王 琨，駱敏舟，曹 毅，李 可，張秋菊

（1.江南大學(xué) 江蘇省食品先進(jìn)制造裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫214122；2.江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無(wú)錫214122；3.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥230027）

0 引 言

機(jī)器人在完成操作任務(wù)時(shí)，運(yùn)動(dòng)位置、速度、加速度的瞬間改變會(huì)造成機(jī)械沖擊，激起系統(tǒng)振蕩，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定，降低機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)精度［1，2］?？焖倬_的軌跡規(guī)劃算法是保證運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的精度和性能的前提條件［3］，對(duì)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的合理規(guī)劃與優(yōu)化可以提高機(jī)械臂的抗干擾性能，改善機(jī)械臂的定位精度以及軌跡跟蹤精度，提高機(jī)械臂的工作效率［4－6］。因此，為了滿足機(jī)器人高精度的運(yùn)動(dòng)性能需求，對(duì)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃和優(yōu)化。近年來(lái)，研究人員針對(duì)機(jī)器人各關(guān)節(jié)的位置、速度和加速度的運(yùn)動(dòng)軌跡約束條件，展開(kāi)了各種軌跡執(zhí)行時(shí)間的優(yōu)化算法研究。如張斌等通過(guò)對(duì)軌跡的執(zhí)行時(shí)間的優(yōu)化處理，獲取同時(shí)滿足關(guān)節(jié)速度約束和驅(qū)動(dòng)力約束條件的運(yùn)動(dòng)軌跡［7，8］；徐海黎等通過(guò)優(yōu)化機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，使運(yùn)動(dòng)軌跡滿足給定的約束條件［9］；Saravanan等采用NURBS曲線實(shí)現(xiàn)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的規(guī)劃，通過(guò)軌跡執(zhí)行時(shí)間的優(yōu)化使軌跡滿足多種約束條件［10］。

本文提出一種基于軌跡執(zhí)行時(shí)間歸一化處理的關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)軌跡優(yōu)化算法，通過(guò)分析關(guān)節(jié)位置、速度、加速度運(yùn)動(dòng)軌跡與歸一化時(shí)間的約束關(guān)系，調(diào)節(jié)軌跡的執(zhí)行時(shí)間以獲取機(jī)器人關(guān)節(jié)的最優(yōu)運(yùn)動(dòng)位置軌跡。該方法將軌跡執(zhí)行時(shí)間轉(zhuǎn)化成無(wú)量綱變量，避免復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，能夠簡(jiǎn)單有效地應(yīng)用于機(jī)器人的軌跡優(yōu)化控制。在Matlab環(huán)境下模擬不同軌跡執(zhí)行時(shí)間對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，驗(yàn)證該優(yōu)化算法的可行性及可靠性，其能有效提高機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)效率。

1 關(guān)節(jié)空間相對(duì)τ的軌跡規(guī)劃

為了保證機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間內(nèi)平滑地完成操作任務(wù)，機(jī)器人任意關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中均要滿足關(guān)節(jié)的位置、速度、加速度或加速度變化的約束條件。將關(guān)節(jié)的軌跡位置函數(shù)表示為θ（t）。若關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻ti和終止時(shí)刻tf的位置、速度和加速度等約束條件分別為

軌跡插值函數(shù)需要滿足上述6個(gè)約束條件，在眾多的軌跡擬合算法中［11－13］，采用五次多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)的軌跡函數(shù)的插值算法可以有效簡(jiǎn)化軌跡的表達(dá)形式。因此關(guān)節(jié)的軌跡函數(shù)可表示如下

令T 為軌跡的執(zhí)行時(shí)間，有：T＝tf－ti，。

由方程式 （2）可知，關(guān)節(jié)的軌跡插值函數(shù)是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，而t為軌跡的開(kāi)始時(shí)刻與終止時(shí)刻中的任意時(shí)間變量，為了簡(jiǎn)化軌跡函數(shù)與時(shí)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，對(duì)軌跡執(zhí)行時(shí)間T 進(jìn)行歸一化處理。

已知關(guān)節(jié)位置函數(shù)θ（t）在初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的約束值，因此關(guān)節(jié)位置的軌跡函數(shù)可表示如下

