張偉偉，亓?xí)剑Ｃ廊A

（濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061）

變結(jié)構(gòu)控制是20世紀(jì)50年代在前蘇聯(lián)產(chǎn)生的一種控制策略。它有許多優(yōu)點(diǎn)，特別是對系統(tǒng)的攝動(dòng)和干擾有較強(qiáng)的魯棒性，是一種很有前途的綜合方法。

近年來，關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定和魯棒穩(wěn)定的研究一直很活躍［1-10］。由于系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中往往會(huì)受到外界隨機(jī)因素的干擾［4-8］。因此，研究時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)滑模控制是有必要的和有意義的。本文利用Lyapunov方法，在幾乎必然穩(wěn)定的意義下，給出了存在滑動(dòng)模態(tài)的充分條件，并且進(jìn)一步設(shè)計(jì)了到達(dá)運(yùn)動(dòng)控制器。

1 系統(tǒng)模型描述

考慮線性參數(shù)不確定時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)

的變結(jié)構(gòu)問題。其中Aτ，ΔAτ，A，ΔA∈Rn×n，B∈Rn×m，D∈Rn×m；x（t）∈Rn，u（t）∈Rm。（Ω，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）是完備的濾子概率空間，Ω 是樣本空間，F(xiàn) 是Ω 上的σ 代數(shù)，｛Ft｝t≥0是Ω 上的單調(diào)遞增的子σ 代數(shù)族（濾子），P 是定義在其上的概率測度。w（t）∈Rm是完備濾子概率空間（Ω，F(xiàn)，｛Ft｝t≥0，P）上的標(biāo)準(zhǔn)m 維納過程，且同時(shí)滿足E（wT（t）w（t））=I，E（w（t））=0，E（x（0）wT（t））=0。φ（t）是任意已知的滿足給定條件的連續(xù)狀態(tài)向量。

假設(shè)矩陣對（A，B）是可控的，干擾ΔAx（t），ΔAτx（t-τ）滿足完全匹配條件：ΔA=BE，ΔAτ=BF。

2 滑動(dòng)模態(tài)設(shè)計(jì)

取切換函數(shù)為

其中，S（t）=（S1（t），S2（t），…，Sm（t））T∈Rm×1。C，G 是常數(shù)矩陣，且C 滿足CB 非奇異，CD=0，G 是控制反饋增益矩陣。

對（2）式關(guān)于時(shí)間t微分得

令S′（t）=0，則得到等效控制

把ueq帶入系統(tǒng)（1）得，滑模動(dòng)態(tài)方程

其中，I表示單位矩陣。由于在滑模塊上對干擾具有不變性，且由完全匹配條件成立知滑動(dòng)模存在。從而，滑動(dòng)模系統(tǒng)（3）對干擾ΔAx（t）+ΔAτx（t-τ）具有不變性，（3）簡化為

從而，怎么設(shè)計(jì)控制器u（t）以保證滑動(dòng)模的存在和怎樣選擇控制反饋增益矩陣G 使得系統(tǒng)的解可以到達(dá)滑動(dòng)模是本文的主要問題。

3 到達(dá)運(yùn)動(dòng)控制器的設(shè)計(jì)

對隨機(jī)系統(tǒng)（1）選取滑動(dòng)流形S（t）=0，構(gòu)造變結(jié)構(gòu)控制律

其中，sgn（S（t））=（sgn（S1（t）），sgn（S2（t）），…，sgn（Sm（t）））T，k＞max｛‖ΔA‖，‖ΔAτ‖｝，α＞0?！瑇（t）‖表示向量x（t）的2-范數(shù)，‖ΔA‖，‖C‖表示矩陣ΔA，C 的2-范數(shù)。

在變結(jié)構(gòu)控制律（3）的作用下，系統(tǒng)（1）的閉環(huán)系統(tǒng)為

定義1 對于閉環(huán)系統(tǒng)（6），發(fā)生在滑動(dòng)流形S（t）=0上的運(yùn)動(dòng)稱為滑動(dòng)模運(yùn)動(dòng)。從任意位置φ（t）出發(fā)的運(yùn)動(dòng)如果能在有限時(shí)間內(nèi)，幾乎必然滿足S（t，x（t））=0，則稱滑動(dòng)模具有可達(dá)性。

引理1 對系統(tǒng)（1），如果選取Lyapunov函數(shù)V（S（t））如下

且E（wT（t）w（t））=I，CD=0成立，則有

證明 由Ito定理知

又CD=0，故

證畢。

注1 系統(tǒng)（4）的滑動(dòng)模的動(dòng)力學(xué)行為與矩陣C 無關(guān)，只要C 的選取滿足CD=0即可。

定理1 對系統(tǒng)（1），如果CD=0，令控制器為

則系統(tǒng)可由控制律（5）在有限時(shí)間內(nèi)驅(qū)動(dòng)，以概率1收斂到切換超面S（t）=0，且在其余的時(shí)間內(nèi)在滑動(dòng)面上達(dá)到穩(wěn)定。

證明 對（2）式關(guān)于時(shí)間t微分，然后乘以ST（t），得

把S′（t）的表達(dá)式代入（7），得

從而，

這意味著系統(tǒng)（1）以概率1收斂到S（t）=0，且在其余時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定。

4 結(jié)束語

本文利用滑?？刂圃?，基于Lyapunov 函數(shù)方法，給出了系統(tǒng)存在滑動(dòng)模態(tài)的充分條件，又在此基礎(chǔ)上給出了到達(dá)運(yùn)動(dòng)控制律。該策略能保證閉環(huán)系統(tǒng)幾乎必然漸近穩(wěn)定。

［1］米陽，黃建雄，李文林.多輸入離散時(shí)滯系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)［J］.控制與決策，2006，21（12）：1425-1428.

［2］錢厚斌，張?zhí)炱?一類非線性時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒間接自適應(yīng)控制［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2009，29（1）：101-108.

［3］Lee S M，Lee B H.A discrete-time sliding mode controller and observer with computation time delay［J］.Control Engineering Practice，1999（7）：943-955.

［4］邢海龍，高存臣，考永貴.一類由偏微分方程描述時(shí)滯隨機(jī)系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，22（6）：632-642.

［5］Xing H L，Gao C C，Li D H.Sliding mode variable structure control for parameter uncertain stochastic systems with time-varying delay［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2009（355）：689-699.

［6］Niu Y G，Hob D W C，Lam J.Robust integral slidingmode control for uncertain stochastic systems with time-varying delay［J］.Automatica，2005，（41）：873-880.

［7］Niu Y G，Ho D W C.Robust observer design for It＾o stochastic time-delay systems via sliding mode control［J］.Systems＆Control Letters，2006（55）：781-793.

［8］Shi P，Xia Y Q，Liu G P.On Designing of Sliding-Mode Control forStochastic Jump Systems［J］.IEEE Trans Autom Control，2006，51（1）：97-103.

［9］Roh Y H，Oh J H.Robust stabilization of uncertain input-delay systems by sliding mode control with delay compensation”［J］.1999，35（11）：1861-1865.

［10］Chang K Y，Wang W J.Robust convariance control for perturbed stochastic multivariable system via variable structure control［J］.Systems ＆Control Letters，1999（37）：323-328.