熊荊州 盧家暄

（貴州大學(xué)，貴州 貴陽 550025）

隨著現(xiàn)代電力電子技術(shù)的快速發(fā)展，電網(wǎng)中非線性設(shè)備的廣泛運(yùn)用，導(dǎo)致電網(wǎng)中出現(xiàn)大量諧波，使電力系統(tǒng)產(chǎn)生畸變，電能質(zhì)量嚴(yán)重下降。其主要影響表現(xiàn)在：（1）能降低非線性設(shè)備的效率；（2）影響電力系統(tǒng)的正常工作狀態(tài)，使設(shè)備老化縮短使用壽命；（3）容易引起電氣設(shè)備誤動(dòng)作；（4）在電網(wǎng)中產(chǎn)生諧振；（5）干擾通信系統(tǒng)等。因此快速而精確的檢測電力系統(tǒng)諧波尤為重要。目前非常經(jīng)典的諧波分析方法就是傅里葉分析方法，它是一種在頻域上的分析方法，其中快速傅立葉變換(Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT)是應(yīng)用最為廣泛的諧波檢測方法，在穩(wěn)態(tài)的諧波檢測中，能夠簡易快速地得出精確的諧波幅值和相位。但是由于FFT 是在頻域上對信號(hào)進(jìn)行分析，無局部時(shí)域特性，在非穩(wěn)態(tài)的畸變信號(hào)中的分析就略顯不足，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。而小波變換(wavelet Transformation，WT)是一種具有時(shí)頻局部特性的信號(hào)分析方法，十分適用于分析非穩(wěn)態(tài)的畸變信號(hào)，在電壓暫降、電壓暫升等快速變換的諧波信號(hào)檢測有顯著優(yōu)勢。因此將FFT 和小波變換的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，既能準(zhǔn)確地檢測穩(wěn)態(tài)信號(hào)，也能很好的檢測暫態(tài)信號(hào)。

1 傅里葉變換基本原理

傅里葉變換是能將滿足狄里赫萊條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦或余弦函數(shù)）的線性組合，把信號(hào)從時(shí)域變換到頻域，在頻域上分析是信號(hào)分析處理。相當(dāng)于對一個(gè)諧波傅里葉變換就是把這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波之和。其傅里葉變換可表示：

式中ω 是角頻率。傅里葉反變換公式為：

離散傅里葉變換（DFT）是傅里葉變換在時(shí)域和頻域上都是離散的形式，將時(shí)域信號(hào)的采樣轉(zhuǎn)換到在DFT 頻域上的采樣。將函數(shù)xn點(diǎn)定義在離散點(diǎn)上，還要滿足有限性以及周期性條件。這種情況下，使用DFT 將函數(shù)xn表示為下面的求和形式，n＝0，1，2….N-1；離散傅里葉變換把有限長序列的頻域離散化，但計(jì)算量大，快速傅里葉變換FFT 是根據(jù)離散傅里葉變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對其進(jìn)行改進(jìn)產(chǎn)生的。FFT 將一個(gè)長度為N 的離散傅里葉變換逐級(jí)分解為較短的序列進(jìn)行計(jì)算，而這些較短的序列又可重新組合成原序列，這樣計(jì)算次數(shù)比直接用離散傅立葉變換計(jì)算要少很多，從而可以提高計(jì)算速度。但是傅里葉變換是在所有的時(shí)域上分析信號(hào)，不具有局部時(shí)域特性，因此在檢測非穩(wěn)態(tài)信號(hào)時(shí)明顯不具有優(yōu)勢。

2 小波變換基本原理

小波變換是對傅里葉變換的重大突破，其提供了一個(gè)可以變動(dòng)的時(shí)間-頻率窗。當(dāng)分析高頻信號(hào)時(shí)，時(shí)間窗會(huì)自動(dòng)變窄；當(dāng)觀察低頻信號(hào)時(shí)，時(shí)間窗會(huì)自動(dòng)變寬，具有局部時(shí)頻特性。小波變換還能表征信號(hào)的奇異性，在不同的尺度上模極大值能很好的反映諧波信號(hào)的畸變情況。同時(shí)小波變換不僅實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的時(shí)頻局部化的分析研究，而且還可以在多尺度下對信號(hào)進(jìn)行觀察分析，即具有多分辨分析能力。

若ψ∈L2(R)滿足條件，則稱ψ 是一個(gè)基小波，或者是母小波，因此信號(hào)x（t）的連續(xù)小波變換（CWT）可表示為

式中：a，b∈R，a>0 是和頻率變量對應(yīng)的尺度因子，b 是和時(shí)間變量對應(yīng)的位移因子；ψa,b(t)是基小波平移與伸縮后形成的小波函數(shù)族，叫小波基函數(shù)。