式 （3）中，s為比例函數(shù)。τ表示歸一化時(shí)間，有

τ和s （τ）滿足以下條件

2 基于歸一化時(shí)間的軌跡描述

根據(jù)式 （3）對(duì)關(guān)節(jié)位置求解一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)和二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，可以得到關(guān)節(jié)速度和關(guān)節(jié)加速度關(guān)于歸一化時(shí)間τ的函數(shù)

式中：s（τ）和¨s（τ）分別表示s（τ）的一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)和二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)。

上述的關(guān)于歸一化時(shí)間τ的關(guān)節(jié)位置、速度和加速度的表達(dá)式仍需要滿足表達(dá)式 （1）所示的起始時(shí)刻和終止時(shí)刻的約束條件，因此，有

求解上述等式，可以求出s（τ）需要滿足的6 個(gè)約束條件

采用五次多項(xiàng)式擬合s函數(shù)。令

將s（τ）函數(shù)在τ＝0及τ＝1時(shí)需要滿足的6個(gè)條件表示成五次多項(xiàng)式的系數(shù)的函數(shù)，并采用矩陣形式表示

將方程組 （10）～ （15）中的約束條件代入表達(dá)式（17），可得到五次多項(xiàng)式的6個(gè)系數(shù)的表達(dá)式

將計(jì)算出的五次多項(xiàng)式的系數(shù)代入s 函數(shù)表達(dá)式（16），再將s函數(shù)代入關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù) （3），可以得到關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度的軌跡的具體表達(dá)式

對(duì)表達(dá)式 （19）分別求解一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)和二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，可得到關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的速度軌跡和加速度軌跡的表達(dá)式，分別如方程式 （20）和式 （21）所示

上述方程式 （19）～式 （21）分別表達(dá)了關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的位置、速度和加速度相對(duì)歸一化時(shí)間τ的變化函數(shù)，若需將其轉(zhuǎn)化成相對(duì)時(shí)間t的函數(shù)，將τ＝ （t－ti）/ （tf－ti）代入表達(dá)式 （19）～式 （21）中，即可計(jì)算關(guān)節(jié)位置、速度和加速度相對(duì)時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)軌跡。

3 基于位置約束的軌跡執(zhí)行時(shí)間最優(yōu)處理

軌跡規(guī)劃給出的約束條件僅指定了關(guān)節(jié)在初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)信息，實(shí)際工程中，由于機(jī)械臂的機(jī)械設(shè)計(jì)因素或者驅(qū)動(dòng)電機(jī)功率的因素，關(guān)節(jié)的任意時(shí)刻的位置、速度和加速度均受一定的約束條件的影響。

假設(shè)由于關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)出力矩要求，關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)有最大的旋轉(zhuǎn)加速度和最小旋轉(zhuǎn)加速度 （令順時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎┑南拗茥l件，同理，關(guān)節(jié)的速度軌跡也需限制在關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)的最小輸出的旋轉(zhuǎn)速率和最大輸出旋轉(zhuǎn)速率之間。此外，根據(jù)機(jī)械臂的設(shè)計(jì)參數(shù)可知，每個(gè)關(guān)節(jié)都有對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度范圍。因此，關(guān)節(jié)的位置軌跡也需要限制在關(guān)節(jié)的最小旋轉(zhuǎn)角度和最大旋轉(zhuǎn)角度范圍之間。由于關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)加速度和速度限制主要與關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)的參數(shù)有關(guān)，因此可以通過(guò)選擇合適參數(shù)的電機(jī)來(lái)避免關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的限制。這里主要分析關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)位置的限制條件。

采用五次多項(xiàng)式對(duì)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行插值時(shí)，關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的初始位置和終止位置均設(shè)定在關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)角度范圍之內(nèi)。因此若保證關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度從初始時(shí)刻至終止時(shí)刻始終保持單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即可保證關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)角度在執(zhí)行時(shí)間內(nèi)始終處于關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍之內(nèi)。

