凡鳳仙(通信作者)，女，副教授，博士，電話(Tel.)：021-55272320；E-mail：fanfengxian@hotmail.com.

駐波聲場(chǎng)中直鏈顆粒團(tuán)聚體運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬

楊旭峰，凡鳳仙

(上海理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200093)

摘要：建立水平駐波聲場(chǎng)中直鏈顆粒團(tuán)聚體的動(dòng)力學(xué)模型，利用數(shù)值模擬方法研究單分散顆粒凝并生成的直鏈顆粒團(tuán)聚體的運(yùn)動(dòng)特性.結(jié)果表明：直鏈顆粒團(tuán)聚體除發(fā)生周期性往復(fù)振動(dòng)外，還在一定角度范圍內(nèi)來(lái)回轉(zhuǎn)動(dòng)，其振動(dòng)不受所含原始顆粒個(gè)數(shù)的影響，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率隨原始顆粒個(gè)數(shù)的增加而增大，與等體積球形顆粒差別顯著；團(tuán)聚體的平動(dòng)不受初始夾角θ0的影響，而其轉(zhuǎn)動(dòng)范圍由θ0決定，當(dāng)0<θ0<π/2時(shí)，團(tuán)聚體的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為[-θ0, θ0]；在團(tuán)聚體初始位置由速度波節(jié)向波腹移動(dòng)的過(guò)程中，其平動(dòng)位移振幅和轉(zhuǎn)動(dòng)頻率均增大；隨著原始顆粒粒徑的增大，團(tuán)聚體平動(dòng)位移振幅和轉(zhuǎn)動(dòng)頻率均減小.

關(guān)鍵詞：直鏈顆粒團(tuán)聚體； 駐波聲場(chǎng)； PM2.5； 運(yùn)動(dòng)特性； 數(shù)值模擬

收稿日期：2014-06-10

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51206113，51176128)

作者簡(jiǎn)介：楊旭峰(1989-)，男，湖北武漢人，碩士研究生，主要從事氣固兩相流數(shù)值模擬研究.

中圖分類號(hào)：

Numerical Simulation on Motion of Chain-like Particle Aggregates

in Standing Wave Acoustic Field

YANGXufeng,FANFengxian

(School of Energy and Power Engineering, University of Shanghai for

Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract：A dynamic model was established for chain-like particle aggregates in horizontal standing wave acoustic field, with which the motion characteristics of chain-like aggregates generated by coagulation of monodisperse particles were studied using numerical simulation. Results show that the motion of chain-like particle aggregates is characterized as oscillation in wave direction and rotation at an angle within certain range; the oscillation is independent of the number of primary particles in the aggregate, but the rotation frequency increases with the number of primary particles; the motion of chain-like aggregates differs greatly from that of an equivalent sphere. The oscillation is not affected by the initial angle (θ0) between aggregate and wave direction, and the rotation range is determined by the initial angle; in an angle range of 0<θ0<π/2, the rotation will be kept in the range of [-θ0, θ0]. When the initial position of aggregate mass center moves from velocity node to velocity loop, both the oscillation amplitude and the rotation frequency will increase, which will reduce with the size of primary particles.

Key words： chain-like particle aggregate; standing wave acoustic field; PM2.5; motion characteristics; numerical simulation

工業(yè)生產(chǎn)和交通運(yùn)輸過(guò)程中產(chǎn)生的可吸入顆粒物已成為我國(guó)城市大氣的首要污染物，特別是其中空氣動(dòng)力學(xué)直徑≤2.5 μm的細(xì)顆粒物(PM2.5)，因其難以被常規(guī)除塵設(shè)施捕集而排放到大氣中，嚴(yán)重危害著大氣環(huán)境和人體健康[1].為解決顆粒物污染問(wèn)題，一些學(xué)者開(kāi)始在PM2.5的高效脫除方面開(kāi)展工作.目前，正在研究的PM2.5排放控制技術(shù)途徑主要有2大類：一為改進(jìn)的常規(guī)除塵和復(fù)合除塵技術(shù)，如濕式靜電除塵和電袋復(fù)合除塵等；二為凝并預(yù)處理技術(shù)，如聲凝并和蒸汽相變凝并等[2-3].其中，聲凝并不受顆粒潤(rùn)濕性和荷電性的限制，是一種具有研究?jī)r(jià)值和應(yīng)用潛力的PM2.5排放控制技術(shù).聲凝并的原理是利用外加聲場(chǎng)作用引起顆粒之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，促進(jìn)顆粒發(fā)生碰撞接觸，進(jìn)而凝并在一起，引起顆粒數(shù)目減少、平均粒徑增大，有利于常規(guī)除塵器將其脫除.

