張曉燕

（西安建筑科技大學(xué) 數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710055）

1 引言

近年來，考慮噪聲對非線性生物系統(tǒng)的影響引起一些研究者的關(guān)注.在生物系統(tǒng)的研究中隨機共振、噪聲誘導(dǎo)相變等噪聲的影響效應(yīng)也陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)[1-5].

捕食-食餌模型被用于分析帶免疫細胞的癌細胞增長模型.Fiasconaro等人[3]考慮了帶免疫響應(yīng)的癌細胞增長系統(tǒng)并分析了噪聲強度對平均首次穿越時間與首次穿越時間的不同影響.之前的研究中，多數(shù)情況下主要考慮高斯噪聲對生物系統(tǒng)的影響.但是許多實驗表明在生物系統(tǒng)中其噪聲源應(yīng)該是非高斯噪聲[6-7].因此，本文主要研究基于非高斯噪聲激勵的捕食-食餌模型在加性噪聲與乘性噪聲之間為白關(guān)聯(lián)情形下的平均首次穿越問題.

2 捕食-食餌模型中的平均首次穿越時間

考慮有如下方程所描述的由非高斯噪聲影響下的捕食-食餌模型：

U(x)為系統(tǒng)確定性勢函數(shù)，當(dāng) θ<1,0<β<(1+θ)2/4θ 時，該系統(tǒng)是雙穩(wěn)的，且有一個不穩(wěn)定態(tài)x0和兩個穩(wěn)定定態(tài)x+,x-，分別為：

若取 θ=0.1,β=2.8,則 x+=6,x-=0,x0=3.

在(1)式中，η(t)為高斯白噪聲，ξ(t)為非高斯噪聲并滿足如下方程：

并且

這里ε(t)為高斯白噪聲，η(t)和ε(t)之間滿足的統(tǒng)計性質(zhì)為：

其中D和α分別表示乘性和加性白噪聲強度.λ為ε(t)和η(t)之間的關(guān)聯(lián)強度.參數(shù)q表示ξ(t)偏離高斯分布的程度，由文獻[7]可以得到ξ(t)的一二階矩為：

應(yīng)用路徑積分法，可以得到，

其中

若q→1，則非高斯噪聲ξ(t)就退化高斯色噪聲.它的有效關(guān)聯(lián)時間為τ1，相應(yīng)的有效關(guān)聯(lián)強度為

由(7)和(8)式可知，當(dāng) q→1時，有 τ1→τ和 D1→D.

因此，方程(3)可寫為：

并且

根據(jù)上述分析，可以得到系統(tǒng)相應(yīng)的近似的?？耍绽士朔匠?FPE)如下：

其中,

根據(jù)(11)式，可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為：

其中，N是方程(12)的歸一化常數(shù)，U軒(x)為廣義勢函數(shù)，其表達式如下：

根據(jù)平均首次穿越時間的定義以及最速下降法[8]，我們可以得到兩個不同方向的平均首次穿越時間T+(x+→x-)與T-(x-→x+)，下文中將“T+(x+→x-)”與“T-(x-→x+)”分別簡化為“T+”和“T-”，它們的表達式如下所示：

3 噪聲對平均首次穿越時間的影響

根據(jù)(15)式，可以討論關(guān)聯(lián)非高斯與高斯噪聲對兩個方向平均首次穿越時間的影響.

圖1和圖2描述了平均首次穿越時間T+和T-作為乘性噪聲強度D的函數(shù)隨著不同的噪聲互關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線.從兩圖可以看出，乘性噪聲強度與噪聲互關(guān)聯(lián)強度對兩個方向的平均首次穿越時間T+和T-的影響是類似的.當(dāng)噪聲互關(guān)聯(lián)強度取值為負時(λ=-0.7,-0.3)，T+與T-隨著乘性噪聲強度的增加單調(diào)減??；而當(dāng)噪聲互關(guān)聯(lián)強度取值為正時(λ=0.3,0.7)，T+與T-隨著乘性噪聲強度的增加先增加再減小，有極大值出現(xiàn)，兩曲線都存在共振峰，并且隨著λ的增加共振現(xiàn)象越發(fā)明顯.共振現(xiàn)象表明系統(tǒng)穩(wěn)定性增強不易發(fā)生相變.

圖1 T+作為乘性噪聲強度D的函數(shù)隨著噪聲關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線

圖2 T-作為乘性噪聲強度D的函數(shù)隨著噪聲關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線

圖3 T+作為加性噪聲強度α的函數(shù)隨著噪聲關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線

圖4 T-作為加性噪聲強度α的函數(shù)隨著噪聲關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線

圖3與圖4分別給出了平均首次穿越時間T+與T-作為加性噪聲強度α的函數(shù)隨著不同的噪聲互關(guān)聯(lián)強度λ變化的曲線.從兩圖可以看出，當(dāng)噪聲互關(guān)聯(lián)強度取值為負時(λ=-0.7,-0.3)，加性噪聲強度對兩個方向的平均首次穿越時間Τ+與T-的影響是類似的，都隨著α增加單調(diào)減??；而當(dāng)噪聲互關(guān)聯(lián)強度取值為正時(λ=0.3,0.7)，兩圖曲線有顯著不同：T+隨著加性噪聲強度的增加先增加再減小，出現(xiàn)共振現(xiàn)象，此時系統(tǒng)穩(wěn)定性增強；而T-曲線隨著加性噪聲強度的增加是單調(diào)減小的.

本文考慮了白關(guān)聯(lián)高斯噪聲與非高斯噪聲對捕食食餌模型的影響.通過分析系統(tǒng)的平均首次穿越時間表達式，可得如下結(jié)論：乘性噪聲強度與噪聲互關(guān)聯(lián)強度對兩個方向的平均首次穿越時間T+和T-的影響是類似的；且當(dāng)噪聲互關(guān)聯(lián)強度取值為正值時，兩個方向的平均首次穿越時間曲線都出現(xiàn)了極大值，即共振現(xiàn)象.當(dāng)噪聲互關(guān)聯(lián)強度取值為正時，加性噪聲強度對兩個方向平均首次穿越時間曲線的影響有顯著不同，其中T+曲線出現(xiàn)極大值，而T-則隨著加性噪聲強度的增加單調(diào)減小.

〔1〕楊建華，劉先斌.色交叉關(guān)聯(lián)噪聲作用下癌細胞增長系統(tǒng)的平均首通時間[J].物理學(xué)報，2010，59 3727.

〔2〕Wang C J 2012 Acta. Phys. Sin. 61 010503.

〔3〕Fiasconaro A, Spagnolo B, Marcinek A O and Nowak E G 2006 Phys. Rev. E 74 041904.

〔4〕施錦,朱士群.蟲口模型中的關(guān)聯(lián)色噪聲[J].蘇州大學(xué)學(xué)報，2005，21 55.

〔5〕施錦.捕食-食餌模型中的隨機共振[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報,2005，4 287.

〔6〕Fuentes M A, Tessone C J, Wio H S and Toral R 2003 Fluctuation and Noise Letter 3 L365.

〔7〕Bouzat S and Wio H S 2005 Physica A 351 69.

〔8〕Goswami G, Majee P, Ghosh P K and Bag B C 2007 Physica A 374 549.