龔學, 徐佳寧, 吳凡, 樸勇杰

( 延邊大學理學院 數(shù)學系, 吉林 延吉 133002 )

完備的D -度量空間上具有收縮型條件映射族的唯一公共不動點

龔學, 徐佳寧, 吳凡, 樸勇杰*

( 延邊大學理學院 數(shù)學系, 吉林 延吉 133002 )

利用完備的D-度量空間上滿足某種收縮條件的4個自映射S,T,I,J構(gòu)造了具有唯一極限的序列,并證明了該序列的唯一極限即為S,T,I,J的唯一公共不動點,且由此得到了更為一般形式的無窮多個映射的唯一公共不動點定理，所得結(jié)果推廣和改進了D-度量空間上的若干唯一公共不動點定理.

D-度量空間; 弱相容; 重合點; 公共不動點

1 基本概念及引理

1992年,B Dhage[1]引進了D-度量空間,并在該空間上得到收縮型映射的不動點定理.之后,文獻[2-6]給出了若干滿足收縮條件的一個映射的不動點定理和若干個映射的公共不動點定理,文獻[7-8]分別給出了在D-度量空間上無窮多個映射的唯一公共不動點存在定理.

下面給出本文所需要的基本概念和引理.

定義1[7-8]設(shè)X是非空集合, D∶X×X×X→R+=[0,+∞)為映射.稱(X,D)為D-度量空間,如果滿足如下條件:

(i) D(x,y,z)=0 ? x=y=z (重疊性);

(ii) 對任何x,y,z∈X, D(x,y,z)=D(u,v,w),?{u,v,w}={x,y,z} (對稱性);

(iii) 對任何x,y,z,a∈X, D(x,y,z)≤D(x,y,a)+D(x,a,z)+D(a,y,z).

文獻[2,7]中指出，如果D-度量關(guān)于兩個變元是連續(xù)的,則收斂序列的極限是唯一的.本文假設(shè)D-度量關(guān)于兩個變元是連續(xù)的.

定義3[9-10]設(shè)X是非空集合, f,g∶X→X是兩個映射.如果存在x,w∈X使得w=f x=gx, 則稱x是{f,g}的重合點, w是{f,g}的重合的點.

定義4[11]設(shè)X是非空集合, f,g∶X→X是兩個映射.如果x∈X且fx=gx時, f g x=g f x成立,則稱{f,g}是弱相容的.

引理1[7,12](D-柯西原理)設(shè){xn}n∈N是D-度量空間X中具有D-有界數(shù)M的序列.如果對任何n,m∈N且m>n, 成立D(xn,xn+1,xm)≤αnM, 其中0≤α<1, 則{xn}n∈N必是D-柯西序列.

引理2[9-10]如果f,g∶X→X是弱相容的且有唯一的重合的點w=f x=gx, 則w是f和g的唯一公共不動點.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè)X是完備的具有D-有界數(shù)M的D-度量空間, S,T,I,J∶X→X是4個映射，使得SX?JX, TX?IX且I或J是滿映射.假設(shè)對任何x,y,z∈X, 有

D(S x,Ty,z)≤q D(I x,Jy,z),

(1)

其中0≤q<1， 則{T,J}及{S,I}有相同的唯一重合的點.進一步,如果{T,J}及{S,I}分別是弱相容的,則{S,T,I,J}有唯一公共不動點.

證明 任選x0∈X.根據(jù)SX?JX及TX?IX可構(gòu)造兩個序列{xn}和{yn}滿足

y2n=S x2n=Jx2n+1, y2n+1=Tx2n+1=I x2n+2, n=0,1,2,….