為揭示聲凝并機(jī)理和動(dòng)態(tài)過(guò)程，一些學(xué)者對(duì)聲場(chǎng)中單個(gè)顆粒的運(yùn)動(dòng)軌跡和顆粒群粒徑分布演變過(guò)程進(jìn)行了研究探討.然而，在聲場(chǎng)中單顆粒動(dòng)力學(xué)特性的研究中，無(wú)論實(shí)驗(yàn)、理論還是數(shù)值模擬往往針對(duì)球形顆粒[4-6]，并且在對(duì)聲凝并進(jìn)行建模時(shí)，通常將顆粒團(tuán)聚體也視為球形[7-8].實(shí)際上，即使初始顆粒為球形，一旦發(fā)生聲凝并，生成的顆粒團(tuán)聚體也將偏離球形.聲凝并實(shí)驗(yàn)表明，初始狀態(tài)下的球形顆粒(玻璃微珠、鋅顆粒和燃煤飛灰)經(jīng)聲凝并生成了大量鏈狀顆粒團(tuán)聚體[9-11].與球形顆粒相比，鏈狀顆粒團(tuán)聚體在聲場(chǎng)中除了發(fā)生平動(dòng)外，還發(fā)生了轉(zhuǎn)動(dòng)，使其運(yùn)動(dòng)行為有別于球形顆粒.探明鏈狀顆粒團(tuán)聚體的運(yùn)動(dòng)特性對(duì)于建立更精確的聲凝并模型具有重要意義.筆者建立了駐波聲場(chǎng)中直鏈顆粒團(tuán)聚體的動(dòng)力學(xué)模型，利用數(shù)值模擬方法研究了不同條件下單分散顆粒組成的直鏈顆粒團(tuán)聚體在聲場(chǎng)中的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)特性，為建立更切合實(shí)際的聲凝并模型提供理論基礎(chǔ).

1數(shù)學(xué)模型

為便于建模和求解，提出以下簡(jiǎn)化假設(shè)：

(1) 假設(shè)聲波沿水平方向傳播；

(2) 將氣體簡(jiǎn)化為空氣，并視為理想氣體；

(3) 假設(shè)組成團(tuán)聚體的原始顆粒為剛性球形，且粒徑相等；

(4) 忽略非穩(wěn)定力的影響，僅考慮黏性?shī)A帶力對(duì)團(tuán)聚體的作用；

(5) 不考慮聲流和聲輻射壓力等二階小量對(duì)團(tuán)聚體運(yùn)動(dòng)的影響；

(6) 不考慮團(tuán)聚體對(duì)氣相場(chǎng)的影響.

1.1駐波的波動(dòng)方程

設(shè)水平方向?yàn)閤方向，駐波波動(dòng)方程[12]可寫(xiě)為

ug(x,t)=umsin(kx)cos(ωt)

(1)

式中：ug(x,t)為聲波引起的氣體介質(zhì)振動(dòng)速度，m/s；um為速度振幅，m/s；x為位置坐標(biāo)，m；t為時(shí)間，s；k為波數(shù)，m-1；ω為角頻率，rad/s，ω=2πf，其中f為頻率，Hz.

通常采用頻率和聲強(qiáng)來(lái)描述聲場(chǎng)，聲強(qiáng)習(xí)慣上采用聲壓級(jí)來(lái)表示，其表達(dá)式為

(2)

式中：L為聲壓級(jí)，dB；pr為參考聲壓，pr=2×10-5Pa；ps為聲壓有效值，Pa.

ps與氣體介質(zhì)速度振幅um的關(guān)系為

(3)

式中：c為聲速，m/s；ρg為氣體介質(zhì)密度，kg/m3.

1.2直鏈顆粒團(tuán)聚體的動(dòng)力學(xué)模型

直鏈顆粒團(tuán)聚體示意圖見(jiàn)圖1，其中θ為團(tuán)聚體與聲波方向的夾角；l為團(tuán)聚體長(zhǎng)度，l=ndp，n為原始顆粒個(gè)數(shù)，dp為原始顆粒粒徑.

