陳上上，何英姿、2，劉賀龍

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術重點實驗室，北京 100190）

0 引言

航天飛機再入制導取得了巨大成功，但其采用的參考剖面離線規(guī)劃與在線跟蹤的制導策略，不僅設計過程費時費力，而且難以自主應對異常事件的發(fā)生，常需要人的干預［1］。為提高第二代可重復使用飛行器的自主飛行能力，從而提高安全性、可靠性，同時降低成本，美國航空航天局與美國空軍分別發(fā)起了先進制導與控制計劃、綜合自適應制導與控制計劃［2－3］。在線軌跡規(guī)劃是提高自主飛行能力的一個關鍵，受到了廣泛關注。軌跡規(guī)劃的基本問題是根據(jù)飛行任務的飛行條件和技術要求，尋找一條某種性能指標最優(yōu)而又不違背各種約束的飛行軌跡?？紤]實時性要求，在線軌跡規(guī)劃時一般對再入運動模型進行簡化，結合解析計算與簡單數(shù)值計算得到近似最優(yōu)解。MEASE等將航天飛機的二維軌跡規(guī)劃擴展到三維，軌跡規(guī)劃問題分為軌跡長度問題與軌跡曲率問題：解決軌跡長度問題時，先基于簡化的運動模型得到軌跡長度的解析表達形式，再通過補償縱程偏差修正總航程，最后用牛頓法迭代至滿足終端約束；處理軌跡曲率問題時，用解決長度問題獲得的阻力加速度剖面，計算相關側向加速度幅值，再積分航跡方位角與橫程的微分方程，通過搜索得到最小終端橫程誤差對應的傾側角反轉點［4－6］。陸平等用偽平衡滑翔條件，將強約束、非線性規(guī)劃問題轉為兩個一維參數(shù)搜索問題，用割線法解決了在線優(yōu)化問題［7］。SCHIERMAN等用能量多項式函數(shù)擬合了高度剖面，將運動方程降階，顯著減少了數(shù)值優(yōu)化問題的搜索維數(shù)，最終用非線性規(guī)劃解決了數(shù)值優(yōu)化問題［8］。

上述數(shù)值優(yōu)化過程多采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法，問題復雜度增加時易陷入局部極值；優(yōu)化指標為單一的航程偏差，優(yōu)化結果對模型參數(shù)攝動、環(huán)境不確定性的適應性較差。PSO方法實現(xiàn)簡單，全局搜索能力強，在再入軌跡規(guī)劃應用中受到關注［9－11］。本文對一種基于PSO的再入飛行器在線軌跡規(guī)劃方法進行了研究。

1 問題描述

忽略地球扁率影響，RLV再入3自由度運動方程為

式中：r為地心距；θ為經度；φ為緯度；v為飛行器相對地球的速度；γ為航跡傾角；ψ為航跡方位角（北偏西為正）；μ為地球引力常數(shù)；σ為傾側角；ωe為地球自轉角速度；D，L分別為阻力加速度和升力加速度，且

此處：ρ為大氣密度；M為飛行器的質量；S為參考面積；CD為阻力系數(shù)；CL為升力系數(shù)；α為攻角。各狀態(tài)量幾何關系如圖1所示。與航天飛機類似，本文研究的飛行器氣動系數(shù)CD，CL只與α有關。

圖1 再入幾何關系Fig.1 Geometry of entry flight

采用指數(shù)大氣密度模型

式中：ρ0為海平面大氣密度；h為飛行高度；hs為大氣歸一化高度。

一般來說，再入過程中需要實時滿足的約束主要有熱流率約束、法向氣動過載約束、動壓約束、零傾側角時的平衡滑翔約束，分別為

式中：為熱流率；cq為熱流傳遞系數(shù)；n，m為常數(shù)，一般取n＝0.5，m＝3；nz為法向氣動過載；g0為地面的重力加速度；q為動壓。

另外，再入過程還需考慮總吸熱量約束

以及航程偏差約束

式中：Rpre為解析預測航程；Rtogo為待飛航程。

本文研究的再入軌跡在線規(guī)劃問題描述為：給定初始條件、過程約束式（10）～（13）、吸熱量約束式（14）、終端位置約束式（15），考慮模型參數(shù)攝動、環(huán)境不確定性和異常事件發(fā)生等情況，在線尋找參考軌跡，使如下條件成立：