(2)

對任何固定的n及z∈X, D(y2n,y2n+1,z)=D(S x2n,Tx2n+1,z)≤q D(I x2n,Jx2n+1,z)=q D(y2n-1,y2n,z)=q D(S x2n,Tx2n-1,z)≤q2D(I x2n,Jx2n-1,z)=q2D(y2n-2,y2n-1,z)≤…≤q2nD(x0,x1,z)≤q2nM， 由此得到

D(y2n+1,y2n+2,z)=D(S x2n+2,Tx2n+1,z)≤q D(I x2n+2,Jx2n+1,z)=q D(y2n+1,y2n,z)≤q2n+1M.

綜合上述兩個結(jié)論可得到對任何n,p∈N,

d(yn,yn+1,yn+p)≤qnM.

(3)

假設(shè)J是滿射,則存在v∈X使得u=Jv.對任何n,

D(u,Tv,u)≤D(y2n,Tv,u)+D(u,y2n,u)+D(u,Tv,y2n)=2D(S x2n,Tv,u)+D(u,y2n,u)≤

2q D(I x2n,Jv,u)+D(u,y2n,u)=2q D(y2n-1,u,u)+D(u,y2n,u).

令n→∞, 則上式右邊的極限為0, 于是D(u,Tv,u)=0, 因此Tv=u=Jv, 即v是{T,J}的重合點, u是{T,J}的重合的點.

因為u=Tv∈TX?IX, 因此存在w∈X使得u=I w.對任何n,

D(S w,u,u)≤D(y2n+1,u,u)+D(S w,y2n+1,u)+D(S w,u,y2n+1)=

D(y2n+1,u,u)+2D(S w,Tx2n+1,u)≤D(y2n+1,u,u)+2q D(I w,Jx2n+1,u)=

D(y2n+1,u,u)+2q D(u,y2n,u).

令n→∞, 則上式右邊的極限為0, 于是D(S w,u,u)=0, 因此S w=u=I w, 即w是{S,I}的重合點, u是{S,I}的重合的點.

假設(shè)z=S x=I x也是{S,I}的重合的點,則根據(jù)D(z,u,u)=D(S x,Tv,u)≤q D(I x,Jv,u)=q D(z,u,u)及q<1得到D(z,u,u)=0, 于是z=u.這說明u是{S,I}的唯一的重合的點.類似地,可證明u也是{T,J}的唯一的重合的點.

如果{T,J}及{S,I}分別是弱相容的,則根據(jù)引理2可知u是{T,J}及{S,I}的唯一公共不動點,于是u是{S,T,I,J}的一個公共不動點.顯然, u是{S,T,I,J}的唯一公共不動點.

如果I是滿映射,可類似地證得相同的結(jié)果，故本證明在此省略.

推論1 設(shè)X是完備的具有D-有界數(shù)M的D-度量空間, S,T∶X→X是2個映射.假設(shè)對任何x,y,z∈X,

D(S x,Ty,z)≤q D(x,y,z),

(4)

其中0≤q<1， 則{S,T}有唯一公共不動點.

證明 只需在定理1中取I=J=1X即可到推論1.

推論2 設(shè)X是完備的具有D-有界數(shù)M的D-度量空間, I,J∶X→X是兩個滿映射.假設(shè)對任何x,y,z∈X,

D(x,y,z)≤q D(I x,Jy,z),

(5)

其中0≤q<1， 則{I,J}有唯一公共不動點.

證明 只需在定理1中取S=T=1X即可到推論2.

注記1 如果在推論1中S=T及在推論2中I=J, 則推論1和推論2分別是Banach收縮原理和第一膨脹映射的不動點存在定理[13]在D-度量空間上的一種新的表現(xiàn)形式.

(6)

D(ui,ui,Siui)≤qiD(ui,ui,Siui),

于是得到Siui=ui.類似地,可得到Tiui=Iiui=Jiui=ui, 因此ui是{Si,Ti,Ii,Ji}的一個公共不動點.若vi是{Si,Ti,Ii,Ji}的公共不動點,則ui和vi都是{si,ti,fi,gi}的公共不動點,于是ui=vi.因此對每個i∈N, {Si,Ti,Ii,Ji}有唯一公共不動點ui.

