潘樂飛，劉新學(xué)，王順宏

(第二炮兵工程大學(xué)，西安　710025)

突防彈最優(yōu)機(jī)動(dòng)頻率的選擇問題研究

潘樂飛，劉新學(xué)，王順宏

(第二炮兵工程大學(xué)，西安710025)

摘要：為提高彈道導(dǎo)彈的生存概率，研究了突防彈的機(jī)動(dòng)頻率與攔截彈脫靶量之間的解析關(guān)系；基于比例導(dǎo)引的線性化模型，通過引入頻域分析方法，分析了攔截彈脫靶量峰值與突防彈機(jī)動(dòng)頻率間的關(guān)系，獲得了脫靶量峰值與目標(biāo)彈機(jī)動(dòng)頻率之間的解析公式；通過仿真分析，驗(yàn)證了解析公式的合理性，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：機(jī)動(dòng)頻率；脫靶量；比例導(dǎo)引；頻域分析

彈道機(jī)動(dòng)可以大大提高導(dǎo)彈的生存概率。合理的機(jī)動(dòng)頻率與機(jī)動(dòng)幅值，會(huì)提前消耗攔截彈機(jī)動(dòng)所需的有限燃料，若能在遭遇前使攔截彈燃料耗盡，則可達(dá)到機(jī)動(dòng)突防的目的。目前研究最優(yōu)突防與攔截的對(duì)抗問題時(shí)大都采用最優(yōu)控制理論與博弈理論[1,2]。這兩種方法均需要獲取突防彈與攔截彈完備的飛行參數(shù)，但目前由于各種條件的限制我們無法獲取攻防雙方的完整信息，故上述理論暫不具備工程應(yīng)用的條件。

對(duì)突防彈來說，盡管無法預(yù)知攔截彈的發(fā)射時(shí)間及遭遇時(shí)刻，但在某些條件下可事先獲得攔截彈的導(dǎo)彈類型及相應(yīng)的制導(dǎo)方案。因此，可以利用有限的攔截彈信息，研究突防彈機(jī)動(dòng)頻率及機(jī)動(dòng)幅值對(duì)攔截彈脫靶量的影響。

本文假定已知攔截彈的制導(dǎo)方案及制導(dǎo)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)(如攔截彈的有效導(dǎo)航比、制導(dǎo)系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)、自然頻率、阻尼系數(shù)等)，試圖尋找攔截彈脫靶量與突防彈機(jī)動(dòng)頻率間的函數(shù)關(guān)系。

1比例導(dǎo)引線性化模型

攔截彈末制導(dǎo)系統(tǒng)的線性化模型[3]如圖1所示。

圖1　比例導(dǎo)引線性化模型

(1)

其中，對(duì)于有尾翼控制的導(dǎo)彈，有

(2)

對(duì)于非尾翼控制導(dǎo)彈a(s)是一階多項(xiàng)式；ωM為自然頻率；ζ為阻尼系數(shù)；ωz為彈體零頻。

2脫靶量峰值計(jì)算

在復(fù)數(shù)域，tf時(shí)刻的脫靶量公式[4]為

(3)

式(3)中，YT(s)為目標(biāo)彈垂向位置YT(t)的拉普拉斯變換；Y(tf,s) 為y(tf)的拉普拉斯變換；H(s)=G(s)/s，其中

(4)

式(4)中，r1、r2、r3為常值系數(shù)。

若目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式為正弦形式(nT=1gsinωT)，則由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率ω產(chǎn)生的脫靶量穩(wěn)態(tài)分量為

(5)

其中，P(tf,iω)為tf時(shí)刻由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率ω產(chǎn)生的脫靶量。

(6)

其中，系數(shù)A、B1、B2、C和D可以計(jì)算如下

A=1

對(duì)于τ2=0，有

對(duì)第4項(xiàng)進(jìn)行積分，得

(7)

由于僅考慮目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率對(duì)脫靶量的影響，故將s=iω代入式(7)，得

(8)

在式(7)、式(8)中，arctan表示對(duì)復(fù)變量的反正切，tan-1表示在含有復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)中的實(shí)數(shù)部分進(jìn)行的反正切。

僅考慮上式的實(shí)數(shù)部分，代入積分公式，解得

(9)

其中，

(10)

根據(jù)上面得到的脫靶量幅值特性函數(shù)式(9)、式(10)可知，當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率ω變化時(shí)，脫靶量幅值必然存在極值。

