劉志紅（鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)系，鄭州450044）

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具線(xiàn)性退化特征擬線(xiàn)性雙曲型方程組的邊值問(wèn)題

劉志紅
（鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)系，鄭州450044）

摘 要：研究如下的一階擬線(xiàn)性雙曲型方程組具有耗散型線(xiàn)性退化特征的情形下，其邊值問(wèn)題經(jīng)典解的整體存在性，以及當(dāng)t→∞時(shí)解的漸近性態(tài)，最后把結(jié)論應(yīng)用到兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題中。

關(guān)鍵詞：線(xiàn)性退化特征；整體經(jīng)典解；邊值問(wèn)題；擬線(xiàn)性雙曲型方程組

0　引言

擬線(xiàn)性雙曲型方程組是偏微分方程研究領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分。當(dāng)前，研究結(jié)果比較成熟的是關(guān)于擬線(xiàn)性雙曲方程組Cauchy問(wèn)題研究［1－4］，但是對(duì)于其邊值問(wèn)題的研究，相對(duì)來(lái)說(shuō)就比較少了［5－7］，尚未形成一般的理論。在大量的實(shí)際問(wèn)題中，特別是在空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、非線(xiàn)性彈性力學(xué)、水力學(xué)等領(lǐng)域，經(jīng)常會(huì)提出具有兩個(gè)自變量的一階擬線(xiàn)性雙曲方程組的邊值問(wèn)題［8－10］。因此，對(duì)一階擬線(xiàn)性雙曲方程組邊值問(wèn)題的研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

一般說(shuō)來(lái)，擬線(xiàn)性雙曲型方程組的邊值問(wèn)題在t≥0上并不存在整體經(jīng)典解，這主要是因?yàn)檫吔鐢?shù)據(jù)的存在，造成在邊界上反射波的強(qiáng)度可能會(huì)大于入射波的強(qiáng)度，或者在邊界上有波的連續(xù)反射現(xiàn)象發(fā)生，但對(duì)于特殊的邊界情況則不同。

于具（嚴(yán)格）對(duì)角占優(yōu)矩陣的擬線(xiàn)性雙曲型方程組，有如下結(jié)果：

（1）李大潛等人［7－8］在考慮一般的具內(nèi)部耗散對(duì)角型主部的非齊次擬線(xiàn)性嚴(yán)格雙曲型方程組的Cauchy問(wèn)題時(shí)，證明了如果矩陣A是行（列）對(duì)角占優(yōu)矩陣且主對(duì)角線(xiàn)上元素均相等，則當(dāng)初值的C1模充分小時(shí)，Cauchy問(wèn)題在t≥0存在唯一的整體經(jīng)典解。

（2）對(duì)一般的非齊次擬線(xiàn)性嚴(yán)格雙曲型方程組的Cauchy問(wèn)題，肖玲、李大潛、秦鐵虎等人［2－3，9－10］證明：若假設(shè)A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的，則當(dāng)初值的C1模充分小時(shí)，Cauchy問(wèn)題在t≥0存在唯一的整體經(jīng)典解，且解的C1模當(dāng)t→＋∞時(shí)依指數(shù)衰減到零。

（3）劉法貴［6］在考慮具耗散項(xiàng)一階擬線(xiàn)性雙曲型方程組的具有自由邊界的典型自由邊值問(wèn)題，在A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的和真正非線(xiàn)性特征的情形，證明了其經(jīng)典解的整體存在性定理。

本文考慮具耗散項(xiàng)一階擬線(xiàn)性雙曲型方程組邊值問(wèn)題，假設(shè)A是對(duì)角占優(yōu)的和線(xiàn)性退化特征情形下，證明其經(jīng)典解的整體存在性定理。

1　研究問(wèn)題

討論具耗散項(xiàng)線(xiàn)性退化擬線(xiàn)性雙曲型方程組（*）式在如下邊界的經(jīng)典解問(wèn)題：其中u＝（u1，…，un）T關(guān)于變量t和x的未知向量函數(shù)，A（u）＝（aij）n是關(guān)于變量u的具有適當(dāng)光滑元的n ×n階矩陣，g（u）是關(guān)于變量u的n維列向量函數(shù)。

