院; c.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西桂林　541004)

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基于閾值改進的小波變換在高鐵變形分析中的應用

袁明月，文鴻雁，周呂，陳冠宇
(桂林理工大學a.廣西礦冶與環(huán)境科學實驗中心; b.測繪地理信息學院; c.廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西桂林541004)

摘要:對小波變換閾值函數算法進行了改進，并實現了高鐵變形數據的去噪處理，使得去噪后均方根誤差相對于改進前明顯減小，信噪比相對于改進前明顯增大，改進效果明顯。算例表明，用Kalman濾波模型對改進閾值函數小波去噪結果進行預測，預測效果較好，說明本文改進方法是一種有效的去噪方法，可以用于建筑物變形分析預處理。

關鍵詞:小波變換;閾值;去噪;變形分析; Kalman濾波

小波變換是一種時－頻分析方法，具有低熵性、多分辨率、去相關性和選基靈活性的特點，小波去噪是低通濾波和特征提取的結合，去噪效果明顯。1995年D. L. Donoho提出閾值法小波去噪，包括硬閾值和軟閾值法［1］。為了克服傳統(tǒng)閾值法的缺點，本文在軟、硬閾值法去噪的基礎上，提出了一種改進閾值函數去噪方法，并對某高鐵一監(jiān)測點實測沉降變形數據進行去噪實驗，即用小波變換對變形信號進行消噪，提取信號。結果證明，該改進閾值函數濾波方法較傳統(tǒng)閾值函數法有更好的濾波效果。

1　小波變換去噪

1. 1小波閾值法去噪

小波閾值法去噪的基本思想是:選擇合適的閾值對小波函數分解后的信號進行處理，使低于該閾值的小波系數變?yōu)榱?，當高于或等于該閾值時，將對應的小波系數予以保留，從而使信號中的噪聲得到有效抑制［2］。

閾值函數是對小波系數進行處理的方法，包括硬閾值法、軟閾值法。

設對疊加了高斯白噪聲的有限長度信號，某尺度j時小波變換系數yj= Ajf( x)可表示為

其中: xj為原始信號的小波變換系數; zj為一個標準的高斯白噪聲，服從正態(tài)分布。

硬閾值法:

軟閾值法:

1. 2閾值函數改進算法

軟、硬閾值法雖然都得到廣泛應用，但是此方法也有不足之處，如:硬閾值函數的不連續(xù)性使得重構信號產生振蕩;在軟閾值中| yj|＞δ時，^xj與yj總存在恒定偏差，并且因為減小了絕對值大的小波系數，還會導致信號邊緣模糊?；谏鲜隹紤]，本文在傳統(tǒng)閾值函數法的基礎上對閾值函數進行了改進，其改進表達式如下:

式中，a∈［0，1］為可變參數。

4)當a = 1時，閾值函數等效于軟閾值函數。由以上分析以及圖1可知，參數a取不同的值，改進閾值函數的發(fā)展方向會呈現不同的趨勢，但始終是一條不間斷的折線: a = 0時，改進閾值函數曲線包括硬閾值函數的曲線;當a = 1時，改進閾值函數曲線即為軟閾值函數曲線。該方法既解決了軟閾值函數產生恒定偏差的問題，又克服了硬閾值函數不連續(xù)的問題，新閾值函數兼有軟、硬閾值函數的優(yōu)點，可以通過調節(jié)a，直至達到最佳去噪效果。

由圖2可知隨a的增大，信噪比曲線先增大后減小，因此選擇合適的參數才能達到最優(yōu)的去噪效果。結合信噪比、信號均方差、光滑度等方面選擇a =0. 011時的濾波為最優(yōu)濾波。

圖1　改進閾值函數(其中a =0.5，δ=2)Fig. 61Improved threshold function ( a =0.5，δ=2)

