一種有效提高儀器精度的建模方法

賈云濤，胡耀元，張建永，岳偉

(北京無線電計量測試研究所，北京 100039)

摘要：提出了一種能夠有效提高儀器儀表測量精度的建模方法。該模型結(jié)合改進的灰色系統(tǒng)和粒子群優(yōu)化算法，通過測試數(shù)據(jù)對模型訓(xùn)練后得到儀表滿量程內(nèi)誤差的擬合模型，進而可對儀器量程內(nèi)任意測量值進行修正。通過實驗證明，該模型具有經(jīng)濟性、實用性和準確性高的特點。

關(guān)鍵詞：灰色系統(tǒng)；離子群優(yōu)化算法；儀表精度

doi：10.11823/j.issn.1674-5795.2015.04.04

中圖分類號：TB97；O24

收稿日期：2015-01-24

作者簡介：賈云濤(1986-)，男，工程師，碩士，主要從事電學(xué)計量科研和測試工作。

An Effective Modeling Approach to Improve Meter Accuracy

JIA Yuntao，HU Yaoyuan，ZHANG Jianyong，YUE Wei

(Beijing Institute of Radio Metrology & Measurement，Beijing 100039，China)

Abstract：This paper presents a modeling approach which can effectively improve meter accuracy.This model，which combines the improved gray system and particle swarm optimization，uses a small amount of the instrument known error data as training data to get the full-scale error fitting model.Then the model can be used to amend all values in the range.The system has the advantages of economy，practicality and high accuracy proved by experiments.

Key words：gray system；particle swarm optimization；meter accuracy

0引言

儀器儀表品種繁多，已被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、醫(yī)療和科研等領(lǐng)域中。伴隨著科學(xué)技術(shù)的進步，儀器儀表越來越復(fù)雜化、集成化和高科技化。而隨著使用時間的累積，儀器儀表也表現(xiàn)出精度下降、可維修性差的問題。由于影響儀表精度的因素具有多樣性，有已知的也有未知的，這就為提高儀器的精度帶來了很大的困難。

本文提出了一種粒子群非齊次灰色模型對儀表測量數(shù)據(jù)建模的方法。該模型改變了傳統(tǒng)依靠硬件優(yōu)化提高儀表精度的思想，具有通用性、經(jīng)濟性和有效性。

1三種建模方法

1.1灰色模型

灰色系統(tǒng)理論是一種用來解決信息不完備系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，尤其適用于影響因素多樣并且未知的系統(tǒng)[1-2]。影響儀器儀表精度的原因多種多樣，有儀表電壓、元器件老化、環(huán)境干擾等因素，這些因素又無法用數(shù)學(xué)量化，因此可以將儀表的誤差影響系統(tǒng)看作是一個灰色系統(tǒng)進行研究[3]。

其建模方法可描述為：

設(shè)訓(xùn)練序列X(0)為非負序列：

X(0)={x(0)(1)，x(0)(2)，x(0)(3)，...，x(0)(n)}

式中：x(0)(k)≥0，k=1，2，…，n。

將模型訓(xùn)練序列進行一次累加生成，得到序列為X(1)：

X(1)={x(1)(1)，x(1)(2)，x(1)(3)，...，x(1)(n)}

(1)

Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列：

Z(1)={z(1)(1)，z(1)(2)，…，z(1)(n)}

(2)

式中：z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)，k=1，2，…，n。

稱x(0)(k)+az(1)(k)=b為GM(1，1)模型。

若Z=(a，b)Τ為參數(shù)列，且

(3)

則可通過最小二乘估計求解微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b中的系數(shù)。

(4)

通過數(shù)學(xué)求解可得到白化方程的時間響應(yīng)函數(shù)為

(5)

得到的式(5)即代表序列一次累加和的時間響應(yīng)曲線，再進行反運算即得到訓(xùn)練序列的相應(yīng)函數(shù)曲線，代表著訓(xùn)練序列的趨勢軌跡。