從關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的表達(dá)式可以看出，當(dāng)給定初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的約束條件，軌跡曲線與軌跡執(zhí)行時(shí)間T 有關(guān)。因此可以通過(guò)優(yōu)化軌跡的執(zhí)行時(shí)間T 調(diào)節(jié)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡，使其在軌跡執(zhí)行時(shí)間T 內(nèi)保持單調(diào)遞增或單調(diào)遞減。根據(jù)微積分原理可知，位置軌跡的單調(diào)性與其對(duì)時(shí)間一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有關(guān)。若速度軌跡在執(zhí)行時(shí)間T 內(nèi)均大于零，則關(guān)節(jié)的位置軌跡單調(diào)遞增；若速度軌跡在執(zhí)行時(shí)間T 內(nèi)均小于零，則關(guān)節(jié)的位置軌跡隨時(shí)間單調(diào)遞減。將采用五次多項(xiàng)式規(guī)劃的關(guān)節(jié)速度軌跡表示如下

因此，執(zhí)行時(shí)間T 的選擇需要滿足以下兩個(gè)條件之一

由于關(guān)節(jié)的初始位置θi，終止位置θf(wàn)以及軌跡執(zhí)行時(shí)間T 均為已知量，且有

可將式 （23）中的約束條件轉(zhuǎn)化成以下形式

比較表達(dá)式 （7）和式 （20），則s（τ）可表示為

采用Matlab軟件對(duì)方程式 （26）進(jìn)行運(yùn)算，得到以下表達(dá)形式

其中，P 的具體表達(dá)式如下式所示

將關(guān)節(jié)初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)參數(shù)的約束值分別代入表達(dá)式 （27）和式 （28）中，s（τ）即可簡(jiǎn)化為關(guān)于τ的一元四次方程。在Matlab里畫出s（τ）相對(duì)于變量τ變化的曲線。則曲線s（τ）與τ軸交點(diǎn)即為方程的4個(gè)解。根據(jù)實(shí)際情況，令其任意相鄰的兩個(gè)解處于 ［0，1］的取值范圍之外，即可保證s（τ）在τ∈ ［0，1］的取值范圍內(nèi)始終大于零或小于零。這樣即可保證關(guān)節(jié)的位置曲線s（τ）在τ∈ ［0，1］的范圍內(nèi)始終單調(diào)遞增或單調(diào)遞減。

4 仿真與分析

隨機(jī)給定一組軌跡規(guī)劃任務(wù)，驗(yàn)證不同的軌跡執(zhí)行時(shí)間T 的選擇對(duì)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。假設(shè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)在初始時(shí)刻的位置、速度和加速度值分別為θi＝1.5rad，θi＝2.88rad/s，¨θi＝－1.5rad/s2，在目標(biāo)點(diǎn)的位置、速度和加速度分別設(shè)定為θf(wàn)＝2.14rad，θf(wàn)＝0，¨θf(wàn)＝0。令關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的執(zhí)行時(shí)間為T＝1 s。將表達(dá)式τ＝t/T 代入關(guān)于τ的運(yùn)動(dòng)軌跡表達(dá)式 （19）～式 （21），可在Matlab里描繪關(guān)節(jié)位置、速度和加速度相對(duì)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖1所示。圖1（a）顯示的關(guān)節(jié)位置曲線在執(zhí)行時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)超調(diào)量，關(guān)節(jié)在0.3 s附近時(shí)刻已經(jīng)到達(dá)目標(biāo)位置，但由于執(zhí)行時(shí)間選擇較大，導(dǎo)致關(guān)節(jié)偏離目標(biāo)位置一段時(shí)間之后再回到目標(biāo)位置。很明顯，該運(yùn)動(dòng)過(guò)程極大地降低關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)效率，而且有可能造成關(guān)節(jié)位置超出其運(yùn)動(dòng)范圍，不利于機(jī)械臂的優(yōu)化控制。

通過(guò)調(diào)整執(zhí)行時(shí)間T 對(duì)五次多項(xiàng)式插值函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。首先將各約束條件的具體數(shù)值代入關(guān)節(jié)速度的表達(dá)式（27），并在Maple軟件中調(diào)用factor函數(shù)，將關(guān)節(jié)的速度函數(shù)表示成4個(gè)因式連乘的形式

由于關(guān)節(jié)位置的初始值為1.5rad，終止角度為2.14rad。有θf(wàn)＞θi，因此令θi為單調(diào)遞增函數(shù)。期望關(guān)節(jié)位置在執(zhí)行時(shí)間內(nèi)始終變化單調(diào)遞增，即要求關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)速度始終大于或等于零。即