圖1　直鏈顆粒團(tuán)聚體示意圖

團(tuán)聚體所受作用力可由原始顆粒受力疊加得到，即

(4)

(5)

式中：Fa為團(tuán)聚體所受作用力，N；Fpi為第i個(gè)原始顆粒所受黏性?shī)A帶力，N；μg為氣體介質(zhì)動(dòng)力黏度，Pa·s；ugi為第i個(gè)原始顆粒所在位置氣體介質(zhì)的振動(dòng)速度，m/s；ua為團(tuán)聚體的平動(dòng)速度，m/s；Cc為肯寧漢修正系數(shù)；Kn為克努森數(shù)，Kn=2λg/dp，λg為氣體分子平均自由程，m.

根據(jù)牛頓第二定律，團(tuán)聚體平動(dòng)方程為

(6)

由于團(tuán)聚體質(zhì)心的力矩不為0，團(tuán)聚體在平動(dòng)的同時(shí)還將繞質(zhì)心發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng).團(tuán)聚體所受作用力在其質(zhì)心產(chǎn)生的力矩為

(7)

式中：Ma為力矩，N·m；ri為第i個(gè)原始顆粒質(zhì)心與團(tuán)聚體質(zhì)心之間的距離，m.

根據(jù)動(dòng)量矩定理，團(tuán)聚體轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

(8)

根據(jù)平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理，Ipi可按下式[13]計(jì)算：

(9)

由式(9)可得到不同原始顆粒個(gè)數(shù)時(shí)直鏈顆粒團(tuán)聚體對(duì)自身質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(見(jiàn)表1).

表1　直鏈顆粒團(tuán)聚體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

2結(jié)果與分析

在原始顆粒個(gè)數(shù)、初始時(shí)刻團(tuán)聚體與聲波方向的夾角(以下簡(jiǎn)稱初始夾角)、初始時(shí)刻團(tuán)聚體質(zhì)心的位置(以下簡(jiǎn)稱初始位置)和原始顆粒粒徑不同的情況下，對(duì)直鏈顆粒團(tuán)聚體的運(yùn)動(dòng)(包括隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng))特性進(jìn)行數(shù)值模擬，部分計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表2.

表2　數(shù)值模擬參數(shù)

2.1原始顆粒個(gè)數(shù)對(duì)團(tuán)聚體運(yùn)動(dòng)的影響

在f=4 000 Hz、dp=2 μm、初始夾角θ0=π/4、初始位置x0=3λ/4(λ為聲波波長(zhǎng))條件下，得到原始顆粒個(gè)數(shù)對(duì)直鏈顆粒團(tuán)聚體運(yùn)動(dòng)的影響(見(jiàn)圖2).由于團(tuán)聚體長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于聲波波長(zhǎng)，各原始顆粒周?chē)臍庀鄨?chǎng)差異極小，各原始顆粒受力幾乎完全相同，其平動(dòng)特性一致.因此，團(tuán)聚體的平動(dòng)與其所含原始顆粒個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，表現(xiàn)為n=2、3、4、5時(shí)，團(tuán)聚體受聲波夾帶做周期性往復(fù)振動(dòng)的平動(dòng)位移曲線完全重合，平動(dòng)位移振幅為76.8 μm，如圖2(a)所示.若按現(xiàn)有聲凝并模型[7-8]將此團(tuán)聚體視為等體積球形顆粒進(jìn)行處理，當(dāng)n=2、3、4、5時(shí)，直鏈顆粒團(tuán)聚體對(duì)應(yīng)的等體積球形顆粒粒徑分別為2.50 μm、2.88 μm、3.17 μm和3.42 μm.此時(shí)，隨著原始顆粒個(gè)數(shù)的增加，團(tuán)聚體粒徑增大，慣性增強(qiáng)，更加難以被聲波充分夾帶，從而導(dǎo)致團(tuán)聚體的平動(dòng)位移振幅隨著原始顆粒個(gè)數(shù)的增加而減小，這與直鏈顆粒團(tuán)聚體的真實(shí)運(yùn)動(dòng)特性差異顯著.數(shù)值模擬結(jié)果表明，將直鏈顆粒團(tuán)聚體視為等體積球形顆粒低估了其平動(dòng)位移振幅，當(dāng)n=2、3、4、5時(shí)，分別低估了20.23%、32.37%、40.86%和45.98%.

