一種工業(yè)機器人動力學參數(shù)的辨識方法*

丁亞東陳柏?吳洪濤申浩宇

(南京航空航天大學 江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室， 江蘇 南京 210016)

摘要：機器人動力學參數(shù)辨識方程隨著關節(jié)的增多變得更加繁瑣，關節(jié)數(shù)超過4個后，甚至難以獲得準確的參數(shù)辨識方程.為此，文中提出一種分步辨識的方法.該方法每次辨識的慣性參數(shù)較少，辨識方程相對簡單，計算量小，辨識累計誤差小，能很好地實現(xiàn)對超過四自由度的關節(jié)機器人動力學參數(shù)的辨識.文中還以某型六自由度關節(jié)機器人為對象，設計了辨識實驗，對分步辨識方法進行了驗證.結果表明：在保有機器人關鍵動力學特性的情況下，文中方法能簡單而有效地獲得機器人的關鍵動力學參數(shù).

關鍵詞：工業(yè)機器人；動力學參數(shù)；分步辨識；辨識算法；軌跡優(yōu)化

中圖分類號：TP242

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2015.03.008

文章編號：1000-565X(2015)03-0057-09

收稿日期：2014-08-21

基金項目：* 國家自然科學基金資助項目(61471173)

作者簡介：馬麗紅(1965-),女,博士,教授,主要從事圖像視頻信號處理、容錯編碼和數(shù)據(jù)隱藏、模式識別研究. E-mail: eelhma@scut.edu.cn

隨著工業(yè)機器人向高速、高精度的方向發(fā)展，用戶對工業(yè)機器人的控制精度提出了更高的要求.目前，大多數(shù)國產(chǎn)機器人仍使用簡單的比例-積分-微分(PID)運動控制，并未考慮機器人的動力學特性，這就限制了機器人的精度和性能.之所以大多數(shù)控制器未考慮機器人的動力學特性，其中一個重要的原因是難以獲得精準的動力學參數(shù)，而不精確的動力學參數(shù)不僅無法帶來機器人性能的提高，甚至可能導致系統(tǒng)失穩(wěn).因此，獲取精確的機器人動力學參數(shù)變得尤為重要[1-2].機器人結構的復雜性使得人們無法直接測量這些參數(shù)，而從CAD軟件中得出的慣性參數(shù)由于未能對機器人每個零件進行精確建模而難以達到所需的精度.因此，基于實驗的機器人參數(shù)辨識是唯一有效的獲取精確動力學參數(shù)的方法[3-4].

機器人動力學參數(shù)辨識主要有兩類方法：①采用一次性辨識全部慣性參數(shù)的方法得到機器人的動力學參數(shù)[5-6].該方法隨著關節(jié)參數(shù)的增多，所用到的逆動力學辨識模型的符號表達式就越發(fā)復雜，需辨識的參數(shù)，關節(jié)的角位移、角速度、角加速度累積誤差也會相應的增加，進而導致辨識難度加大，辨識精度降低，辨識軌跡的優(yōu)化難度也相應增加.②簡化辨識模型，一些研究者提出分開辨識機器人的慣性參數(shù).Atkeson等[7]提出順序辨識方法，每次辨識時只驅(qū)動部分關節(jié)軸.該方法所需的辨識次數(shù)繁多，每次辨識時未考慮連桿之間的耦合.Dutkiewicz等[8]只使用單個關節(jié)和兩個關節(jié)同時運動來辨識慣性參數(shù)，由于已辨識的參數(shù)值在辨識剩余參數(shù)時被用作先驗值，因而會產(chǎn)生累積誤差.Vandanjon等[9]為避免此缺點，提出使用4條軌跡分別辨識出機器人的慣量矩、速度項、慣量積和重力項.Daemi等[10]提出先辨識每個連桿的摩擦模型，然后，在辨識機器人連桿慣性參數(shù)前補償其對測量力矩的影響.然而，機器人操作環(huán)境的變化使得準確的摩擦補償難以達到.

