□周奕生

列舉有風險組合需謹慎

□周奕生

列舉法是求概率的重要方法之一，用列舉法求概率需要把隨機事件所有可能發(fā)生的情形不重不漏地列出來，但真正做到不重不漏是有一定難度的，稍不留神便會出現(xiàn)丟三落四的失誤，要想避免失誤，需要針對題意對所考查的對象進行謹慎的排列與組合.

一、按次序組合

例1有兩個構(gòu)造完全相同（除所標數(shù)字外）的轉(zhuǎn)盤A、B，游戲規(guī)定，轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次，指向大的數(shù)字獲勝.現(xiàn)由你和小明各選擇一個轉(zhuǎn)盤游戲，你會選擇哪一個，為什么？

圖1　

解析：欲知選擇哪個轉(zhuǎn)盤獲勝可能性大，只需要先分別計算選擇轉(zhuǎn)盤A、B獲勝的概率.

把A、B由于轉(zhuǎn)盤A的數(shù)碰到轉(zhuǎn)盤B的數(shù)的可能情形有（9，3），（9，4），（9，8），（5，3），（5，4），（5，8），（2，3），（2，4），（2，8），共有9種情形，其中A盤轉(zhuǎn)到的數(shù)字大于B盤轉(zhuǎn)到的數(shù)字的有5種，小于的有4種，所以P（選擇A盤獲勝），P（選擇B盤獲勝），所以選擇A盤.

點評：這里的組合事實上是把A盤的9，5，2這三個數(shù)與B盤的3，4，8一一進行組合.

二、分組組合

例2一個口袋中有3個大小相同的小球，球面上分別寫有數(shù)字1，2，3.從袋中隨機地摸出一個小球，記錄下數(shù)字后放回，再隨機地摸出一個小球.

（1）請用樹形圖或列表法中的一種，列舉出兩次摸出的球上數(shù)字的所有可能結(jié)果；

（2）求兩次摸出的球上的數(shù)字和為偶數(shù)的概率.

解析：（1）把第一次摸出的球記為第一組數(shù)字1，2，3，第二次摸出的球記為第二組數(shù)字1，2，3，則兩次摸到的數(shù)字情形有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9種；

（2）從（1）中可見兩次摸出的球上的數(shù)字和為偶數(shù)的有（1，1），（1，3），（2，2），（3，1），（3，3），共5種，所以P（兩次摸出的球上的數(shù)字和為偶數(shù)）

點評：根據(jù)題意把有關(guān)對象分成兩組，然后依題意，把第一組的第一個對象與第二組的每個對象分別組合，再把第一組的第二個對象與第二組的每個對象分別組合，直到第一組的最后一個對象與第二組的每個對象分別組合.

例3如圖2，管中放置著三根同樣的繩子AA1，BB1，CC1.

（1）小明從這三根繩子中隨機選一根，恰好選中繩子AA1的概率是多少？

（2）小明先從左端A，B，C三個繩頭中隨機選兩個打一個結(jié)，再從右端A1，B1，C1三個繩頭中隨機選兩個打一個結(jié)，求這三根繩子連結(jié)成一根長繩的概率.

圖2　

解析：（1）從AA1，BB1，CC1這三根繩子中隨機選一根，恰好選中繩子AA1的概率顯然是；

（2）從左端A，B，C三個繩頭中隨機選兩個打一個結(jié)，被選到的可能情形有（A，B），（A，C），（B，C），共三種；從右端A1，B1，C1三個繩頭中隨機選兩個打一個結(jié)，被選到的可能情形有（A1，B1），（A1，C1），（B1，C1），共三種.左邊繩頭打結(jié)碰到右邊繩頭打結(jié)的情形有[（A，B），（A1，B1）]，[（A，B），（A1，C1）]，[（A，B），（B1，C1）]，[（A，C），（A1，B1）]，[（A，C），（A1，C1）]，[（A，C），（B1，C1）]，[（B，C），（A1，B1）]，[（B，C），（A1，C1）]，[（B，C），（B1，C1）]，共9種，其中能連結(jié)成一根長繩的情形有[（A，B），（A1，C1）]，[（A，B），（B1，C1）]，[（A，C），（A1，B1）]，[（A，C），（B1，C1）]，[（B，C），（A1，B1）]，[（B，C），（A1，C1）]，共6種，所以P（三根繩子連結(jié)成一根長繩）