(a) 直鏈顆粒團(tuán)聚體與等體積球形顆粒平動(dòng)位移的對(duì)比

(b) 直鏈顆粒團(tuán)聚體與聲波方向的夾角隨時(shí)間的變化

由圖2(b)可知，直鏈顆粒團(tuán)聚體繞質(zhì)心在一定的角度范圍內(nèi)發(fā)生周期性來(lái)回轉(zhuǎn)動(dòng).盡管各原始顆粒周?chē)臍庀鄨?chǎng)差別極小，引起原始顆粒所受黏性?shī)A帶力差異微小，但是由于團(tuán)聚體繞自身質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量極其微小，使得團(tuán)聚體具有一定的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度，團(tuán)聚體在聲場(chǎng)中平動(dòng)的同時(shí)圍繞質(zhì)心發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng).結(jié)果表明，團(tuán)聚體所含原始顆粒個(gè)數(shù)越多，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率越大.雖然隨著原始顆粒個(gè)數(shù)的增加，各原始顆粒在聲場(chǎng)中因位置差異而產(chǎn)生的合力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均增大，但計(jì)算結(jié)果顯示，相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增大，合力矩的增大更為顯著.因此，直鏈顆粒團(tuán)聚體的角加速度隨原始顆粒個(gè)數(shù)的增加而增大，導(dǎo)致含有原始顆粒個(gè)數(shù)較多的團(tuán)聚體的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率較大.

在建立聲凝并模型時(shí)，為了描述聲凝并作用效果，定義單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)顆粒周?chē)軌虿东@其他顆粒的體積為凝并體積，又稱為凝并核函數(shù).由直鏈顆粒團(tuán)聚體的運(yùn)動(dòng)特性可知，直鏈顆粒團(tuán)聚體比等體積球形顆粒具有更大的凝并體積.由此可以推斷，若將直鏈顆粒團(tuán)聚體簡(jiǎn)化為球形，則低估了顆粒的聲凝并效果.

2.2初始夾角對(duì)團(tuán)聚體運(yùn)動(dòng)的影響

圖3給出了f=4 000 Hz、dp=2 μm、n=3、x0=3λ/4，不同初始夾角時(shí)直鏈顆粒團(tuán)聚體的運(yùn)動(dòng)特性.由圖3(a)可以看出，直鏈顆粒團(tuán)聚體的平動(dòng)位移幾乎不受初始夾角的影響.這是由其所受作用力決定的，由于直鏈顆粒團(tuán)聚體長(zhǎng)度遠(yuǎn)小于聲波波長(zhǎng)，在其長(zhǎng)度范圍內(nèi)的氣相場(chǎng)差異極小，使得不同初始夾角時(shí)各原始顆粒受力幾乎完全相同，從而使得直鏈顆粒團(tuán)聚體的平動(dòng)狀態(tài)一致.由圖3(b)可知，當(dāng)θ0=0、π/2時(shí)，直鏈顆粒團(tuán)聚體不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，這是由于此時(shí)作用于直鏈顆粒團(tuán)聚體的力矩為0.當(dāng)0<θ0<π/2時(shí)，直鏈顆粒團(tuán)聚體在[-θ0，θ0]內(nèi)發(fā)生周期性轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)頻率隨初始夾角的增大而減小，轉(zhuǎn)

(a) 直鏈顆粒團(tuán)聚體的平動(dòng)位移

(b) 直鏈顆粒團(tuán)聚體與聲波方向的夾角隨時(shí)間的變化

動(dòng)頻率的變化主要是由于直鏈顆粒團(tuán)聚體轉(zhuǎn)動(dòng)行程發(fā)生了變化而引起的.

直鏈顆粒團(tuán)聚體的平動(dòng)對(duì)凝并體積的影響主要取決于團(tuán)聚體振動(dòng)頻率、平動(dòng)位移振幅、團(tuán)聚體長(zhǎng)度和初始夾角；轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)凝并體積的影響則取決于轉(zhuǎn)動(dòng)速度和團(tuán)聚體長(zhǎng)度.在聲凝并的實(shí)際應(yīng)用中，除初始位置在波節(jié)點(diǎn)附近的直鏈顆粒團(tuán)聚體外，通常直鏈顆粒團(tuán)聚體的振幅大于其長(zhǎng)度，考慮到團(tuán)聚體的振動(dòng)頻率遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)動(dòng)頻率(見(jiàn)圖3)，可以推斷直鏈顆粒團(tuán)聚體的凝并體積往往由其平動(dòng)特性決定，轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)凝并體積的影響一般較小.