若小波ψ∈L2(R)滿足重構(gòu)條件，則可以得到信號(hào)的小波變換重構(gòu)公式：

將尺度因子a 和位移因子b 進(jìn)行離散化，就能得到離散小波變換（DWT）。ψa,b(t)小波基中，尺度因子a 的作用是將基小波進(jìn)行伸縮變動(dòng)；位移因子b 的作用是將其在時(shí)間上進(jìn)行平移變動(dòng)來確定對x（t）分析時(shí)的時(shí)間位置。在ψ(t)換成ψ(t/a)情況下，當(dāng)a>1 時(shí)a 越大ψ(t/a)的時(shí)域就越寬；當(dāng)a＜1 時(shí)a 越小ψ(t/a)的時(shí)域就越窄。這樣就可以用一族寬度不斷變化的基小波來來對信號(hào)x（t）進(jìn)行分析處理時(shí)在不同頻率范圍里有不同的分辨率。具體可以理解為在小波變換中的分析窗口可自動(dòng)變化，其在高頻范圍的頻率分辨率不好，而時(shí)域分辨率很好；在低頻范圍時(shí)域分辨率不好，而頻率分辨率很好。在a 值變化時(shí)，分析窗口的面積不變，也就是說時(shí)頻分辨率會(huì)相應(yīng)地作出變化。一般情況下，諧波信號(hào)中的高頻部分對應(yīng)著諧波的非穩(wěn)態(tài)信號(hào)，而諧波的低頻部分對應(yīng)著諧波的穩(wěn)態(tài)信號(hào)。對于高頻部分，要求時(shí)域分辨率很高，頻域分辨率可以不高；對于低頻部分，要求頻域分辨率較高，時(shí)域分辨率不高，這也正是小波不換的時(shí)頻局部性的優(yōu)勢所在。

3 FFT 與DWT 的綜合分析及其MATLAB 仿真

電力系統(tǒng)諧波存在大量穩(wěn)態(tài)諧波分量的同時(shí)也存在著少量非穩(wěn)態(tài)的突變分量。應(yīng)用傅立葉變換處理諧波信號(hào)可以計(jì)算出穩(wěn)態(tài)分量中各次諧波的幅值、頻率和相位等參數(shù)，但是對突變信號(hào)就無法準(zhǔn)確地檢測了。而小波變換由于其局部時(shí)頻特性，對非穩(wěn)態(tài)的突變時(shí)刻有很好的定位功能。在對比研究了FFT 和DWT 的諧波檢測方法以及各自的優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，提出了將FFT 和DWT 相結(jié)合的電網(wǎng)諧波檢測算法。其基本思路為首先將采樣到的原信號(hào)進(jìn)行小波變換，使原信號(hào)分解成高頻分量和低頻分量，其中低頻分量就是諧波中的穩(wěn)態(tài)部分，高頻分量是諧波中暫態(tài)部分。然后對低頻分量適用FFT 進(jìn)行計(jì)算，可以快速準(zhǔn)確地得到穩(wěn)態(tài)諧波的幅值和頻率等。再對高頻分量進(jìn)行小波分析，可以確定突變信號(hào)的時(shí)刻和位置。

電網(wǎng)工作時(shí)諧波主要有3 次，5 次，7 次，11 次，13 次，17 次等穩(wěn)態(tài)諧波，同時(shí)還存在一些畸變暫態(tài)諧波信號(hào)。因此在MATLAB 上建立如下諧波模型：

其中含有頻率為50Hz 電壓為220V 的基波以及3、5、7 諧波信號(hào)，還有按指數(shù)規(guī)律衰減的突變信號(hào)。該原始信號(hào)波形在MATLAB 上仿真波形如圖1 所示。

圖1 原始信號(hào)波形

由于建立的模擬信號(hào)的頻率較低，根據(jù)采樣定理，采樣頻率可以定為3200Hz，取1000個(gè)采樣點(diǎn)數(shù)，再應(yīng)用小波變換就能很容易地將高頻部分和低頻部分分離，因此分解層數(shù)只需4 層就夠了。首先，對原始信號(hào)用db10 小波進(jìn)行小波變換，將其分解為高頻部分和低頻部分，其中a1 對應(yīng)的頻率寬度為0～800Hz，d1 為800～1600Hz，a2 為0～400Hz，d2 為400～800Hz，a3 為0～200Hz，d3 為200～400Hz，a4 為0～100Hz，d4為100～200Hz。在MATLAB 上進(jìn)行仿真所得仿真波形如圖2 所示。

圖2 db10 小波分解系數(shù)

從圖2 中可以看出，將原始信號(hào)進(jìn)行分解后再重構(gòu)得到的a2 為穩(wěn)態(tài)分量，a4 為基波分量，d1 為衰減的非穩(wěn)態(tài)分量，同時(shí)根據(jù)圖形證明了小波變換對穩(wěn)態(tài)與暫態(tài)信號(hào)分解的有效性。然后，對穩(wěn)態(tài)分量a2進(jìn)行快速傅里葉變換，可以快速得出各次頻率的幅值，其FFT 頻譜圖如圖3。

圖3 FFT 穩(wěn)態(tài)頻譜圖

從上圖里可以看出對由小波變換分解重構(gòu)得到的穩(wěn)態(tài)分量進(jìn)行FFT 分析可以得到比較準(zhǔn)確的頻譜圖，諧波包含3 次、5 次、7 次，其仿真所得幅值分別是159.53、108.97、50.14，與模型給出的值很近似。

4 結(jié)論

通過將FFT 與DWT 的優(yōu)勢相結(jié)合，對含有穩(wěn)態(tài)分量和非穩(wěn)態(tài)分量的諧波信號(hào)進(jìn)行分析，并在MATLAB 平臺(tái)上建立模型進(jìn)行仿真分析。從仿真結(jié)果可以得出小波變換能有效地將高頻部分與低頻部分分離，并對畸變信號(hào)能進(jìn)行準(zhǔn)確的定位，再對分離出來的穩(wěn)態(tài)部分FFT 分析能提高對諧波（包括穩(wěn)態(tài)信號(hào)和突變信號(hào)）的檢測速度和精度。

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