李 多，王曉紅，鄭 浩

（1.吉林師范大學(xué) 信息網(wǎng)絡(luò)中心，吉林 四平136000；2.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平136000）

0 引 言

準(zhǔn)確地獲取節(jié)點(diǎn)的位置信息是多數(shù)傳感網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用中的基本要求［1］。例如，目標(biāo)跟蹤、探測(cè)、協(xié)作傳感以及能量有效路由 （energy－efficient routing）［2，3］，這些應(yīng)用均需節(jié)點(diǎn)的位置信息。常用的傳感定位方案就是先獲取錨節(jié)點(diǎn)的位置信息，再利用傳感節(jié)點(diǎn)與錨節(jié)點(diǎn)的測(cè)距信息估計(jì)傳感節(jié)點(diǎn)的位置。測(cè)距信息可通過測(cè)量接受信號(hào)強(qiáng)度RSS（received signal strength）［4，5］、信號(hào)到達(dá)角度［6］以及信號(hào)到達(dá)時(shí)間TOA （time of arrival）［7，8］獲取，從而通過準(zhǔn)確的測(cè)距信息實(shí)施對(duì)傳感節(jié)點(diǎn)的定位［9］。

研究人員針對(duì)傳感網(wǎng)絡(luò)定位問題，提出了許多方案［10－13］。文獻(xiàn) ［10］中提出了一種基于二階錐規(guī)劃的新時(shí)差定位算法，該算法將位置估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題，再利用泰勒級(jí)數(shù)展開法估計(jì)節(jié)點(diǎn)最終的位置；文獻(xiàn)［14］采用加權(quán)最小二乘WLSM （weighted least square method）估計(jì)節(jié)點(diǎn)的位置，但是該方案依賴初始值的精度，否則算法無法收斂。

另一種方案就是基于凸優(yōu)松弛技術(shù)，該類算法是將定位問題非凸優(yōu)問題轉(zhuǎn)為為一個(gè)凸優(yōu)化問題，然后運(yùn)用凸優(yōu)化理論中的二階錐規(guī)劃SOCP （second order cone programming）［15，16］、半定規(guī)劃SDP （semi－definite programming）松馳方法求解節(jié)點(diǎn)的位置。然而，若存在量測(cè)噪聲，SDP和SOCP僅能獲取次優(yōu)解 （suboptimal solutions）。

Tseng［16］針對(duì)傳感網(wǎng)定位問題，對(duì)SOCP 和SDP 進(jìn)行了深入的研究，并分析了SOCP 和SDP 的解集的關(guān)系。Tseng分析得出SDP和SOCP 間存在復(fù)雜度和定位精度間的折衷。相比于SOCP，SDP松弛更緊，其定位也更精確。而SOCP具有更低的復(fù)雜度，求解時(shí)間更短。

多數(shù)傳感器定位算法均假設(shè)能獲取錨節(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，并通過這些錨節(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)確位置信息，估計(jì)余下傳感節(jié)點(diǎn)位置。然而，在多數(shù)環(huán)境中，這個(gè)假設(shè)難以滿足，由于噪聲污染，難以獲取錨節(jié)點(diǎn)的準(zhǔn)確位置。反過來，錨節(jié)點(diǎn)位置的不確定性影響對(duì)傳感節(jié)點(diǎn)位置的估計(jì)。為此，文獻(xiàn) ［17］針對(duì)未知錨節(jié)點(diǎn)位置條件下，提出基于SDP 的凸優(yōu)松弛的魯棒傳感節(jié)點(diǎn)定位算法。具體而言，由兩項(xiàng)構(gòu)成最大似然估計(jì)，第一項(xiàng)反映了測(cè)量關(guān)系，其常分為魯棒和非魯棒優(yōu)化；第二項(xiàng)是錨節(jié)點(diǎn)位置，其需要不論測(cè)量值存在多大的誤差下找到可靠的定位算法，然而，該算法計(jì)算復(fù)雜度高、計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)。

為此，針對(duì)錨節(jié)點(diǎn)位置不明確的環(huán)境下，提出基于半定規(guī)劃SDP和二階錐規(guī)劃SOCP 混合式的松馳規(guī)劃求解定位問題的優(yōu)化方案，記為R＿SOCP＋SDP。根據(jù)最大似然估計(jì)原則建立定位估計(jì)的魯棒SOCP （RSOCP）、魯棒SDP（RSDP）優(yōu)化函數(shù)，然后分析SOCP與SDP間的關(guān)系，并充分考慮SOCP的計(jì)算復(fù)雜度低、SDP 的定位精度高的特點(diǎn)，建立R＿SOCP＋SDP凸優(yōu)化函數(shù)，最后運(yùn)用凸優(yōu)化理論的松弛規(guī)劃技術(shù)估計(jì)節(jié)點(diǎn)的位置。仿真結(jié)果表明，R＿SOCP＋SDP能夠在不明確錨節(jié)點(diǎn)位置的環(huán)境下，提供準(zhǔn)確的節(jié)點(diǎn)定位，并降低系統(tǒng)的計(jì)算復(fù)雜度。