設(shè)i,j∈N且i≠j.因為Siui=Tiui=Iiui=Jiui=ui, Sjuj=Tjuj=Ijuj=Jjuj=uj, 再結(jié)合F的弱可交換性可得

Sjui=SjSiui=SiSjui, Sjui=SjTiui=TiSjui, Sjui=SjIiui=IiSjui, Sjui=SjJiui=JiSjui.

這說明Sjui是{Si,Ti,Ii,Ji}的一個公共不動點,于是由{Si,Ti,Ii,Ji}的公共不動點唯一性得到Sjui=ui.類似地,可得到Tjui=ui, Ijui=ui, Jjui=ui.于是ui是{Sj,Tj,Ij,Jj}的一個公共不動點,由{Sj,Tj,Ij,Jj}的公共不動點的唯一性得uj=ui.令u*=ui, 則u*是F的一個公共不動點.顯然, u*是F的唯一公共不動點.

[1] Dhage B. Generalized metric spaces and mappings with fixed points[J]. Bulletin of Calcutta Mathematical Society, 1992,84(4):329-336.

[2] Singh B, Jain S, Jain S. Semicompatibility and fixed point theorems in an unbounded D-metric space[J]. International Journal of Mathematics and Mathematical Science, 2005,2005(5):789-801.

[3] Dhage B, Arya S, Ume J. A general lemma for fixed point theorems involving more than two maps in D-metric spaces with applications[J]. International Journal of Mathematics and Mathematical Science, 2003,2003(11):661-672.

[4] Dhage B, Asha A, Kang S. On common fixed points of pairs of a single and a multivalued coincidentally commuting mappings in D-metric spaces[J]. International Journal of Mathematics and Mathematical Science, 2003,2003(40):2519-2539.

[5] Singh B, Jain S. Common fixed points of weak-compatible maps on D-metric space[J]. Journal of ChungCheong Mathematical Society, 2004,17(2):111-124.

[6] Singh B, Sharma R. Common fixed points via compatible maps in D-metric spaces[J]. Rad Mat, 2002,11(2):145-153.

[8] 沈京虎,樸勇杰.D-度量空間上一族擬收縮自映射的唯一公共不動點[J].延邊大學學報:自然科學版,2014,40(1):8-10.

[9] Abbas M, Jungck G. Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity in cone metric spaces[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006,341(1):416-420.

[10] Han Y, Xu S Y. New common fixed point results for four maps on cone metric spaces[J]. Applied Mathematics, 2011,2:1114-1118.

[11] Bari C D, Vetro P.φ-pairs and common fixed points in cone metric spaces[J]. Rendiconti del circolo Matematico Palermo, 2008,57:279-285.

[12] Dhage B. Some results on common fixed points-I [J]. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 1999,30(8):827-837.

[13] 王尚志,李伯渝,高智民.膨脹映射及其不動點定理[J].數(shù)學進展,1982,11(2):149-153.

Unique common fixed points for a family of mappings with contractive type conditions on complete D-metric spaces

GONG Xue, XU Jianing, WU Fan, PIAO Yongjie*

(DepartmentofMathematics,CollegeofScience,YanbianUniversity,Yanji133002,China)

We use four self-mappings S, T, I, J satisfying some contractive conditions on complete D-metric spaces to construct a sequence which has a unique limit, and prove that the unique limit of the sequence is the unique common fixed point of S, T, I, J. Furthermore, we obtain a more general unique common fixed point theorem for an infinite family of self-mappings. The obtained results generalize and improve some unique common fixed point theorems on D-metric spaces.

D-metric space; weakly compatible; coincidence point; common fixed point

2014-12-23 基金項目： 國家自然科學基金資助項目(11361064)

1004-4353(2015)01-0001-04

O177.3; O189.11

A

*通信作者： 樸勇杰(1962—)，男，理學博士,教授,研究方向為非線性分析和不動點理論.