a）參考軌跡對應的狀態(tài)變量r，θ，φ，v，γ，ψ與控制量σ，α滿足運動方程式（1）～（6）；

b）過程約束、吸熱量約束、終端位置約束得到滿足；

c）控制量σ，α及其一階導數(shù)與二階導數(shù)不能超出姿態(tài)控制系統(tǒng)要求范圍，整個飛行過程中都能實現(xiàn)姿態(tài)配平。

2 參考剖面設計

本文軌跡規(guī)劃的方案為：

a）離線設計攻角參考剖面（α－v）；

b）在線規(guī)劃阻力加速度（D－v）參考剖面；

c）根據(jù)D－v剖面，實時得到參考升阻比，進而得到控制量σ的大小；

d）σ的符號根據(jù)瞄準誤差或通過一維搜索最優(yōu)反轉點確定［1、7］。

其中，D－v剖面在線規(guī)劃是軌跡規(guī)劃的核心，是本文的研究重點。方案中的c），d）已十分成熟，本文未做討論。

2.1 攻角剖面設計

再入α－v剖面設計主要考慮減輕防熱系統(tǒng)重量、末端能量管理段的制導需求，以及姿態(tài)配平要求。本文用離線優(yōu)化設計α－v剖面，再入過程中α－v剖面不再變化，根據(jù)地速直接得到參考攻角。本文對所研究的再入飛行器離線設計的α－v剖面如圖2所示。

圖2 參考攻角剖面Fig.2 Angle of attack profile

α－v剖面的函數(shù)形式為

式中：α0，vα，kα為設計參數(shù)。

α－v剖面確定后，在D－v平面內，可直觀地用再入走廊邊界替代過程約束式（10）～（13），航程與總吸熱量也可解析表示為D與v的關系式，而D與v能通過測量系統(tǒng)或在線辨識實時獲得，因此基于阻力加速度的制導方法在實際工程中得到了廣泛應用［1、4－6］。

2.2 過程約束轉化

由式（7）、（10）～（13）易得D－v平面內各過程約束的表達式為

由上述約束形成了D－v平面內的再入走廊，其中熱流、法向氣動過載和動壓約束共同構成了再入走廊的上邊界（Du－v），平衡滑翔條件則獨自構成了再入走廊的下邊界（Dl－v），如圖3所示。

圖3 再入走廊與參考阻力加速度剖面Fig.3 Reentry corridor and reference drag acceleration profile

2.3 吸熱量計算

再入的初始下降段大氣稀薄，氣動力作用很小，一般采用固定傾側角指令策略，不單獨設計參考剖面。該段結束后（高度約80km），才開始設計參考剖面。一般D－v剖面由溫控段、偽平衡滑翔段、常值阻力段和過渡段4段組成，其中溫控段包括兩個相接的二次型段。文獻［1］給出了各段航程的解析表達式，本文給出各段吸熱量的表達式。

吸熱量的一般表達式為

式中：t0，tF分別為初始與終端時間。再入過程中航跡傾角很小，故

將式（7）、（19）整理后代入式（18）得

式中：v0，vF分別為初始與終端速度。

因CD只與α有關，由圖2、3可知：溫控段、偽平衡滑翔段與常值阻力段阻力系數(shù)為常值，僅過渡段的阻力系數(shù)隨地速而變。

為便于表述，對D－v參考剖面的各節(jié)點依次編號：0為再入點；1為第一個二次型段起點；2為第一個二次型段終點，第二個二次型段起點；3為第二個二次型段終點，偽平衡滑翔段起點；4為偽平衡滑翔段終點，常值阻力段起點；5為常值阻力段終點，過渡段起點；6為過渡段終點。設vi，Di為節(jié)點i（i＝0，1，…，6）處的地速與阻力加速度。

