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關(guān)于無(wú)平方因子數(shù)的分布

劉華寧，董慧

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127)

摘要：一個(gè)正整數(shù)n，如果不能被除1之外的任何完全平方數(shù)整除，就稱為無(wú)平方因子數(shù)。文中利用平方篩法研究了無(wú)平方因子數(shù)的分布，并給出一個(gè)較強(qiáng)的漸近公式。

關(guān)鍵詞：無(wú)平方因子數(shù)；平方篩法；指數(shù)和；漸近公式

收稿日期：2014-12-15

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201370)；陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013JM1017,2014JM1007,2014KJXX-61)；陜西省教育廳專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(2013JK0558,2013JK0560)

作者簡(jiǎn)介：劉華寧，男，湖南永州人，西北大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，從事數(shù)論研究。

中圖分類號(hào)：O156.4

On the distribution of square-free numbers

LIU Hua-ning, DONG Hui

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

Abstract:A positive integer n is called square-free number if it is not divisible by a perfect square except 1. In this paper the distribution of square-free numbers is studied by using square sieve, deriving an asymptotic formula.

Key words: square-free number; square sieve; exponential sum; asymptotic formula

一個(gè)正整數(shù)n，如果不能被除1之外的任何完全平方數(shù)整除，就稱為無(wú)平方因子數(shù)。設(shè)E(n)為無(wú)平方因子數(shù)的特征函數(shù)，即

由文獻(xiàn)[1]可知

L.Mirsky文獻(xiàn)[2]研究了有限差的無(wú)平方因子數(shù)對(duì)出現(xiàn)的頻率，并證明了下面結(jié)論：

D.R.Heath-Brown文獻(xiàn)[3]研究了不超過(guò)x的連續(xù)的無(wú)平方因子數(shù)，并得到漸近公式：

本文利用平方篩法與指數(shù)和進(jìn)一步研究無(wú)平方因子數(shù)的分布，改進(jìn)了L.Mirsky的結(jié)論，并給出一個(gè)較強(qiáng)的漸近公式。

其中O是絕對(duì)常數(shù)。

1定理1的證明——第一步

令E(n)為無(wú)平方因子數(shù)的特征函數(shù)，μ(n)為M?bius函數(shù)。不難得到

從而有

(1)

注意到

所以

其中d(n)為除數(shù)函數(shù)。

由Euler乘積可得

又由除數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有

因此

O(ylogx)。

(2)

另一方面，不難證明

記J=2a,K=2b，以及

(3)

聯(lián)立式(2)～(3)可得

(4)

接下來(lái)估計(jì)N。不妨假設(shè)J≥K，另外一種情形同理可證。不難得到

記

則

(5)

P {p:p是素?cái)?shù)，p?u,Q

其中Q滿足(logx)2≤Q≤x。由于P～Q(logQ)-1，易知當(dāng)|n|≥eP≥x2及n=0時(shí)，有w(n)=0。下面利用Heath-Brown的平方篩法。

由引理1可得

(6)

注意到

從而有

(7)

令∈>0。由文獻(xiàn)[5]可知

對(duì)于q≤x1-∈以及(a,q)=1都成立。而對(duì)于(a,q)>1，不難證明

K-1x(logx)3。

(8)

(9)

聯(lián)立式(5)～(9)可得

(10)

接下來(lái)將在第2節(jié)中證明一些關(guān)于指數(shù)和的結(jié)論，并在第3節(jié)中繼續(xù)證明定理1。

2指數(shù)和的估計(jì)

本節(jié)研究一些指數(shù)和的估計(jì)。

定義1設(shè)a∈Z,m∈N ，滿足(a,m)=1。令im(a)表示滿足0≤b≤m-1且ab≡1(modm)的整數(shù)b。

引理2設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù)，Q/R為Fp上的有理函數(shù)，且不恒為常數(shù)。令s為多項(xiàng)式R在Fp上的不同根的個(gè)數(shù)。設(shè)ψ是Fp上的非凡加法特征，則有

證 明參見(jiàn)文獻(xiàn)[4]中的引理13。

引理3設(shè)p>2是一個(gè)素?cái)?shù)，α≥1是一個(gè)整數(shù)。對(duì)于整數(shù)h,c及d，定義

則有

當(dāng)α=1時(shí)，進(jìn)一步有

證 明記(h，pα)=pβ。則

假設(shè)α=1且p|h。則有

(11)

假設(shè)α=1且p?h。那么

不難證明

當(dāng)p|c且p?d時(shí)，有

(12)