在D＝｛（t，x）｜t≥0，x1（t）≤x（t）≤x2（t）｝上具如下典型邊值問(wèn)題：

在光滑邊界x＝x1（t）（x1（0）＝0）上：

在光滑邊界x＝x2（t）（x2（0）＝0）上：

這里

假設(shè)：（H1） λi，θijk，θij，gijk，gi，F(xiàn)l是適當(dāng)光滑的函數(shù)，且在t≥0上保持有界；（H2） 邊界條件（2）－（3）式存在唯一的解u≡u(píng)0（不失一般性，設(shè)u0＝0）；（H3） 過(guò)原點(diǎn)的特征線(xiàn)不進(jìn)入?yún)^(qū)域D，即λr（0）≤F1（0）≤F2（0）≤λs（0）。令，則得到如下不等式：（H4） A＝L（0）▽g（0）L－1（0）＝（aij）是對(duì)角占優(yōu)的。

定理1 在上述假設(shè)（H1）－（H4）之下，如果存在充分小的ε＞0，使

其中r＝1，2，…，m；s＝m＋1，…，n；i＝1，2，…，n；l＝1，2，這里及以后出現(xiàn)的K如無(wú)特殊說(shuō)明均為不依賴(lài)于ε的正常數(shù)。則在典型邊值問(wèn)題（1）－（3）經(jīng)典解u＝u（t，x）的存在區(qū)域上有

2　引理與解的一致先驗(yàn)估計(jì)

由文獻(xiàn)［11］，得下面引理：

引理1 若A是行（列）嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，即A滿(mǎn)足（11）式，則δ＞0，使得A的所有特征根λ*i，成立：

注記1 （12）式中引入的“δ”即為定理1中方程組經(jīng)典解的指數(shù)衰減因子。

2.2 一致先驗(yàn)估計(jì)

我們對(duì)定理1的證明需要用到局部延拓法加一致先驗(yàn)估計(jì)的方法，因而這里我們先對(duì)解進(jìn)行一致先驗(yàn)估計(jì)：

由（2）－（3），（9），并注意到u＝u（t，x）的連續(xù)性，在經(jīng)典解存在區(qū)域D（σ）＝｛（t，x）0≤t≤σ，x1（t）≤x（t）≤x2（t）｝上，有

2.1 對(duì)角占優(yōu)矩陣

本節(jié)主要討論上文中提到的對(duì)角占優(yōu)及嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)（Strictly Diagonally Dominant）矩陣的相關(guān)引理和定理，以及在偏微分方程中的應(yīng)用（指數(shù)衰減因子）。

定義1 矩陣A＝（aij）是行（列）對(duì)角占優(yōu)矩陣，如果

因此，為了得到（10），只須證可以選擇適當(dāng)大的不依賴(lài)于ε的正常數(shù)K，若（t，x）∈D，有

則必有

由于在推導(dǎo)這個(gè)先驗(yàn)估計(jì)時(shí)，已假設(shè)經(jīng)典解存在，原來(lái)的未知自由邊界曲線(xiàn)實(shí)際上為已知的邊界曲線(xiàn)。

由（7）－（8）及（H3），如果ε＞0充分小，則

在x＝x1（t）上：

在x＝x2（t）上：

其中r＝1，2，…，m；s＝m＋1，…，n。

設(shè)ξ＝fs（τ，t，x）交邊界x＝x1（t）于點(diǎn)（τs，x1（τs））向下引第s特征交邊界x＝x2（t）于點(diǎn)（τsr，x2（τsr））；

設(shè)ξ＝fr（τ，t，x）交邊界x＝x2（t）于點(diǎn)（τr，x1（τr））向下引第r特征交邊界x＝x1（t）于點(diǎn)（τrs，x2（τrs））；

則由（4），有

由此，得

即

進(jìn)而

同理，有

這樣，由（19）－（21），存在1＜β＜2，并能選擇T＞0，使得

若ε＞0適當(dāng)小，則

沿第r特征從（τr，x2（τr））到（t，x）積分（1）的第r個(gè)方程，并注意到（13），得

這樣沿第s特征從（τrs，x2（τrs）到（τr，x2（τr））積分（1）的第s個(gè)方程，并注意到（24），得

由（2），（11），（14），（20），得

從而（24）式可化為

考慮上面不等式右邊第二項(xiàng)，由（22）與（23），有

則（29）化為

由（28）－（31），得

類(lèi)似地，對(duì)于us（t，x）（s＝m＋1，…，n）有相仿于（32）的結(jié)論。因此，取（β0＋（β1－2））K≥K14，則一致先驗(yàn)估計(jì)式（21）成立。