a）溫控段

第一個二次型D－v剖面函數(shù)形式為

式中：C11，C12，C13為設計參數(shù)。

將式（21）代入式（20），可得第一個二次型段吸熱量表達式為

（a）當C3＞0時，

（b）當C3＝0，C2≠0時，

（c）當C3＜0時，

第二個二次型D－v剖面函數(shù)形式為

式中：C21，C22，C23為設計參數(shù)，該段吸熱量Q2的表達式與式（22）～（24）類似。

b）偽平衡滑翔段

該段D－v剖面的函數(shù)形式為

c）常值阻力段

該段D－v剖面的函數(shù)形式為

式中：C4為設計參數(shù)，把式（28）代入式（20），可得該段吸熱量表達式為

d）過渡段

該段D－v剖面的函數(shù)形式為

式中：C5為設計參數(shù)；E為飛行器的能量，且E＝gh＋0.5v2；E6為過渡段末端能量。

求解該段吸熱量時，先擬合得h－v關系式

式中：m1，m2，m3為擬合系數(shù)。由式（30）、（31）可得

再擬合得CD－α關系式

式中：l1，l2，l3為擬合系數(shù)。

根據(jù)式（16）、（20）、（32）、（33）可得該段吸熱量表達式為

式（34）不便于進一步解析計算，D－v剖面優(yōu)化時可通過簡單的數(shù)值積分得到該段吸熱量。

在再入走廊內設計的D－v剖面能自動滿足各種過程約束；用本文的吸熱量表達式與文獻［1］給出的航程表達式，可預測吸熱量與航程誤差；若吸熱量與航程誤差不滿足要求，則需要重新設計參考剖面，重復上述過程至滿足實際需求。通常，上述迭代過程可用優(yōu)化方法完成。

3 優(yōu)化問題形成

參考剖面參數(shù)有9個，其中溫控段6個，其它3段各1個，若直接進行優(yōu)化會十分復雜。如以各段端點坐標為待優(yōu)化參數(shù)，根據(jù)任務要求及參考剖面連續(xù)性與光滑性要求，可減少優(yōu)化參數(shù)數(shù)，提高優(yōu)化效率。

3.1 參考剖面簡化設計

初始下降段采用固定傾側角飛行，通常不再調整v1，D1；為保證過渡段的航程調整能力，v5通過離線優(yōu)化設計，不做在線調整；另外，根據(jù)任務要求，一般v6，D6為固定值。

除上述5個節(jié)點坐標固定外，其余參考剖面節(jié)點坐標均可在線調整，調整基本原則為

a）節(jié)點及由節(jié)點連接的參考剖面應完全在再入走廊內；

b）再入航程與總吸熱量應滿足任務需求；

c）各段相接的節(jié)點處盡量保證連續(xù)性與光滑性。

根據(jù)上述原則，為保證初始下降段與第一個二次型段的平滑過渡，設計D－v剖面時應保證兩段交點處斜率相等，設均為k1。因初始下降段不做調整，故k1為已知。

同理，為保證其它各段的連續(xù)性與光滑性，則有

式中：

由式（35）～（37）可發(fā)現(xiàn)，參考剖面的9個參數(shù)能由X唯一確定：給定k1，v1，D1，v5，v6，D6，X后，由式（35）可得C11，C12，C13，之后由式（36）可得C21，C22，C23，K3，D3，由式（37）可得v4。

3.2 參考剖面優(yōu)化

當α－v剖面確定后，相應的再入走廊也隨之確定。但由于模型參數(shù)攝動及環(huán)境不確定性的存在，設計再入走廊時應保守一些，另外為保證一定的側向機動能力，參考剖面不應過于接近再入走廊下邊界。

由上述分析已知：4個節(jié)點參數(shù)可唯一確定D－v剖面，因此也決定了參考剖面與標稱再入走廊邊界的最小距離。本文在優(yōu)化指標中考慮此最小距離、總吸熱量和航程偏差。