如果p?c，p?d，由引理2可得

(13)

因此

(14)

聯(lián)立式(11)和式(14)可得

引理4設(shè)p>2是一個(gè)素?cái)?shù)，h,c,d為整數(shù)。定義

則有

證 明不難得到

以及

當(dāng)1≤a≤p-1時(shí)，用b+ip(a)2h代換b可得

假設(shè)p|h，有

從而

(15)

假設(shè)p?h。由引理2，3和4可得

因此

(16)

由式(15)和式(16)可得

3定理1的證明——繼續(xù)

不難證明

(17)

由三角恒等式可得

|S(u,pq;γ,δ)|=S1+S2+S3+S4，

(18)

其中

(19)

(20)

這里‖x‖表示從x到最近的整數(shù)之間的距離。

(21)

由式(20)～(21)，引理3及引理4可得

(22)

其中u1是所有滿足p2‖u的素因子p2的乘積，ω(u1)表示u1的不同素因子的個(gè)數(shù)。同理可得

(23)

以及

(24)

(25)

則由式(17)，(18)，(22)～(25)可得

(26)

不難得到

(27)

此外還有

(28)

以及

(29)

聯(lián)立式(26)～(29)可得

Q2(logx)6。

(30)

(31)

聯(lián)立式(4)和式(31)，可得

取

有

(32)

4定理1的證明——最后一步

由N的定義可得

(33)

聯(lián)立式(4)和式(33)，并取定

可得

(34)

此外由文獻(xiàn)[1]的第4部分可知

(35)

由此由式(32)，(34)及式(35)可得

這就完成了定理1的證明。

參考文獻(xiàn)：

[1]PAPPALARDIF.Asurveyonk-powerfreeness,RamanujanMath[J].SocLectNotesSer,2002,5:71-88.

[2]MIRSKYL.Onthefrequencyofpairsofsquare-freenumberswithagivendifference[J].BullAmerMathSoc,1949, 55:936-939.

[3]HEATH-BROWNDR.Thesquaresieveandconsecutivesquare-freenumbers[J].MathAnn, 1984,266:251-259.

[4]RIVATJ,SRK?ZYA.Modularconstructionsofpseudorandombinarysequenceswithcompositemoduli[J].PeriodMathHungar, 2005,51:75-107.

[5]SHIUP.ABrun-Titchmarshtheoremformultiplicativefunctions[J].JReineAngewMath,1980,313:161-170.

(編輯亢小玉)

劉華寧,教授,博士生導(dǎo)師。1979年10月生于湖南省永州市。1997.9—2001.7在西北大學(xué)數(shù)學(xué)系計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)就讀并獲理學(xué)學(xué)士學(xué)位;2001.9—2004.7在西北大學(xué)數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)就讀碩士;2004.9—2007.7在西北大學(xué)數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)就讀博士學(xué)位;2007.9—2011.6在山東大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院從事博士后研究;2012.1—2013.1在劍橋大學(xué)純粹數(shù)學(xué)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)系做訪問(wèn)學(xué)者。

2004年7月在西北大學(xué)數(shù)學(xué)系任教并于2013年4月晉升為教授。2014年起擔(dān)任數(shù)學(xué)學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)系主任兼黨支部書記。計(jì)算數(shù)學(xué)系黨支部于2010年、2012年、2014年連續(xù)評(píng)為西北大學(xué)先進(jìn)黨支部。

目前在國(guó)內(nèi)外有影響的刊物上發(fā)表和錄用論文近90篇,其中54篇SCI,13篇核心。出版學(xué)術(shù)專著兩部。2004、2006年兩次獲得“陜西省青年突擊手”稱號(hào);2005年獲得中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)鐘家慶數(shù)學(xué)獎(jiǎng);2009年獲得全國(guó)百篇優(yōu)秀博士論文提名;2012年獲得霍英東青年教師獎(jiǎng);2013年獲得“陜西省青年科技新星”稱號(hào)。

曾獲得省部級(jí)科研獎(jiǎng)勵(lì)兩項(xiàng)。先后主持國(guó)家自然科學(xué)基金、陜西省自然科學(xué)基金、中國(guó)博士后科學(xué)基金特別資助等多項(xiàng)科研項(xiàng)目?，F(xiàn)為美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論員、德國(guó)《數(shù)學(xué)文摘》評(píng)論員、美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員、中國(guó)密碼學(xué)會(huì)會(huì)員。