綜合上述各類辨識方法，并鑒于機器人肘部1、2、3連桿和腕部4、5、6連桿慣性參數(shù)值的巨大差異，將機器人分為1、2、3關節(jié)和4、5、6關節(jié)兩步辨識.4、5、6連桿慣性參數(shù)相對于1、2、3連桿慣性參數(shù)較小，其對1、2、3關節(jié)貢獻的電機力矩很小，故而，由此辨識出來的1、2、3連桿的慣性參數(shù)和實際值非常接近；4、5、6連桿的慣性參數(shù)辨識結果與一次辨識結果一致；辨識的難度大大降低，辨識更具針對性且利于軌跡優(yōu)化.針對上述分步辨識的方法，文中設計了辨識實驗，驗證了其可行性和正確性

1機器人動力學模型

用牛頓-歐拉法或拉格朗日法得出n自由度串聯(lián)機器人的動力學方程：

(1)

(2)

式中，θdyn為10n×1的慣性參數(shù)向量，Φdyn為n×10n的觀測矩陣.機器人關節(jié)力矩的線性特性大大簡化了參數(shù)辨識過程[4,11-12].

方程(1)和(2)只包含了驅(qū)動連桿運動所需的關節(jié)力矩，而實際上，關節(jié)摩擦、電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量等同樣影響機器人的動態(tài)行為，需要消耗一定的電機力矩.其中，電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動慣量一般出廠給定，無須包括進辨識模型，只需將轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的慣性力矩補償?shù)搅胤匠?盡管實際的關節(jié)摩擦模型在電機反轉(zhuǎn)時是個復雜的非線性模型，但在機器人辨識應用中，綜合考慮辨識效率、精度與成本，通常在參數(shù)線性化的摩擦模型中只考慮庫倫摩擦和粘滯摩擦[13].關節(jié)i的摩擦力矩為

(3)

組合方程(2)和方程(3)得到完整的機器人慣性參數(shù)線性方程：

(4)

θsi=(Ixxi,Ixyi,Ixzi,Iyyi,Iyzi,Izzi,mirxi,miryi，mirzi,mi,fci,fvi)T

(5)

式中，Ixxi、Ixyi、Ixzi、Iyyi、Iyzi、Izzi為連桿i相對于坐標系i原點的慣性張量的各項，mirxi、miryi、mirzi為連桿i相對于坐標系i原點的一階慣量矩(r為質(zhì)心位置向量)，mi為連桿i的質(zhì)量.

除摩擦參數(shù)外，機器人連桿的慣性參數(shù)稱為經(jīng)典慣性參數(shù)，但由于方程(4)中辨識矩陣Φs不是滿秩矩陣，所以并不是每個慣性參數(shù)都對力矩有影響，只有部分慣性參數(shù)對機器人動態(tài)有影響.為此，在動力學方程中，通過一定的線性關系重組一些慣性參數(shù)或使用簡單的封閉形式規(guī)則消去一些慣性參數(shù)來得到一組最小慣性參數(shù)十分必要[4,14].只包含最小慣性參數(shù)的動力學模型可表示為

(6)

2動力學參數(shù)辨識過程

機器人動力學參數(shù)辨識一般包含激勵軌跡設計、數(shù)據(jù)采樣及處理、參數(shù)估計和模型驗證4個步驟.機器人動力學參數(shù)辨識過程可表述為：給定機器人關節(jié)激勵軌跡，采集關節(jié)力矩和角位移數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)經(jīng)過處理后帶入到辨識方程中，便可得到機器人連桿的慣性參數(shù).其流程如圖1所示(Y是處理后的力矩向量).

圖1　機器人動力學參數(shù)辨識流程圖 Fig.1　Flow chart of dynamic parameter identification of robots

2.1激勵軌跡設計

未建模誤差和測量數(shù)據(jù)的噪聲等因素會降低辨識的精度.為提高參數(shù)估計的收斂率和抗噪聲的能力，需要精心設計激勵軌跡.首先要選取合適的指標函數(shù)來優(yōu)化激勵軌跡.文中采用文獻[15]最小化觀測矩陣的條件數(shù)作為軌跡優(yōu)化的標準.通常，激勵軌跡的設計主要考慮兩個方面：①軌跡在有干擾的情況下是否能提供足夠準確而快速的參數(shù)估計；②采集數(shù)據(jù)處理是否足夠簡單，而辨識結果又足夠準確.文中采用Swevers等[16]提出的有限項周期性傅里葉級數(shù)軌跡，此軌跡由于在信號處理的種種優(yōu)點而多次被應用于辨識實驗.軌跡表達式為