圖2　改進閾值法不同參數a的信噪比Fig. 62SNR of improved threshold method by different a

2　Kalman濾波模型的建立

對于離散時間線性隨機系統(tǒng)的卡爾曼濾波，其數學模型由狀態(tài)方程與觀測方程構成，離散化形式可以表示為［2］

式中: Xk為系統(tǒng)k時刻的狀態(tài)向量; Fk/k－1為系統(tǒng)從k－1時刻到k時刻的狀態(tài)轉移矩陣; Gk－1為系統(tǒng)k－1時刻的動態(tài)噪聲矩陣; Wk－1為系統(tǒng)k－1時刻的動態(tài)噪聲，其協方差矩陣為Qk; Lk是系統(tǒng)k時刻的觀測向量; Hk是系統(tǒng)k時刻的觀測矩陣; Vk為系統(tǒng)k時刻的觀測噪聲，其協方差為Rk。

根據最小二乘原理，推出隨機離散線性系統(tǒng)的Kalman濾波遞推公式［2］:

狀態(tài)向量的一步預測

狀態(tài)向量的一步預測方差陣

狀態(tài)向量的估計值

狀態(tài)向量的估計值的方差矩陣

J是濾波增益矩陣

式中，Rk是系統(tǒng)的觀測噪聲方差陣。

Kalman濾波是一種動態(tài)數據處理方法，其濾波方程是一組遞推計算公式，計算過程是不斷預測、修正的過程，特別適合變形監(jiān)測數據的動態(tài)處理［3］。

3　應用實例

3. 1小波去噪

以某高鐵一監(jiān)測點變形監(jiān)測數據為例，基于Matlab軟件平臺下編程實現小波去噪，本文采用了db4小波，對信號進行了4層分解，用軟、硬閾值以及改進閾值函數3種方法進行去噪。去噪曲線與實測值曲線比較如圖3～圖5所示。圖3表明，軟閾值法得到的去噪信號比較光滑，但將一些有用的信號當作隨機噪聲被濾掉，失真較大，邊緣比較模糊，濾波效果不佳;圖4表明，硬閾值法去噪后得到的曲線保留了一些有規(guī)律起伏變化信息，效果優(yōu)于軟閾值;從圖5可以看出，改進閾值函數去噪曲線與原始信號曲線更逼近，能真實地反映變形趨勢，濾波效果較好?？傮w上，改進閾值函數去噪曲線與原始信號的曲線的逼近程度較軟、硬閾值函數法更高，即信號特征保留的更加完整，能更真實的反映變形情況。

為了從數值上說明改進閾值函數法去噪效果，比較幾種方法的信噪比( SNR)與均方根誤差( RMSE)，如表1所示。

可以看出，軟閾值函數法信噪比為18. 339 5，低于硬閾值函數法，而改進閾值函數法信噪比最高為19. 775 7，且改進閾值函數法的去噪信號均方差最小為0. 097 4，硬閾值函數法以及軟閾值函數法均高于改進閾值函數法。以上表明，改進閾值函數具有更好濾波精度，去噪效果較佳，在變形監(jiān)測數據處理方面具有較好的應用價值。

3. 2 Kalman濾波模型預測

基于上節(jié)小波改進閾值法濾波結果進行變形分析預測。首先利用Kalman濾波模型分別對小波改進閾值法濾波結果以及原始數據的前41期數據建模進行擬合，后5期作為預測序列，然后對比模型預測效果，結果如圖6、圖7所示。

可以看出，Kalman濾波模型對小波改進閾值法濾波結果以及原始數據的擬合效果都比較好，但是對小波改進閾值法濾波結果的擬合效果更好、預測精度更高;改進閾值函數小波去噪是對變形信號進行消噪，使信號特征保留的更加完整，能夠更真實的反映變形情況，有利于對后期進行變形分析與預測，提高預測精度。

圖3　軟閾值函數法處理結果與原始數據對比Fig. 63Comparison of soft threshold function method and original data

圖4　硬閾值函數法處理結果與原始數據對比Fig. 64Comparison of hard threshold function method and original data

圖5　改進閾值函數法處理結果與原始數據對比Fig. 65Comparison of improved threshold function method and original data

