微型控制器領(lǐng)域的數(shù)理邏輯基礎(chǔ)的推理

劉妍

(煙臺(tái)職業(yè)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264670)

摘要：微型控制器已經(jīng)應(yīng)用到我們的生活的各個(gè)領(lǐng)域，例如飛機(jī)上各種儀表的控制、計(jì)算機(jī)的網(wǎng)絡(luò)通訊與數(shù)據(jù)傳輸、工業(yè)自動(dòng)化過程的實(shí)時(shí)控制和數(shù)據(jù)處理、家用電器、醫(yī)療設(shè)備等等。微型控制器的功能越來越強(qiáng)大，離不開位于中央處理單元CPU中算術(shù)邏輯運(yùn)算單元ALU的加法器的支持。本文論述了微型控制器的運(yùn)算處理的數(shù)理邏輯的推理。

關(guān)鍵詞：微型控制器；加法器；數(shù)制；補(bǔ)碼

收稿日期：2015-03-16

作者簡介：劉妍(1978-)，女，山東萊陽人，煙臺(tái)職業(yè)學(xué)院教師.

中圖分類號(hào)：TN4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1問題的引出

在我們生活中的各個(gè)領(lǐng)域，處處可見微型控制器忙碌的身影，它將采集到的的信號(hào)進(jìn)行智能化、微型化、數(shù)字化的處理，并將這些操作交給由復(fù)雜指令系統(tǒng)構(gòu)成的程序來實(shí)現(xiàn)特定的功能，如電梯智能化管理，壓力、溫度、濕度的測量等等。

微型控制器采用大規(guī)模集成電路作為邏輯元件， 將各種復(fù)雜的操作交由運(yùn)算器(ALU)處理，而ALU的核心處理單元為加法器，操作數(shù)以補(bǔ)碼形式進(jìn)行運(yùn)算。

本文論證了以補(bǔ)碼形式參與運(yùn)算的數(shù)理邏輯的推理。

2二進(jìn)制

電腦誕生的時(shí)候是用二極管做的,二極管作為計(jì)算的最小單位部件，需要電力來驅(qū)動(dòng),電流只存在2種狀況，通和不通,于是產(chǎn)生了二進(jìn)制。二進(jìn)制數(shù)也可以用十六進(jìn)制數(shù)、十進(jìn)制數(shù)等形式表示。

以8位處理器的MCS-51系列單片機(jī)為例，該系列單片機(jī)采用正邏輯，電路的高電平和低電平對應(yīng)二進(jìn)制數(shù)1、0，計(jì)算的工作原理基于“布爾代數(shù)”[1]，進(jìn)行邏輯運(yùn)算，單片機(jī)電路雖然復(fù)雜，但基本單元卻很簡單，由與門、或門、非門等組成。

邏輯運(yùn)算又稱布爾運(yùn)算，布爾用數(shù)學(xué)方法研究邏輯問題，成功地建立了邏輯演算。他用等式表示判斷，把推理看作等邏輯運(yùn)算式的變換。這種變換的有效性不依賴人們對符號(hào)的解釋，只依賴于符號(hào)的組合規(guī)律。這一邏輯理論人們常稱它為布爾代數(shù)。20世紀(jì)30年代，邏輯代數(shù)在電路系統(tǒng)上獲得應(yīng)用，隨后，由于電子技術(shù)與計(jì)算機(jī)的發(fā)展，出現(xiàn)各種復(fù)雜的大系統(tǒng)，它們的變換規(guī)律也遵守布爾所揭示的規(guī)律。

由布爾運(yùn)算可知，邏輯運(yùn)算與算術(shù)運(yùn)算都可以以代數(shù)演算的形式運(yùn)算，在數(shù)學(xué)運(yùn)算方法方面是統(tǒng)一的，基本運(yùn)算方法是四則運(yùn)算。

3碼制

微型控制器CPU的核心處理單元ALU的核心單元加法器，是怎樣實(shí)現(xiàn)四則運(yùn)算的呢？

四則運(yùn)算為加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、乘法運(yùn)算、除法運(yùn)算。乘法運(yùn)算可以由數(shù)的移位相加運(yùn)算實(shí)現(xiàn)，除法可以由數(shù)的移位相減實(shí)現(xiàn)；這樣四則運(yùn)算可以歸結(jié)為加法運(yùn)算和減法運(yùn)算。