(7)

式中：t為時間；ωf為基頻；qi,0為關節(jié)位置補償量；ai,k和bi,k分別為正弦和余弦函的幅值；D為傅里葉級數(shù)的諧波項數(shù)目，每個傅里葉級數(shù)包含2D+1個參數(shù)，分別對應于ai,kbi,kqi,0，即軌跡優(yōu)化的自由度.軌跡優(yōu)化受到關節(jié)位置、關節(jié)速度、關節(jié)加速度、工作空間、電機力矩等約束.因此，基于條件數(shù)優(yōu)化準則的激勵軌跡優(yōu)化問題可描述為：

(8)

2.2采集數(shù)據(jù)的預處理

機器人跟蹤激勵軌跡時對關節(jié)位置和電機電流進行采集，電機電流通過轉(zhuǎn)矩常數(shù)轉(zhuǎn)換為電機力矩.由于所得到的數(shù)據(jù)含有一定的噪聲，如果直接將采集的數(shù)據(jù)用于參數(shù)辨識，會降低辨識精度，因而需要對采集數(shù)據(jù)進行預處理.

由于文中采用的傅里葉級數(shù)軌跡所采集的數(shù)據(jù)具有周期性，因此可以通過對采集的數(shù)據(jù)進行平均化來提高信噪比[5,11]，改善數(shù)據(jù)的質(zhì)量，即：

(9)

通常，關節(jié)速度和加速度無法直接測量，而對關節(jié)位置直接數(shù)值微分會放大測量中存在的噪聲，因而采用文獻[17]的解析法來得到角速度和角加速度.具體步驟為：①對平均化后的關節(jié)位置數(shù)據(jù)采用最小二乘法擬合成傅里葉級數(shù)；②對擬合的傅里葉級數(shù)進行求導，得到關節(jié)速度和加速度，此方法具有很好的降噪效果.

2.3參數(shù)估計方法

動力學模型(6)在機器人重復跟蹤激勵軌跡時，在N個時間點t1,t2,…,tN(nN>p+2n)對關節(jié)位置和電機力矩進行采樣得到超靜定線性方程：

(10)

式中，ΦN是nN×p的觀測矩陣，N是nN×1的力矩向量，N是數(shù)據(jù)采樣點.

方程(10)是個超靜定線性方程，文中采用加權最小二乘法[15,17]來求解該方程，通過對測量力矩噪聲協(xié)方差的逆矩陣進行加權，從而區(qū)分準確和不準確的數(shù)據(jù)來提高辨識精度.慣性參數(shù)θ的加權最小二乘估計：

(11)

2.4模型驗證

為驗證辨識出的動力學參數(shù)的正確性，選取一條不同于激勵軌跡的軌跡作為驗證軌跡.用辨識出來的慣性參數(shù)預測驗證軌跡的力矩，并對比驗證軌跡力矩的測量值和預測值.實驗驗證過程如圖2所示(me為辨識軌跡的測量力矩，為驗證軌跡的測量力矩，pr為驗證軌跡的預測力矩).

一般采用力矩測量值與預測值的殘差均方根(RMS)來評定參數(shù)辨識的精度[5,12]:

圖2　實驗驗證流程圖 Fig.2　Flow chart of experimental validation

(12)

3辨識和驗證實驗設計

為驗證分步辨識的可行性和正確性，將實驗分成5步.第1步，鎖定4、5、6關節(jié)軸，驅(qū)動1、2、3關節(jié)軸跟蹤辨識軌跡，辨識1、2、3連桿的慣性參數(shù).第2步，為驗證第1步辨識結果的正確性，驅(qū)動1、2、3關節(jié)軸跟蹤另一條驗證軌跡.用第1步辨識出的1、2、3連桿慣性參數(shù)來預測驗證軌跡的力矩.第3步，為驗證省略4、5、6連桿部分慣性參數(shù)對1、2、3關節(jié)力矩的影響是實際可行的，驅(qū)動全部關節(jié)軸跟蹤激勵軌跡，其中，1、2、3關節(jié)使用和第2步相同的軌跡，4、5、6關節(jié)可以使用任意軌跡，對比兩次實驗1、2、3關節(jié)力矩的差異.第4步，鎖定2、3關節(jié)軸，驅(qū)動1、4、5、6關節(jié)軸跟蹤辨識軌跡，辨識出4、5、6連桿的慣性參數(shù).第5步，為對比一次性辨識方法和文中方法的辨識效果，驅(qū)動全部關節(jié)軸跟蹤激勵軌跡，通過比較兩種方法預測力矩誤差的大小說明兩者的優(yōu)劣.