表1　3種閾值法去噪的均方根誤差與信噪比Table 1　RMSE and SNR of denoising in three threshold methods

圖6　改進閾值函數法處理結果與經Kalman濾波模型擬合、預測值對比Fig. 66Comparison of improved threshold function method and values and predictions of Kalman filtering model

圖7　原始數據與經Kalman濾波模型擬合、預測值對比Fig. 67Comparison of original data and values and predictions of Kalman filtering model

本文采用后驗差檢驗法中的后驗差比值C和小誤差概率P對模型的精度進行評判，評判結果如表2所示。

表2　兩種Kalman濾波模型預測模型的精度對比表Table 2　Comparison of precision of two methods

由模型的精度表2可知，兩個模型的預測精度均能夠達到一級，且小誤差概率達到100%，但對小波改進閾值法濾波結果的后驗差比值是對原始數據預測結果的后驗差比值的84. 5%，說明基于改進閾值法去噪后的數據進行變形分析預測可信度更高，具有更好的優(yōu)越性和應用價值。

4　結論

本文提出了一種對傳統(tǒng)小波改進閾值函數的算法，并用MATLAB編程實現軟、硬閾值函數與改進閾值函數法去噪。實驗結果證明:

( 1)改進閾值函數法與傳統(tǒng)軟、硬閾值函數法相比，有效地抑制了信號波形失真，去噪曲線與原始數據曲線更加逼近，具有更好的可信度。

( 2)從信噪比和均方根誤差的角度看，改進閾值函數法信噪比最高，原始信號與估計信號的均方根誤差最小，消噪信號更接近于原始信號，能夠有效地識別信號和噪聲，較好地消除噪聲并且保留特征信號，去噪效果明顯改善，適合于變形監(jiān)測數據的去噪處理，具有很好的應用價值。

( 3)用Kalman濾波模型對改進閾值函數法處理結果的后5期進行預測，預測效果更好，證明本文的改進閾值函數法有效并具有可行性，可以作為在變形分析預測中的一種數據預處理方法。

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Application of high-speed railway deformation analysis based on improved wavelet threshold value

YUAN Ming-yue，WEN Hong-yan，ZHOU Lyu，CHEN Guan-yu
( a. Guangxi Scientific Experiment Center of Mining，Metallurgy and Environment; b. College of Geomatics and Geoinformation; c. Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics，Guilin University of Technology; Guilin 541004，China)

Abstract:An improved algorithm of wavelet transform threshold function is proposed，by the denoising processing of high-speed rail deformation data．Compared with previous methods，this algorithm reduces the denoising a lot．When RMSE is decreased，the signal-to-noise is obviously increased．A prediction is made for the improved threshold function wavelet denoising by Kalman filter model．This improved method is proved to be an effective denoising method and can be applied to the pretreatment of the building deformation analysis．

Key words:wavelet; the threshold value; denoising; deformation; Kalman filter

通訊作者:文鴻雁，博士，教授，glitewhy@163. com。

作者簡介:袁明月( 1990—)，女，碩士研究生，研究方向:變形監(jiān)測與數據處理，770695716@ qq. com。

基金項目:國家自然科學基金項目( 41461089) ;廣西“八桂學者”專項經費項目;廣西空間信息與測繪重點實驗室項目(桂科能130511402; 1207115－06) ;廣西自然科學基金項目( 2014GXNSFAA118288) ;廣西礦冶與環(huán)境科學實驗中心項目( KH2012ZD004) ;廣西研究生教育創(chuàng)新計劃項目( YCSZ2014151; YCSZ2012083)

收稿日期:2014－03－11

doi:10. 3969/j．issn. 1674－9057. 2015. 01. 016

文章編號:1674－9057( 2015) 01－0107－04

文獻標志碼:A

中圖分類號:P228

引文格式:袁明月，文鴻雁，周呂，等．基于閾值改進的小波變換在高鐵變形分析中的應用［J］．桂林理工大學學報，2015，35 ( 1) : 107－110．