為了將減法運(yùn)算由加法運(yùn)算實(shí)現(xiàn)，微型控制器中引入了負(fù)數(shù)的概念。8位機(jī)中約定，最高位D7表示符號(hào)，其他7位表示數(shù)值，D7=1表示負(fù)數(shù)，D7=0表示正數(shù)。

例1：4=0000 0100B，[+4]原=0000 0100B，[+4]反=0000 0100B，[+4]補(bǔ)=0000 0100B；

在例1的二進(jìn)制數(shù)中，加黑色標(biāo)注的最高位為符號(hào)位，黑色標(biāo)注的低7位為數(shù)值位。

3.1 無符號(hào)數(shù)

由于加法運(yùn)算中1+1=10，1111 1111B+1=10000 0000B，而MCS-51系列單片機(jī)的存儲(chǔ)器的位數(shù)是8位的，能夠存儲(chǔ)的是8位二進(jìn)制數(shù)，進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)由于存儲(chǔ)器位數(shù)的限制，使得8位無符號(hào)二進(jìn)制最大數(shù)1111 1111B加1在存儲(chǔ)器中存儲(chǔ)的結(jié)果變?yōu)樽钚?shù)0000 0000B。8位無符號(hào)數(shù)的范圍為FFH-00H。我們以循環(huán)的形式將8位無符號(hào)數(shù)進(jìn)行排列：

圖1　8位無符號(hào)數(shù)的循環(huán)排列

從圖1中可以看出，將數(shù)據(jù)從00H-FFH順時(shí)針圓形循環(huán)排列，規(guī)則為加1；FFH加1后得到00H。

3.2 8位有符號(hào)數(shù)

一個(gè)有符號(hào)數(shù)用原碼、反碼、補(bǔ)碼三種方式表示[2]。

①8位有符號(hào)數(shù)原碼

原碼：正數(shù)的原碼與原來的數(shù)相同；負(fù)數(shù)的原碼符號(hào)位要置1，數(shù)值位保持不變。

例2：1=0000 0001B，[+1]原=0000 0001B=01H，

[-1]原=1000 0001B=81H；

例3：2=0000 0010B，[+2]原=0000 0010B=02H，

[-2]原=1000 0010B=82H；

例4:126=0111 1110B，[+126]原=0111 1110B=7EH，

[-126]原=1111 1110B=FEH；

例5：127=0111 1111B，[+127]原=0111 1111B=7FH，

[-127]原=1111 1111B=FFH；

8位有符號(hào)數(shù)原碼表示的范圍為-127-+127，因?yàn)椋?/p>

[+0]原=0000 0000B=00H，[-0]原=10000000B=80H；

我們以循環(huán)的形式將8位有符號(hào)數(shù)原碼進(jìn)行排列：

圖2　8位有符號(hào)數(shù)原碼循環(huán)排列

由圖2中可以觀察到正數(shù)原碼和負(fù)數(shù)原碼圍繞圓心O對稱排列，由于[+0]原和[-0]原不相等，所以原碼不能直接參與到運(yùn)算中。

②8位有符號(hào)數(shù)反碼

反碼：正數(shù)的反碼表示與正數(shù)的原碼相同；負(fù)數(shù)的反碼符號(hào)位為1，數(shù)值位由其絕對值按位取反得到。

例6：1=0000 0001B，[+1]反=0000 0001B=01H，

[-1]反=1111 1110B=FEH；

例7：2=0000 0010B，[+2]反=0000 0010B=02H，

[-2]反=1111 1101B=FDH；

例8:126=0111 1110B，[+126]反=0111 1110B=7EH，

[-126]反=1000 0001B=81H；

例9:127=0111 1111B，[+127]反=0111 1111B=7FH；

[-127]反=1000 0000B=80H；

8位有符號(hào)數(shù)反碼表示的范圍為-127-+127，因?yàn)椋?/p>

[+0]反=0000 0000B=00H，[-0]反=11111111B=FFH；

我們以循環(huán)的形式將8位有符號(hào)數(shù)反碼進(jìn)行排列：

圖3　8位有符號(hào)數(shù)反碼循環(huán)排列

由圖3中可以觀察到，正數(shù)反碼和負(fù)數(shù)反碼圍繞軸ab平行對稱排列，由于[+0]反和[-0]反不相等，所以反碼不能直接參與到運(yùn)算中。