4實驗結果分析

圖3所示為驗證實驗所用六自由度串聯(lián)機器人，圖4是對應的連桿坐標系.實驗使用的傅里葉級數(shù)軌跡基頻為0.05Hz (周期為20s)，由5項傅里葉級數(shù)組成.因此每個軌跡有11個系數(shù)需要優(yōu)化，帶寬為0.25Hz.數(shù)據(jù)的采樣頻率為1kHz，即一個軌跡周期有20000個采樣數(shù)據(jù).過多的數(shù)據(jù)會降低辨識的效率并引起不良數(shù)據(jù)的波動，因此文中從20000個采樣點中等距抽取2000個點作為辨識所需的采樣數(shù)據(jù).每次實驗時連續(xù)重復跟蹤軌跡，等機器人的瞬態(tài)效應消失后采樣50組關節(jié)位置和電機電流數(shù)據(jù)，經(jīng)過處理后應用于辨識計算.表1給出了機器人的各關節(jié)的運動約束

圖3　六自由度串聯(lián)機器人 Fig.3　A 6-DOF serial robot

圖4　機器人的連桿坐標圖 Fig.4　Connecting rod the coordinate of the robot

表1機器人優(yōu)化軌跡的各種約束
Table 1Constraints of robot trajectory optimization

參數(shù)關節(jié)最小值最大值q(°)1-1801802-601403-170804-3603605-1201356-360360(°·s-1)1-1451452-1051053-1701704-3203205-3203206-450450(N·m)1—1200.02—1000.03—600.04—240.05—100.06—12.5

4.11、2、3關節(jié)辨識

為辨識出1、2、3連桿的慣性參數(shù)，給定1、2、3關節(jié)的激勵軌跡，如圖5所示 (省略其他激勵軌跡).驅(qū)動1、2、3關節(jié)軸跟蹤激勵軌跡，辨識出1、2、3連桿的慣性參數(shù)，并比較測量力矩和預測力矩，如圖6所示.由圖6(c)可知，力矩預測誤差小，僅在速度反轉(zhuǎn)時出現(xiàn)誤差峰值.摩擦模型在低速時無法復現(xiàn)復雜的動態(tài)摩擦行為可能是個關鍵因素.表2所示為辨識出的1、2、3連桿的慣性參數(shù).

圖5　1、2、3關節(jié)辨識軌跡 Fig.5　Identification trajectories of joints 1、2、3

圖6　1、2、3關節(jié)力矩測量值和預測值 Fig.6　Measured and predicted torques of joints 1、2、3

表21、2、3連桿的慣性參數(shù)值
Table 2Inertial parameter values of links 1、2、3

參數(shù)辨識值Izz1(kg·m2)48.781Ixx2(kg·m2)-13.913Ixy2(kg·m2)1.613Ixz2(kg·m2)2.093Iyz2(kg·m2)-1.722Izz2(kg·m2)61.196m2rx2(kg·m)33.443m2ry2(kg·m)-0.687Ixx3(kg·m2)3.646Ixy3(kg·m2)2.386Ixz3(kg·m2)-0.625參數(shù)辨識值Iyz3(kg·m2)-0.370Izz3(kg·m2)13.046m3rx3(kg·m)5.411m3ry3(kg·m)9.887fc1(N·m)43.377fv1(N·m·s·rad-1)11.379fc2(N·m)89.102fv2(N·m·s·rad-1)0.652fc3(N·m)32.983fv3(N·m·s·rad-1)-2.002

4.21、2、3關節(jié)驗證

選取另一條軌跡作為驗證軌跡，如圖7所示.用辨識出的1、2、3連桿慣性參數(shù)來預測驗證軌跡的力矩，并通過比較驗證軌跡的測量力矩和預測力矩的誤差來驗證辨識結果.圖8(c)中的力矩預測誤差較小，說明辨識模型能夠準確地預測機器人運動所需的力矩.

