蔡俊娟
蔡俊娟/廈門海洋職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部在讀碩士(福建廈門361005)。
問題:需要選擇學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽,今假設(shè)有 20 名隊(duì)員(A,B,C,D,…S,T)準(zhǔn)備參加競賽,根據(jù)隊(duì)員的能力和水平要選出18名優(yōu)秀隊(duì)員分別組成6個(gè)隊(duì),每個(gè)隊(duì)3名隊(duì)員去參加比賽。表1是20名隊(duì)員的7科成績。(詳見美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題)
表1 20名隊(duì)員7科成績
我們將對以上20名參加培訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì),并進(jìn)行匯總排序,從而選出最優(yōu)秀的18名學(xué)生參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽。
不論我們用何種方法來選拔參賽的學(xué)生,我們都會發(fā)現(xiàn)這20位學(xué)生7門學(xué)科中,有些科目所有學(xué)生的分?jǐn)?shù)普遍較高(比如協(xié)作能力),有些科目分?jǐn)?shù)普遍較低(比如其它特長)。所以首先我們必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理,以去除各因素之間打分差距的相互影響,我們構(gòu)造相對偏差矩陣R:
也就是先找出每列因素指標(biāo)里的最小值和區(qū)間長度,再用每位學(xué)生的分?jǐn)?shù)減去最小值并除以區(qū)間長度,所得到的數(shù)據(jù)都介在0-1之間,最高分值就轉(zhuǎn)化為1,最低分值就轉(zhuǎn)化為0,這樣就可以避免由于某些選項(xiàng)的取值偏小,而忽略其對整體評價(jià)的重要性。
將所有數(shù)據(jù)處理過后,我們將采用三種方法來對20位學(xué)生進(jìn)行選拔。
首先,我們先選擇最簡單的一種方式,就是不考慮各因素的權(quán)重,直接將7個(gè)因素指標(biāo)的每位學(xué)員的分?jǐn)?shù)相加,這樣我們就可以非常容易地得到各學(xué)員的總成績,詳見表2。
表中,分?jǐn)?shù)最高的學(xué)生為D(5.12分),而應(yīng)該淘汰分?jǐn)?shù)最低的兩位選手,分別是B(1.24)和J(2.34)??v觀各學(xué)生的成績,D選手分?jǐn)?shù)普遍比較高,特別是外語水平和協(xié)作能力的分?jǐn)?shù)都是第一。而選手J的其他特長只有4分,因此拉低他的總體分?jǐn)?shù)。
表2 不考慮權(quán)重所得到的學(xué)生分?jǐn)?shù)
(一)所采用的方法,最大的缺點(diǎn)是未考慮各因素之間權(quán)重的大小關(guān)系。通過觀察各學(xué)員的分?jǐn)?shù),我們發(fā)現(xiàn)所選拔的學(xué)生都是各方面成績比較均衡的學(xué)生,但這樣的計(jì)算方式并不一定太合理,所以接下來我們利用各指標(biāo)之間的方差值來計(jì)算各因素指標(biāo)的權(quán)重。
1.計(jì)算各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù):
2.對權(quán)重系數(shù)vi進(jìn)行歸一化處理:為了保證公平性,權(quán)重還需進(jìn)行歸一化處理:
利用以上三個(gè)步驟,我們可以得到各因素指標(biāo)的權(quán)重及20位隊(duì)員的分?jǐn)?shù)如下表。
表3 7個(gè)因素的權(quán)重
表4 考慮權(quán)重后,20名學(xué)員的總成績
從上述兩表中可以發(fā)現(xiàn),在這7個(gè)因素指標(biāo)中,最重要的應(yīng)該是動手能力,而權(quán)重最小的是學(xué)科成績和其他特長。因此,20位學(xué)生的加權(quán)成績計(jì)算過后,我們應(yīng)該淘汰的選手是B(0.1851)和N(0.5301)。