3仿真分析

令導(dǎo)航系數(shù)N=4，ωM=20 rad/s，ωz=5 rad/s，τ=0.5 s，ζ=0.7。根據(jù)式(9)、式(10)可得仿真結(jié)果如圖2所示。脫靶量峰值大概發(fā)生在ω=1.7 rad/s處，且隨著目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率的增加，脫靶量峰值又逐漸減小。分析可知，當(dāng)機(jī)動(dòng)頻率ω逼近零時(shí)，其效果類似于階躍機(jī)動(dòng)，故脫靶量峰值也逼近為零；而當(dāng)機(jī)動(dòng)頻率ω過大時(shí)，會(huì)使其有效機(jī)動(dòng)幅值減小，故脫靶量峰值反而又趨向于零。

圖2　脫靶量峰值與目標(biāo)彈機(jī)動(dòng)頻率的關(guān)系曲線

令ω=1.4 rad/s，目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度為nT=1gsinω，根據(jù)圖1線性化模型進(jìn)行仿真，可得攔截彈的脫靶量與剩余飛行時(shí)間的關(guān)系曲線(圖3)。由于目標(biāo)彈作正弦機(jī)動(dòng)的緣故，攔截彈脫靶量峰值隨飛行時(shí)間也呈正弦變化規(guī)律，其最大值在6.7左右，與圖2 的仿真結(jié)果接近，即驗(yàn)證了式(9)、式(10)的計(jì)算結(jié)果。

圖3　脫靶量峰值與待飛時(shí)間關(guān)系曲線

由于對(duì)脫靶量峰值起決定作用的因素為目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率ω及攔截彈時(shí)間常數(shù)τ，且有擬合公式[3]：

因此，固定N=4，ωM=20rad/s，ωz=5rad/s，ζ=0.7時(shí)，令攔截彈時(shí)間常數(shù)τ由0.2逐漸增加至1.0，可得脫靶量峰值及對(duì)應(yīng)最優(yōu)機(jī)動(dòng)頻率的數(shù)據(jù)(表1)。由仿真數(shù)據(jù)可知，隨著時(shí)間常數(shù)τ的遞增，脫靶量峰值逐漸減小，最優(yōu)機(jī)動(dòng)頻率ω逐漸減小。

表1　時(shí)間常數(shù)τ與脫靶量峰值及機(jī)動(dòng)頻率ω的關(guān)系

4結(jié)論

本文研究了目標(biāo)作正弦機(jī)動(dòng)的頻率與攔截彈脫靶量峰值的關(guān)系。理論公式和仿真結(jié)果表明：選擇合理的目標(biāo)機(jī)動(dòng)頻率能夠使攔截彈產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)脫靶量。在實(shí)際的攻防對(duì)抗中，由于無法精確獲得攔截彈的制導(dǎo)系統(tǒng)參數(shù)，因此需要進(jìn)一步探討如何在實(shí)戰(zhàn)中合理使用本文的理論公式。

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(責(zé)任編輯楊繼森)

收稿日期：2015-02-14

作者簡介：潘樂飛(1979—)，男，博士研究生，講師，主要從事飛行動(dòng)力學(xué)與制導(dǎo)研究。

doi:10.11809/scbgxb2015.07.023

中圖分類號(hào)：V448

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-0707(2015)07-0090-03

本文引用格式：潘樂飛，劉新學(xué)，王順宏.突防彈最優(yōu)機(jī)動(dòng)頻率的選擇問題研究[J].四川兵工學(xué)報(bào)，2015(7):90-92.

Citation format:PAN Le-fei, LIU Xin-xue, WANG Shun-hong.Optimal Frequency of Weaving Maneuver Penetration[J].Journal of Sichuan Ordnance,2015(7):90-92.

Optimal Frequency of Weaving Maneuver Penetration

PAN Le-fei, LIU Xin-xue, WANG Shun-hong

(The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China)

Abstract:To improve the penetration probability of ballistic missiles, the analytic relationship between the weaving penetration frequency and the interceptor miss distance was studied. Based on the linear model of proportional navigation, introducing the Laplace transition method in the complex domain, the relationship and analytic formula between the max miss distance and weaving frequency were obtained. The simulation results show the rationality and certain engineering application value of the analytical formula.

Key words:weaving frequency; miss distance; proportional navigation; complex domain analysis

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【信息科學(xué)與控制工程】