1.2粒子群算法

粒子群算法即PSO算法(Particle Swarm Optimization)，是基于群體智能的一種尋找最優(yōu)解的優(yōu)化算法[4]。

應(yīng)用PSO算法求解最優(yōu)解有兩個很重要的步驟：編碼和適應(yīng)度函數(shù)。PSO算法對粒子直接編碼，粒子在進化過程中通過適應(yīng)度函數(shù)的反饋確定最優(yōu)粒子，然后通過式(6)和(7)更新粒子的速度和位置，不斷逼近最優(yōu)解，當達到終止條件時，停止進化。

vij(t+1)=wvij(t)+c1×rand()×(pbestij-xij(t))

+c2×rand()×(gbestj-xij(t))

(6)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(7)

式中：w是代表運動慣性的參數(shù)，較大的w有利于群體在更大的范圍內(nèi)搜索，較小的w能夠保證群體收斂到最優(yōu)位置，一般設(shè)置為0.8左右；c1和c2用于調(diào)整種群自身經(jīng)驗和社會經(jīng)驗在其運動中的作用，表示個體向pbest(自身最優(yōu)位置)和gbest(群體最優(yōu)位置)加速項的權(quán)重；rand()是介于(0，1)之間的隨機數(shù)，在初始化階段用來定義粒子的初始位置和初始速度。

1.3PSO-NGM模型

在灰色模型的基礎(chǔ)上加入非齊次方程量，并結(jié)合粒子群優(yōu)化算法求解得到組合模型，即粒子群非齊次灰色模型PSO-NGM(Particle Swarm Optimization Non-homogenous Grey Model)。將它應(yīng)用于提高儀器精度上的思想就是：選取標準儀器對待測儀器量程內(nèi)進行少量數(shù)據(jù)測試，將標準與被測儀器示值差作為誤差，用誤差數(shù)據(jù)去訓(xùn)練PSO-NGM模型就可以得到儀器滿量程內(nèi)誤差模型。進而可對被測儀器滿量程內(nèi)任意測量值進行修正，提高儀器精度。

(8)

式中：v，C1，C2，C3，C4為待定系數(shù)。

由公式(8)可以看出，新改進的方程不僅具有原來指數(shù)的模型，還增加了直線和拋物線的擬合模型[7-8]。因此比原灰色系統(tǒng)更具有適用性。

2求解PSO-NGM模型

PSO-NGM模型訓(xùn)練的流程圖如圖1所示。

圖1　PSO-NGM模型訓(xùn)練流程圖

2.1歸一化和反歸一化

由于模型應(yīng)用了灰色系統(tǒng)理論，而灰色理論中要求訓(xùn)練數(shù)據(jù)為非負?，F(xiàn)實中儀器測量誤差不可能保證總為正數(shù)，因此，需要先對原始誤差數(shù)據(jù)進行歸一化處理，有

(9)

式中：xmin和xmax代表數(shù)據(jù)中的最小和最大值；(0)代表歸一化的最小值是0值。

得到的新數(shù)據(jù)是一系列在(0，1)范圍內(nèi)的歸一化數(shù)據(jù)，可以用來進行模型訓(xùn)練。同理，在模型訓(xùn)練結(jié)束再進行反歸一化得到復(fù)原的數(shù)據(jù)值。

2.2初始化過程

用離子群優(yōu)化算法尋求最優(yōu)解需要先對代表解的粒子進行初始化，包括粒子初始速度和位置、迭代次數(shù)和種群大小等。

2.3參數(shù)v，C1，C2，C3，C4的求解過程

通過粒子群算法不斷迭代優(yōu)化得到最優(yōu)粒子v的值后，令

(10)

應(yīng)用最小二乘法可求得參數(shù)C1，C2，C3，C4的估計值：

(11)

2.4數(shù)據(jù)還原過程

根據(jù)PSO算法和最小二乘法迭代后可得到v，C1，C2，C3，C4的值，即得到了序列累加后的擬合方程式(8)，再經(jīng)過累減運算就可以得到還原序列：

(12)