(a) 直鏈顆粒團(tuán)聚體的平動(dòng)位移

(b) 直鏈顆粒團(tuán)聚體與聲波方向的夾角隨時(shí)間的變化

2.3初始位置對(duì)團(tuán)聚體運(yùn)動(dòng)的影響

圖4給出了f=4 000 Hz、dp=2 μm、n=3、θ0=π/4，不同初始位置時(shí)直鏈顆粒團(tuán)聚體的運(yùn)動(dòng)特性.由圖4(a)可知，初始位置位于速度波節(jié)點(diǎn)(x0=λ/2)的團(tuán)聚體平動(dòng)位移始終為0，在初始位置由波節(jié)向波腹(x0=3λ/4)移動(dòng)的過(guò)程中，團(tuán)聚體平動(dòng)位移振幅不斷增大.這是由于在關(guān)于波節(jié)點(diǎn)對(duì)稱的位置上，同一時(shí)刻氣體介質(zhì)振動(dòng)速度大小相等、方向相反，使得x0=λ/2時(shí)波節(jié)點(diǎn)兩側(cè)的團(tuán)聚體部分受力大小相等、方向相反，合力為0，從而導(dǎo)致團(tuán)聚體不發(fā)生平動(dòng)；隨著初始位置向波腹移動(dòng)，團(tuán)聚體不再關(guān)于波節(jié)點(diǎn)對(duì)稱，并且氣體介質(zhì)的振動(dòng)速度不斷增大，團(tuán)聚體受到的黏性?shī)A帶力增大，因而團(tuán)聚體的平動(dòng)位移振幅增大.由圖4(b)可知，團(tuán)聚體初始位置發(fā)生變化時(shí)，團(tuán)聚體始終在(-π/4, π/4)內(nèi)發(fā)生周期性轉(zhuǎn)動(dòng)，但轉(zhuǎn)動(dòng)頻率因初始位置的不同而存在差異，初始位置越接近波腹點(diǎn)，團(tuán)聚體的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率越大.這是由于團(tuán)聚體初始位置向波腹移動(dòng)時(shí)，各原始顆粒所受黏性?shī)A帶力增大，從而產(chǎn)生的合力矩增大，導(dǎo)致團(tuán)聚體轉(zhuǎn)動(dòng)速度增大.

值得注意的是，位于波節(jié)點(diǎn)的直鏈顆粒團(tuán)聚體雖然不發(fā)生平動(dòng)，但一般情況下(θ0=0、π/2時(shí)除外)團(tuán)聚體會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，使得團(tuán)聚體周?chē)嬖谝欢ǖ哪Ⅲw積.

2.4原始顆粒粒徑對(duì)團(tuán)聚體運(yùn)動(dòng)的影響

(a) 直鏈顆粒團(tuán)聚體的平動(dòng)位移

(b) 直鏈顆粒團(tuán)聚體與聲波方向的夾角隨時(shí)間的變化

雖然原始顆粒粒徑較小時(shí)，直鏈顆粒團(tuán)聚體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)速度都較大，但考慮到團(tuán)聚體長(zhǎng)度的影響，在已知模擬條件下，凝并體積受原始顆粒粒徑的影響較小.

3結(jié)論

(1) 直鏈顆粒團(tuán)聚體隨質(zhì)心發(fā)生周期性往復(fù)振動(dòng)的同時(shí)，還繞質(zhì)心發(fā)生周期性來(lái)回轉(zhuǎn)動(dòng)；團(tuán)聚體的振動(dòng)不受原始顆粒個(gè)數(shù)的影響，而轉(zhuǎn)動(dòng)頻率則隨原始顆粒個(gè)數(shù)的增加而增大；將直鏈顆粒團(tuán)聚體視為等體積球形顆粒低估了其平動(dòng)位移振幅，團(tuán)聚體所含原始顆粒個(gè)數(shù)越多，平動(dòng)位移振幅被低估的程度越大.

(2) 直鏈顆粒團(tuán)聚體的平動(dòng)不受初始夾角的影響，而其轉(zhuǎn)動(dòng)范圍由初始夾角決定，當(dāng)初始夾角θ0為(0, π/2)時(shí)，團(tuán)聚體轉(zhuǎn)動(dòng)范圍為[-θ0,θ0]，且初始夾角越大，轉(zhuǎn)動(dòng)頻率越小.

(3) 直鏈顆粒團(tuán)聚體的初始位置由波節(jié)向波腹移動(dòng)的過(guò)程中，其平動(dòng)位移振幅和轉(zhuǎn)動(dòng)頻率增大；隨著原始顆粒粒徑的增大，團(tuán)聚體平動(dòng)位移振幅和轉(zhuǎn)動(dòng)頻率減小.

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