圖7　1,2,3關節(jié)驗證軌跡 Fig.7　Validation trajectories of joints 1,2,3

圖8　1、2、3關節(jié)力矩預測的模型驗證 Fig.8　Validation of the models used to predict torques of joints 1、2、3

4.3省略4、5、6連桿慣性參數(shù)的可行性

驅(qū)動全部關節(jié)軸，其中，1、2、3關節(jié)使用和前文同樣的軌跡，以便對比兩次實驗的1、2、3關節(jié)力矩.4、5、6關節(jié)可以使用任意軌跡，但為體現(xiàn)4、5、6連桿慣性參數(shù)對1、2、3關節(jié)力矩的最大影響，使用具有較大速度和加速度的激勵軌跡(三次項傅里葉級數(shù)軌跡).從圖9的力矩對比可以看出兩次實驗1、2、3關節(jié)的力矩非常相近，說明省略4、5、6連桿慣性參數(shù)對1、2、3連桿力矩的影響具有實際可行性.

4.44、5、6關節(jié)辨識

驅(qū)動1、4、5、6關節(jié)軸跟蹤辨識軌跡，只使用4、5、6關節(jié)力矩辨識出4、5、6連桿的慣性參數(shù)，并比較測量力矩和預測力矩.圖10和表3表明：4、5、6關節(jié)辨識效果好.比較圖6和圖10可以看出：4、5、6關節(jié)力矩比1、2、3關節(jié)力矩小得多，體現(xiàn)了兩者慣性參數(shù)值的差異性.表3所示為4、5、6連桿慣性參數(shù)的辨識值.對比表3和表2可以看出，1、2、3連桿慣性參數(shù)值和4、5、6連桿慣性參數(shù)值存在巨大差異性.此外，從表3可看出：4、5、6連桿的慣性參數(shù)值比摩擦系數(shù)值小很多，表現(xiàn)為摩擦力矩占據(jù)了大部分電機力矩，連桿慣性參數(shù)只貢獻了很小的一部分電機力矩.4、5、6關節(jié)摩擦力矩對1、2、3關節(jié)力矩沒有任何影響，因此4、5、6連桿慣性參數(shù)對1、2、3關節(jié)力矩的貢獻很小.這進一步說明：對六自由度關節(jié)型機器人參數(shù)辨識時省略4、5、6連桿慣性參數(shù)對1、2、3關節(jié)力矩的影響是可行的.

圖9　兩次實驗1、2、3關節(jié)測量力矩對比 Fig.9　Comparison of the measured torque of joints 1、2、3 in two experiments

圖10 　4、5、6關節(jié)力矩預測的模型驗證 Fig.10　Validation of the models used to predict torques of joints 4、5、6

4.5分步辨識與一次性辨識方法對比

驅(qū)動全部關節(jié)軸跟蹤激勵軌跡，分別用分步辨識方法和一次性辨識方法的辨識結果進行力矩對比，圖11、12分別為兩種方法的預測力矩圖.從圖中可以看出，兩種方法力矩預測的精度大致相同.表4對比了兩種辨識方法各關節(jié)的力矩殘差均方根.從表中可看出：兩者大致相當，說明文中辨識方法可以得到好的估計結果.

表34、5、6連桿的慣性參數(shù)值Table 3Inertial parameter values of links 4、5、6

參數(shù)辨識值Ixx4(kg·m2)-0.088Ixy4(kg·m2)-0.134Ixz4(kg·m2)0.061Iyz4(kg·m2)0.031Izz4(kg·m2)1.099m4rx4(kg·m)-0.023m4ry4(kg·m)-0.201fc4(N.m)4.839fv4(N·m·s·rad-1)3.659Ixx5(kg·m2)0.007Ixy5(kg·m2)-0.072Ixz5(kg·m2)-0.044Iyz5(kg·m2)0.101Izz5(kg·m2)-0.183參數(shù)辨識值m5rx5(kg·m)-0.052m5ry5(kg·m)-0.017fc5(N.m)11.596fv5(N·m·s·rad-1)13.228Ixx6(kg·m2)-0.009Ixy6(kg·m2)-0.020Ixz6(kg·m2)-0.001Iyz6(kg·m2)0.023Izz6(kg·m2)0.038m6rx6(kg·m)0.017m6ry6(kg·m)-0.030fc6(N.m)5.633fv6(N·m·s·rad-1)2.887