由式（17）可得再入走廊上下邊界的D－v函數(shù)分別為

由前述已知，參考剖面參數(shù)由X唯一確定，參考阻力加速度可表示為X，v的函數(shù)，即

取設計優(yōu)化目標為

式中：Qall為總吸熱量，且Qall＝Q1＋Q2＋Q3＋Q4＋Q5；ΔDu為參考剖面與標稱再入走廊上邊界的距離，且 ΔDu＝min ［fu（v）－f（X，v）］；ΔDl為與下邊界的距離，且ΔDl＝min ［f（X，v）－fl（v） ］；kf1，kf2，kf3，kf4，kf5為設計參數(shù)。最后兩項設計為指數(shù)形式，其值隨參考剖面與走廊邊界距離的減小而迅速增大，而參考剖面與走廊邊界的距離增大到一定程度后，這兩項不再起作用。實際應用時，根據(jù)任務情況與飛行器自身特性可合理選取式（42）中的某幾項組成優(yōu)化目標。考慮再入走廊邊界約束以及節(jié)點坐標之間的大小關系，最終的優(yōu)化問題為

4 基于改進PSO的在線剖面優(yōu)化

圖4 二維PSO示意圖Fig.4 Two－dimensional PSO

PSO算法中的m個粒子一直并行搜索。在每次迭代過程中，記錄每個粒子的迄今最優(yōu)位置pi（k），通過比較獲得整個粒子群迄今最優(yōu)位置pg（k）。通過速度更新與位置更新得到下一步的搜索方向與位置分別為

本文定義使優(yōu)化目標式（42）數(shù)值最小的位置為最優(yōu)位置。參數(shù)搜索的更新速度應與該參數(shù)范圍相匹配，否則，更新速度太快易引發(fā)搜索振蕩，更新速度太慢搜索時間太長，不利于在線應用。為此，本文將式（44）改進為

式中：λj，ηj分別為控制個體認知分量和群體社會分量相對貢獻的第j維學習率，可根據(jù)優(yōu)化量的搜索范圍設計，改進后每維待優(yōu)化量都有與之匹配的學習率。

算法流程如圖5所示。

圖5 基于PSO的在線剖面優(yōu)化算法流程Fig.5 Flowchart of onboard profile planning algorithm based on PSO

5 仿真

對本文使用的RLV及相關飛行任務，過渡段參考剖面易接近再入走廊下邊界，從而導致末端側向機動能力不足，因此需在優(yōu)化指標中考慮過渡段參考剖面與走廊下邊界的距離。取優(yōu)化指標

表1 優(yōu)化參數(shù)初值Tab.1 Initial values of optimized parameter

采用上述設計參數(shù)，遍歷考查異常時間發(fā)生時飛行任務更改為短航程與長航程時參考剖面優(yōu)化結果。短航程下的指標優(yōu)化結果為Qall＝0.717Qmax，ΔR＝0.310km，ΔDl＝1.398m／s2；長航程下的指標優(yōu)化結果為Qall＝0.777Qmax，ΔR＝1.211km，ΔDl＝1.166m／s2。優(yōu)化的D－v剖面分別如圖6、7所示。由圖可知：兩種情況下過渡段參考剖面對應最小傾側角均為30°左右，側向機動能力得到了保證，設計的參考剖面與再入走廊上下邊界都保持一定距離，在異常事件發(fā)生時能應對一定的模型參數(shù)攝動和環(huán)境不確定性。

在普通計算機Windows XP系統(tǒng)中用Matlab仿真，優(yōu)化算法平均耗時6s，能滿足在線規(guī)劃要求。另外，根據(jù)實際需求，在C環(huán)境中對程序進行優(yōu)化可進一步提高該方法的實時性。

圖6 短航程優(yōu)化結果Fig.6 Optimization result of short range simulation

圖7 長航程優(yōu)化結果Fig.7 Optimization result of long range simulation

6 結束語

本文對基于改進PSO的再入飛行器的在線軌跡規(guī)劃方法進行了研究。考慮了再入過程約束、終端位置約束、總吸熱量約束、模型參數(shù)攝動與環(huán)境不確定性影響，保證了再入末端的側向機動能力，提高了異常事件發(fā)生時優(yōu)化軌跡對模型參數(shù)攝動以及環(huán)境不確定性的適應能力。仿真驗證了方法的實時性。

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