郝興文

（濰坊學(xué)院，山東 濰坊 261061）

1 問題與主要結(jié)果

考慮下列退化拋物-雙曲型方程的柯西問題：

由于這個方程的應(yīng)用廣泛，大家對它的研究也由來已久。這個方程在某些方向上拋物退化，所以他的解顯示出雙曲方程的一些性質(zhì)，解會出現(xiàn)間斷。Volpert-Hugjaev在文獻［8］中最先給出了方程（1）的BV 解的存在性，Chen-Karlsen在文獻［10］證明了解的唯一性。另外，Chen-Perthame在文獻［4］中得到了方程（1）中系數(shù)不顯含x，t形式的齊次方程動力學(xué)解的存在唯一性，其它形式的解可以見文獻［5，6，7，9］等。對于系數(shù)不顯含x，t的方程，它的解在初始時刻具有連續(xù)性，從而說明初始層不會出現(xiàn)，參見文獻［4］，特別是對于完全退化的情形—雙曲型方程，這個性質(zhì)在文獻［11］中應(yīng)用雙變量方法給予了證明。對于一般形式的方程（1），解的這個性質(zhì)是否成立沒有結(jié)果。本文將主要證明方程（1）-（2）的解具有這個性質(zhì)。首先引入本文中要用到的一些記號和方程（1）-（2）的解的定義。記

對任意的非負(fù)φ∈C（R），令

記R2上的動力學(xué)函數(shù)［4］為

問題（1）-（2）的動力學(xué)解定義為

定義1 一個可測函數(shù)u∈L∞（［0，T］），L1（Rn+1））是方程（1）的動力學(xué)解，如果u滿足

（ii）對任意兩個非負(fù)函數(shù)φ1，φ2∈C（R），下式成立

（iii）對某個非負(fù)測度m，下式在D′（［0，T）×Rn）中成立

其中，測度n由下式給出

本文的主要結(jié)果是

定理1 如果初值u0（x）∈L1（Rn）∩L∞（Rn），u 是（1）—（2）的動力學(xué)解，則當(dāng)t→0時，有‖u（·，t）-u0（·）‖L1（Rn）→0。

2 定理的證明

首先引入一個引理，設(shè)函數(shù)g（ξ）滿足

下列引理成立：

引理1 設(shè)函數(shù)g（ξ）滿足上面的條件，如果存在數(shù)u和非負(fù)可測函數(shù)～m（ξ）∈C0（R）滿足

該引理的證明可參見文獻［12］，細(xì)節(jié)省略。

令Ri→+∞后，利用m 和n 的非負(fù)性，得

所以

首先，對任意的E∈Rn，且m（E）＜+∞，則

所以，0≤sngξ·Χ（ξ，x）≤1，且sngξ·Χ（ξ，x）=｜Χ（ξ，x）｜。

另一方面，

令τ→0，得到，

特別地，對任意的τ＞0，選取實驗函數(shù)ω（ξ，t，x）=φ（ξ，x）ψ（t），其中，

在分布意義下，

在上面引理的基礎(chǔ)上，給出定理1的證明

由極限的唯一性可知

在（4）中，令τ→0，可得

由σ的凸性及u（t，x）弱收斂到u0（x），表明該收斂是強收斂，從而定理1成立。

［1］Juan L V.The porous medium equation：mathematical theory［M］.London：Oxford university press，2006.

［2］Bustos M C，Concha F，Bürger R，et al.Sedimentation and Thicking：Phenomenological Foundation and Mathematical Theory［M］.Dordrecht Netherlands：Kluwer Academic Publishers，1999.

［3］Antonelli F，Barucci E，Mancino M E.A comparison result for FBSDE with applications to decisions theory［J］.Math Meth Oper Res，2001，（54）：407-423.

［4］Chen G Q，Perthame B.Well-posedness for non-isotropic degenerate parabolic-hyperbolic equation［J］.Analyse nonlineaire，2003，（20）：645-668.

［5］Carrillo J.Entropy solutions for nonlinear degenerate problems［J］.Arch Rational Mech Anal，1999，（147）：269-361.

［6］Bendahmane M，Karlsen K H.Renormalized entropy solutions for quasilinear anisotropic degenerate parabolic equations［J］.SIAM J Math Anal，2004，（36）：405-422.

［7］Perthame B，Souganidis P E.Dissipative and Entropy Solutions to Non-Isotropic Degenerate Parabolic Balance Laws［J］.Arch Rational Mech Anal，2003，170（4）：359-370.

［8］Volpert A I，Hugjaev S I.Cauchy’s problem for degenerate second order quasilinear parabolic equation［J］.Transl Math USSR Sb，1969，（7）：365-387.

［9］Wu Z，Zhao J，Yin J，et al.Nonlinear diffusion equation［M］.Chennai：World Scientific publishing，2001.

［10］Chen G-Q，Karlsen K.Quasilinear anisotropic degenerate parabolic equations with time-space dependent diffusion coefficients［J］.Commun Pure Appl Anal，2005，4（2）：241-266.

［11］Eymard R，Gallout T，Herbin R.Existence and uniqueness of the entropy solution to nonlinear hyperbolic equation［J］.Chin Ann Math，1995，（16）：1-14.

［12］Perthame B.Kinetic formulation of conservation laws［M］.Oxford university press，2002.