3　主要定理的證明

定理1 證明：根據(jù)擬線(xiàn)性雙曲型方程組邊值問(wèn)題經(jīng)典解的局部存在唯一性定理［8］，典型邊值問(wèn)題（1）－（3）在區(qū)域（其中σ為適當(dāng)小的常數(shù)）

D（σ）＝｛（t，x）｜0≤t≤σ，x1（t）≤x（t）≤x2（t）｝上存在唯一經(jīng)典解u＝u（t，x）。

由2.2節(jié)一致先驗(yàn)估計(jì)，知可以選擇適當(dāng)大的不依賴(lài)于ε的正常數(shù)K。

由u（t，x）≤2Kεe－δεt，（t，x）∈D，則u（t，x）≤β0Kεe－δεt，1≤β0≤2，根據(jù)局部延拓法，即證得定理1，

定理1證畢。

4　定理的實(shí)際應(yīng)用

考慮如下非等熵流體動(dòng)力學(xué)方程組：

其中u，v，p＝p（v，s），s分別代表氣體的速度、比容、壓強(qiáng)和熵，v0（x）＝v（0，x）＞0滿(mǎn)足

上式的第一條件，即pv（v，s）＜0保證方程組（33）是雙曲的，后一個(gè)條件，即pvv槡－pv－pvs＝0保證方程組（33）是線(xiàn)性退化的。事實(shí)上，

容易計(jì)算得

注記2 式（40）的條件可以找到相應(yīng)函數(shù)滿(mǎn)足，例如：（其中C為常數(shù)）

在D＝｛（t，x）t≥0，x1（t）≤x（t）≤x2（t ）｝上考慮，由（33）第三式及（34），可得s（t，x）＝s（x）s0（x）為了方便起見(jiàn)，在這里，將考慮如下的p（v，s（x）），即

p（v，s（x））＝kv－γes0k＞0，1＜γ＜3這樣，（33）可以化為如下形式：

考慮（34）具如下的邊值問(wèn)題：

在光滑邊界x＝x1（t）（x1（0）＝0）上：

在光滑邊界x＝x2（t）（x2（0）＝0）上：

結(jié)論1 由定理1，可知此邊值問(wèn)題整體經(jīng)典解存在。

表明，初始時(shí)刻沒(méi)有真空態(tài)；而在經(jīng)典解存在區(qū)域上，真空態(tài)永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)。

結(jié)論2 從上述分析，易得式（38）表明：在邊值問(wèn)題（35）－（37）經(jīng)典解的存在區(qū)域上，真空態(tài)永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn).

注記3 在等熵情形下（即s≡常數(shù)），可以相應(yīng)地給出具耗散項(xiàng)的邊值問(wèn)題經(jīng)典解的存在性結(jié)果。

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（責(zé)任編輯 趙冰）

Boundary Value Problem for Quasilinear Hyperbolic Linera Degeneracy Systems

LIU Zhi－h(huán)ong
（Department of Computer Science，Zhengzhou Institute of Finance And Economics，Zhengzhou 450044，China）

Abstract：In this paper，we study the following first－order quasilinear hyperbolic systems

We consider the boundary value problem of the hyperbolic systems（*）with Linearly Degenerate Type for the global existence of the classical solution，the asymptotic behavior of the solution as t→＋∞.

Key words：linearly degenerate characteristic；global classical solution；boundary value problem；quasilinear hyperbolic systems

作者簡(jiǎn)介：劉志紅（1983—），男，河北邯鄲人，鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院計(jì)算機(jī)系講師。

基金項(xiàng)目：河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目計(jì)劃（15B110010）

收稿日期：2015－07－10

文章編號(hào)：1008－3715（2015）05－0112－05

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

中圖分類(lèi)號(hào)：O175

DOI：10.13783／j.cnki.cn41－1275／g4.2015.05.023