③8位有符號(hào)數(shù)補(bǔ)碼

補(bǔ)碼：正數(shù)的補(bǔ)碼與正數(shù)的原碼相同；負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼為其反碼加1得到。

例10：1=0000 0001B，[+1]補(bǔ)=0000 0001B=01H，

[-1]補(bǔ)=1111 1111B=FFH；

例11：2=0000 0010B，[+2]補(bǔ)=0000 0010B=02H，

[-2]補(bǔ)=1111 1110B=FEH；

例12:126=0111 1110B，[+126]補(bǔ)=0111 1110B=7EH，

[-126]補(bǔ)=1000 0010B=82H；

例9:127=0111 1111B，[+127]補(bǔ)=0111 1111B=7FH；

[-127]補(bǔ)=1000 0001B=81H；

8位有符號(hào)數(shù)補(bǔ)碼表示的范圍為-128-+127，因?yàn)椋?/p>

[+0]補(bǔ)=0000 0000B=00H，

[-0]補(bǔ)=[-0]反+1=1111 1111B+1=0000 0000B=00H；

規(guī)定，[-128]補(bǔ)=80H，-128沒有對應(yīng)的原碼和反碼。

我們以循環(huán)的形式將8位有符號(hào)數(shù)補(bǔ)碼進(jìn)行排列：

圖4　8位有符號(hào)數(shù)補(bǔ)碼循環(huán)排列

由圖4中可以觀察到，正數(shù)補(bǔ)碼和負(fù)數(shù)補(bǔ)碼圍繞軸0x平行對稱排列，[+0]補(bǔ)和[-0]補(bǔ)相等。

將圖4按照我們所熟悉的數(shù)軸形式展開，如圖5：

(a)區(qū)間在-128~+127的補(bǔ)碼標(biāo)注形式數(shù)軸

圖5(b)區(qū)間在-128~+127的傳統(tǒng)十進(jìn)制數(shù)標(biāo)注形式數(shù)軸

觀察圖5(a)與圖5(b)，可以看出，二者表達(dá)的數(shù)理關(guān)系是一致的，所以我們能夠使用補(bǔ)碼形式參與運(yùn)算。

4微型控制器算術(shù)邏輯運(yùn)算單元

以MCS-51系列單片機(jī)為例，內(nèi)部有一個(gè)8位的CPU，由核心處理單元ALU實(shí)現(xiàn)算術(shù)邏輯運(yùn)算，如圖6。

圖6　CPU內(nèi)部結(jié)構(gòu)框圖

運(yùn)算器(ALU)的主要功能[3]

A)算術(shù)和邏輯運(yùn)算，可對半字節(jié)(一個(gè)字節(jié)是8位，半個(gè)字節(jié)就是4位)和單字節(jié)數(shù)據(jù)進(jìn)行操作。

B)加、減、乘、除、加1、減1、比較等算術(shù)運(yùn)算。

C)與、或、異或、求補(bǔ)、循環(huán)等邏輯運(yùn)算。

D)位處理功能(即布爾處理器)。

5結(jié)論

使用補(bǔ)碼參與運(yùn)算可以將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)變成為有符號(hào)數(shù)的加法運(yùn)算，這樣四則運(yùn)算可以由加法器完成，通過布爾代數(shù)的原則，中央處理器CPU可以實(shí)現(xiàn)算術(shù)與邏輯運(yùn)算，完成對微型控制器各種數(shù)據(jù)的處理。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊炳儒.布爾代數(shù)及其泛化結(jié)構(gòu)[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[2]張志良.單片機(jī)原理與控制技術(shù)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

[3]丁元杰.單片微機(jī)原理及應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1999.

(責(zé)任編輯侯中巖)