2.5粒子速度和位置更新過程

每次優(yōu)化后根據(jù)每個粒子對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)大小判定粒子的優(yōu)劣。求取全部粒子中的最優(yōu)粒子。其他粒子根據(jù)式(6)和式(7)改變位置和速度后繼續(xù)進化，直到達到指定的進化次數(shù)為止。

3PSO-NGM模型的應(yīng)用分析

3.1模型訓(xùn)練

為了驗證所建模型的正確性和有效性，我們特選取在工業(yè)生產(chǎn)和各大行業(yè)都普遍用到的數(shù)顯表頭作為研究對象。選取某型號數(shù)顯表，在0～50 V量程內(nèi)抽點進行電壓值測量，然后應(yīng)用本文模型對其誤差進行訓(xùn)練[9]。實驗中，我們選用了一組較均勻的分布于數(shù)顯表量程內(nèi)的電壓測量點，測量時，選用標準器5720A的輸出電壓作為標準電壓，數(shù)顯表顯示的電壓作為測量電壓。其顯示值與標準值之差作為誤差進行模型訓(xùn)練。為了證明本文模型的有效性，將修正后的結(jié)果與基本灰色模型系統(tǒng)修正的結(jié)果進行對比。

在0～50 V量程內(nèi)包括最低、最高值點的等間距選取6個測試點。得到該數(shù)顯表顯示值與標準值誤差如表1所示。

根據(jù)公式(9)，將絕對誤差歸一化到(0，1)范圍，結(jié)果見表1。

表1　顯示值與標準值誤差及歸一化結(jié)果

PSO算法在本模型中只優(yōu)化一個未知解，可初始化粒子群的維數(shù)為1，初始數(shù)目為200，根據(jù)v的預(yù)估值，設(shè)置粒子初始位置和初始速度分別為(0，1)和(-0.1，0.1)內(nèi)的隨機數(shù)。設(shè)置終止條件為疊代次數(shù)達到500。應(yīng)用已有的6個歷史誤差數(shù)據(jù)，選取所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)擬合值與實際值的最小誤差和作為適應(yīng)度函數(shù)，尋求最優(yōu)粒子解[10]。

3.2結(jié)果分析

使用PSO-NGM模型最終得到訓(xùn)練數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)的對比如表2所示。圖2顯示了應(yīng)用本文模型與GM模型擬合效果的對比。圖3和圖4分別為粒子群優(yōu)化過程中適應(yīng)度值的變化過程和最優(yōu)粒子解的優(yōu)化過程。

表2　PSO-NGM模型對訓(xùn)練數(shù)據(jù)的

圖2　PSO-NGM模型與GM(1，1)模型訓(xùn)練結(jié)果對比圖

圖3　PSO-NGM模型中適應(yīng)度值的變化

圖4　PSO-NGM模型中最優(yōu)粒子的變化

從圖2可以看出本文提出的PSO-NGM模型比灰色模型能更好地擬合儀器誤差的曲線。

3.3模型驗證

應(yīng)用標準源5720A對數(shù)顯表量程內(nèi)一組電壓點隨機測量，分別應(yīng)用GM(1，1)模型和PSO-NGM模型對誤差進行修正。將修正結(jié)果與標準值進行比較，對比情況如表3所示。

表3　PSO-NGM與GM(1，1)模型

由表3可以看出，灰色模型雖然能夠?qū)x表誤差進行少量修正，但也出現(xiàn)了錯誤修正，而本文提出的PSO-NGM模型卻能夠?qū)y量結(jié)果進行準確的修正，證明該改進模型克服了原始灰色模型適用性差的缺點，能夠適用于儀表誤差的修正。

4總結(jié)

本文提出了一種結(jié)合灰色系統(tǒng)和粒子群優(yōu)化算法的數(shù)學(xué)模型。該模型具有訓(xùn)練數(shù)據(jù)少，適用性強和精度高的優(yōu)點，可應(yīng)用于對儀器示值誤差進行修正而不需改變儀器的硬件，具有廣闊的應(yīng)用前景和實用價值。

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