□江蘇省蘇州市平江中學校 翁余

巧用一次函數圖像解決實際問題

□江蘇省蘇州市平江中學校 翁余

數與形是數學學習與研究永恒的話題，它們就像是一個硬幣的兩個面。形是數的載體，數是形的內涵。因此，對于數與形的研究，我們不能割裂地來看待，必須使其有機結合，使問題迎刃而解。

數形結合 函數圖像 變式問題

在初中數學教學中，我們常常強調“數形結合”，通常指的是“以數助形”或是“以形解數”，即利用數與形的有機結合，使得原本抽象、復雜的問題變得簡單、具體。下面,結合自己的教學實踐與體會，筆者以運用一次函數圖像解決實際問題為例一探數形結合之妙用。

一、利用函數圖像解決實際問題的價值所在

把實際場景轉化為函數圖像的過程，實質上就是建立了知識間的關聯，形成了知識的遷移，因而對發(fā)展和優(yōu)化學生的認知結構十分有益。同時，在學生分析與解決問題的過程中，畫函數圖象是十分重要的步驟，它可以促進學生能更好地思維，使他們學會有序推理和抽象思維。與此同時，畫圖思考的過程還促進了數學與其他學科的聯系。

二、利用一次函數圖像解決實際問題的應用分析

【例1】（1）自凌晨0點起至中午12點整，時針和分針重合幾次？

（2）它們第二次相遇是在什么時間？

【分析】（1）建立如圖所示直角坐標系，橫軸代表時間，縱軸代表時針(分針)轉過的角度。由于時針每12小時轉一圈即轉360°，所以代表時針的一次函數圖像一定經過（0，0）和（12，360），從而得到代表時針的一次函數圖像。分針1小時轉一圈即轉360°，所以1點整的時候代表分針的一次函數圖像經過（1,360），2點整的時候代表分針的一次函數圖像經過（2,360）……以此類推，同樣可以得到代表分針的一次函數圖像。在同一直角坐標系中分針與時針圖像共有11個交點，即代表它們相遇了11次。（2）由圖像知分針與時針第二次相遇在2點至3點之間，此時，y時針=30x，y分針=360x-720，交點坐標為），所以第二次相遇的時間為2點分。

【例2】若A、B兩站間的路程為500km,甲速20km/h,乙速為30km/h，甲乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)。

（1）若兩車相向而行，幾小時后兩車相遇？

（2）若兩車相向而行，問經過多少小時他們相距100km？

（3）若兩車同向而行，問經過多少小時他們相距100km？

【分析】在函數關系式y(tǒng)=kx+b中，|k|即車速，b為函數與縱軸交點的縱坐標。（1）建立如圖1所示平面直角坐標系，則y甲=-20x+500，y乙=30x，交點（10,300），所以兩車相向而行，10小時后兩車相遇。（2）兩車相距100km，應該包含兩種情況：①兩車相遇前相距100km；②兩車相遇后相距100km，用數學表達式可以歸納為：|y甲-y乙|=100。把（1）中的兩個函數關系式代入求解即可。（3）與第（2）小題的區(qū)別是運動方向由“相向而行”改為“同向而行”，根據題意原來甲乙之間距離為500km，同向而行后相距100km，那么只可能速度快的乙在后，而速度慢的甲在前，因此建立如圖2所示平面直角坐標系，得到：y甲=20x+500，y乙=30x，代入|y甲-y乙|=100，從而得到答案：兩車同向而行，經過40小時或60小時他們相距100km。

【例3】路邊有一路燈桿AB，小明手中拿著一把長為1米的米尺，在燈光下，在點D處測得豎立的米尺影長DE=2m。

（1）若此時測得米尺離路燈底部的距離BD=10m，求路燈桿AB的高度。

（2）若小明沿DB方向繼續(xù)前行5米到達點G處，此時測得豎立的米尺影長HG=1m，求路燈桿AB的高度。

【分析】以E為坐標原點建立如圖所示直角坐標系，（1）很明顯E（0，0）、C（2，1），所以直線CE：y=x，而點A橫坐標為12，代入解析式可以求出縱坐標為6，即燈桿AB的高度為6米。（2）由F（7，1）、H（6，0）得直線FH：y=x-6，它與直線CE交點A的坐標為（12，6），因此燈桿AB的高度為6米。

三、利用圖像解決實際問題的教學思考

在初中階段培養(yǎng)學生利用“數形結合”的方法觀察、分析問題，對發(fā)展數學思維也有非常大的幫助，學生將終生受益。