式（29）中，（τ－1）2除了在終止時(shí)刻外，始終大于零。又有：θf(wàn)－θi＞0。因此，若希望表達(dá)式 （29）滿足s（τ）≥0的條件，則執(zhí)行時(shí)間T 需要滿足以下幾個(gè)條件之一：

圖1 關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)位置、速度和加速度的軌跡曲線

在Maple軟件中對(duì)條件一、條件二和條件三的幾個(gè)方程組分別進(jìn)行求解，結(jié)果是條件三的方程組無(wú)解，條件一和條件二求解得出執(zhí)行時(shí)間T 應(yīng)滿足以下條件

將上述的約束條件進(jìn)行整理，取其并集，可得到使得滿足約束條件下五次多項(xiàng)式插值函數(shù)在關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)始終不產(chǎn)生超調(diào)量，執(zhí)行時(shí)間T 應(yīng)滿足的約束條件

依據(jù)式 （32）給出的執(zhí)行時(shí)間范圍選擇合適的變量T，令T＝0.4，代入五次多項(xiàng)式插值的位置、速度和加速度方程。描繪運(yùn)動(dòng)軌跡的曲線，如圖2所示。

圖2 軌跡執(zhí)行時(shí)間約束后的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)曲線

將圖2所表示的運(yùn)動(dòng)軌跡與圖1作比較，可得出此下結(jié)論，當(dāng)軌跡執(zhí)行時(shí)間T 滿足優(yōu)化后的時(shí)間范圍的限制條件時(shí)，關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中位置始終處于初始位置與終止位置的范圍之內(nèi)，此時(shí)關(guān)節(jié)的位置曲線不再出現(xiàn)超調(diào)量。因此，對(duì)軌跡的執(zhí)行時(shí)間T 進(jìn)行優(yōu)化可有效調(diào)整五次多項(xiàng)式插值的關(guān)節(jié)位置軌跡曲線，提高關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)效率，并使關(guān)節(jié)避開(kāi)不能到達(dá)的運(yùn)動(dòng)范圍。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文在滿足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間的各種約束條件下對(duì)機(jī)器人的軌跡執(zhí)行時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了減少機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)間，提高其工作效率的目標(biāo)。為了方便軌跡的執(zhí)行時(shí)間的提取計(jì)算，將軌跡的執(zhí)行時(shí)間進(jìn)行歸一化處理，轉(zhuǎn)化成無(wú)量綱的變量。并在此基礎(chǔ)上根據(jù)給定的運(yùn)動(dòng)約束條件采用五次多項(xiàng)式擬合機(jī)器人在關(guān)節(jié)空間內(nèi)的位置、速度和加速度的插值函數(shù)。為了避免關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)位置軌跡出現(xiàn)超調(diào)量，提高機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)效率，分析關(guān)節(jié)速度軌跡與執(zhí)行時(shí)間的數(shù)值關(guān)系，并計(jì)算執(zhí)行時(shí)間的約束條件，從而實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的優(yōu)化。在詳細(xì)介紹該算法的理論推導(dǎo)之后，采用Matlab對(duì)關(guān)節(jié)空間的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，分別描繪優(yōu)化前后關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線，從而驗(yàn)證該優(yōu)化算法的可行性及可靠性。仿真結(jié)果表明，通過(guò)調(diào)節(jié)軌跡的執(zhí)行時(shí)間，可有效優(yōu)化五次多項(xiàng)式插值的關(guān)節(jié)位置軌跡曲線，提高關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)效率，并使關(guān)節(jié)避開(kāi)不能到達(dá)的運(yùn)動(dòng)范圍。

本文重點(diǎn)考慮機(jī)器人的關(guān)節(jié)空間的位置軌跡的約束條件，下一步工作將詳細(xì)考慮機(jī)器人關(guān)節(jié)空間的速度以及加速度的軌跡約束條件，研究機(jī)器人其它的運(yùn)動(dòng)性能指標(biāo)優(yōu)化處理算法，從而更有效地指導(dǎo)機(jī)器人在實(shí)際工程中的軌跡規(guī)劃作業(yè)。

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