但是由于數(shù)學(xué)建模比賽中有些因素是非常重要的,在(二)的計(jì)算過程中,權(quán)重最小的為學(xué)科成績,但是根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),我們一般認(rèn)為學(xué)習(xí)成績應(yīng)該比其它特長要重要得多,但是按照(二)的選擇方式,重要的因素是動手能力,學(xué)科成績反而并不重要。
1.建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)。
2.構(gòu)造兩兩比較矩陣。因?yàn)橹笜?biāo)因素眾多,要直接對每一個(gè)因素指標(biāo)確定權(quán)重是非常有困難的。因此接下來,我們對同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性進(jìn)行兩兩比較,做出權(quán)重分析[1]。
我們不妨認(rèn)為在這七個(gè)因素中,分別的重要性依次應(yīng)該是學(xué)科成績、智力水平、動手能力、寫作能力、外語水平、協(xié)作能力、其他特長。如果認(rèn)為七個(gè)因素指標(biāo)的順序不應(yīng)該如此,只需根據(jù)各自的要求進(jìn)行排序即可。
其中,7表示特別重要,也就是說本文認(rèn)為學(xué)科成績比其他特長要重要得多,當(dāng)然其所占的權(quán)重分?jǐn)?shù)要高得多。
3.單個(gè)矩陣的一致性檢驗(yàn)。由于我們在計(jì)算的過程中是兩兩進(jìn)行比較,容易構(gòu)成甲比乙強(qiáng),乙比丙強(qiáng),但是丙確比甲強(qiáng)。判斷矩陣中的數(shù)值多半是根據(jù)專家的意見給出的,而衡量判斷矩陣的合格標(biāo)準(zhǔn)是其是否具有一致性。由于在評判過程中,每一件事物的評判準(zhǔn)則受主觀因素影響較大,完全一致的判斷往往是不現(xiàn)實(shí)的,一般只需近似地滿足一致性即可。
接下來,我們需要判斷我們所構(gòu)造的矩陣A的一致性。
(1)利用數(shù)學(xué)軟件MATHEMATICA:Eigenvalues[矩陣],我們可以得到該矩陣的特征值,并找出其中最大的特征值:7.19553。通過以下公式計(jì)算一致性指標(biāo):
其中n為判斷矩陣A的階數(shù),應(yīng)當(dāng)取7,λmax為A的最大特征值7.195 53,通過計(jì)算,我們得到該矩陣的 CI值:0.032 59。
(2)查詢平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。通過查表[2],可以得到 RI7=1.32。
4.計(jì)算各因素的權(quán)重。當(dāng)一致性檢驗(yàn)通過后,我們可以計(jì)算各因素的權(quán)重。同樣的,利用數(shù)學(xué)軟件MATHEMATICA:Eigenvectors[矩陣]。我們可以得到各因素的權(quán)重,并進(jìn)行歸一化處理可以得到表5。
表5 層次分析法的各因素權(quán)重
表5中,權(quán)重2為歸一化處理后的各因素的權(quán)重,從上表中我們可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)所給出的權(quán)重,學(xué)科成績比其他特長要重要得多,這樣可以從中選出最適合數(shù)學(xué)建模比賽的學(xué)生。
5.計(jì)算各學(xué)員的總分。最終我們利用權(quán)重及各學(xué)生的分?jǐn)?shù),我們可以得到20位學(xué)生的成績?nèi)绫?。
表6 層次分析法下各學(xué)員的成績
從上表中,我們可以發(fā)現(xiàn),分?jǐn)?shù)最高的選手為G(0.75),而最應(yīng)該淘汰的選手是 H(0.26)和 I(0.27)。
以上用三種方法來選拔數(shù)學(xué)建模選手的模型可以應(yīng)用于各行各業(yè)的綜合評價(jià)中。
[1]劉來福,曾文藝.問題解決的數(shù)學(xué)模型方法[M].北京師范大學(xué)出版社,1999.
[2]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社,2011:249-257
[3]吳曉.數(shù)學(xué)建模競賽隊(duì)員的選拔與培訓(xùn)[J].肇慶學(xué)院學(xué)報(bào),2011,05.
長春教育學(xué)院學(xué)報(bào)2015年12期