圖11　一次性辨識獲得的各關節(jié)預測力矩 Fig.11　Predicted torques of each joints by together identification method

圖12　分步辨識獲得的各關節(jié)預測力矩 Fig.12　Predicted torques of each joints by step-by-step identification

為對比兩種方法的計算效率，在同一臺計算機和相同計算軟件中分別完成了計算過程.計算機配置為：聯(lián)想ThinkCentre E73臺式機，Intel酷睿i3 4130雙核處理器，2 G內(nèi)存.計算軟件Mathematica 8.0.在Mathematica中代入數(shù)據(jù)后求解辨識方程，得出辨識結果并給出計算時間.在文中辨識方法中，辨識1、2、3連桿慣性參數(shù)所用時間為8.917s，辨識4、5、6連桿慣性參數(shù)所用時間為24.119s，總時間為33.036s.一次性辨識方法所用時間為341.195s，約為文中辨識方法的10.3倍.可見，文中提出的辨識方法效率很高.

表4兩種辨識方法的關節(jié)力距RMS對比

Table 4Comparison of RMS of joint torque by two identification methodsN·m

關節(jié)一次性辨識方法文中辨識方法114.62715.016226.43224.985315.47215.00242.9142.01555.8725.64462.0601.897

5結論

針對機器人動力學參數(shù)辨識的問題，在綜合了一次性參數(shù)辨識和已有分步辨識方法后，提出了針對性的分步辨識方法，將肘關節(jié)和腕關節(jié)進行兩次辨識，兩次辨識得到機器人全部慣性參數(shù).該方法大大簡化了辨識模型，降低了辨識的難度，可行性好，辨識更具有針對性.文中設計了針對特定六自由度關節(jié)機器人1、2、3連桿慣性參數(shù)的辨識算法及實驗，關節(jié)預測力矩與測量力矩結果對比顯示：

(1)文中提出的方法能正確辨識相關慣性參數(shù)，依據(jù)辨識結果能高效、準確地實現(xiàn)對關節(jié)驅(qū)動力矩的預測.

(2)在辨識1、2、3連桿慣性參數(shù)時，忽略4、5、6連桿對1、2、3連桿的影響是可行而有效的.對于大多數(shù)腕關節(jié)慣性參數(shù)值較小的工業(yè)機器人來說，相對于一次性辨識所有連桿慣性參數(shù)，忽略關節(jié)4、5、6連桿慣性參數(shù)將更利于實現(xiàn)基于動力學模型的機器人控制.

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An Identification Method of Industrial Robot’s Dynamic Parameters

DingYa-dongChenBaiWuHong-taoShenHao-yu

(Jiangsu Key Laboratory of Precision and Micro-Manufacturing Technology, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,

Nanjing 210016, Jiangsu, China)

Abstract:As the identification equations for robots’dynamic parameters become very complicated with the increase of joints, it is difficult to obtain accurate equations of dynamic parameters when a robot is of more than four joints. In order to solve this problem, a step-by-step identification method is proposed. In this method, less inertial parame-ters should be identified in each step, which results in simpler identification equation, more efficient calculation and smaller accumulative error. Therefore, the parameter estimation can be achieved quite well for the robots with more than four joints. In order to validate the effectiveness of the proposed step-by-step identification method, a robot with six degrees of freedom is taken as an object to conduct the corresponding identification experiments. The results demonstrate that the proposed method is a simple but effective way to obtaining the key dynamic parameters of robots without changing their key dynamic characteristics.

Key words: industrial robot; dynamic parameter; step-by-step identification; identification algorithm; trajectory optimization

Foundation item: Supported by the National Natural Science Foundation of China(NSFC)(61471173)