1 定位模型

假定傳感網(wǎng)絡(luò)由一系列的錨節(jié)點(diǎn)和普通傳感節(jié)點(diǎn)組成。Na、Ns分別表示錨節(jié)點(diǎn)集和普通節(jié)點(diǎn)集。網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)集表示為N ，且N ＝Na∪Ns。矢量包含所有節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)，i∈N 。此外，網(wǎng)絡(luò)中錨節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k，且k ＝。網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)總數(shù)為m，即m ＝。

利用無方向圖 （undirected graph）G ＝（N，ε）表示傳感網(wǎng)絡(luò)，其中N 表示所有節(jié)點(diǎn)集，ε表示鏈路集。如果節(jié)點(diǎn)i、j 是鄰居，即它們?cè)诒舜说耐ㄐ欧秶鶵c內(nèi)，＝鏈路（i，j）∈ε。類似文獻(xiàn) ［16］，假定ε不包含錨節(jié)點(diǎn)與錨節(jié)點(diǎn)構(gòu)建的鏈路。由于存在量測(cè)噪聲，節(jié)點(diǎn)i、j間的距離的估計(jì)值dij如式 （1）所示

式中：eij——測(cè)量誤差，零均值高斯變量，且方差。設(shè)定集合D 表示量測(cè)誤差集

1.1 基于準(zhǔn)確的錨節(jié)點(diǎn)位置的普通節(jié)點(diǎn)定位

先假定網(wǎng)絡(luò)已知錨節(jié)點(diǎn)位置。給定錨節(jié)點(diǎn)位置xoi，i∈Na，量測(cè)誤差集D，依據(jù)最大似然估計(jì)原則估計(jì)普通節(jié)點(diǎn)的位置，xi，i∈Ns，如式 （3）所示

式 （2）的優(yōu)化屬于非凸優(yōu)問題，需應(yīng)用SOCP和SDP將其轉(zhuǎn)為凸優(yōu)問題，進(jìn)而估計(jì)節(jié)點(diǎn)位置。

1.2 基于不準(zhǔn)確的錨節(jié)點(diǎn)位置的普通節(jié)點(diǎn)定位

在實(shí)際環(huán)境中，難以準(zhǔn)確地獲取錨節(jié)點(diǎn)的位置。在多數(shù)場(chǎng)景中是通過全球定位系統(tǒng)GPS （global positioning system）獲取準(zhǔn)確的錨節(jié)點(diǎn)位置，這必然存在測(cè)量誤差。因此，假定獲取的錨節(jié)點(diǎn)i不準(zhǔn)確的位置ai，如式 （4）所示

針對(duì)式 （4），采用最大似然估計(jì)原則MLE （maximum likelihood estimation）算法估計(jì)，i∈N 。概率如式 （5）所示

結(jié)合式 （5），對(duì)普通節(jié)點(diǎn)實(shí)施魯棒估計(jì)，如式 （6）所示

類似于式 （3），式 （5）為非凸優(yōu)問題。為此，利用SOCP策略，將式 （6）進(jìn)行轉(zhuǎn)換

其中g(shù)ij＝。定義矢量u聯(lián)合多個(gè)變量，如式 （8）所示

為此，對(duì)式 （7）進(jìn)行轉(zhuǎn)換，如式 （9）～式 （13）所示

最后，為了滿足SOCP 型將約束項(xiàng)式 （13）轉(zhuǎn)為不等式 （14），從而通過凸優(yōu)SOCP 松弛技術(shù)解決魯棒定位問題，如式 （14）所示

將式 （10）替換式 （13），致使式 （9）變換標(biāo)準(zhǔn)的SOCP，就可通過內(nèi)點(diǎn)算法 （interior point）算法［18］進(jìn)行求解。

2 魯棒的SOCP與SDP的定位問題

本小節(jié)，分析式 （9）與魯棒SDP的表達(dá)式［17］的關(guān)系，同時(shí)提出R＿SOCP＋SDP方案，該混合方案是對(duì)SDP準(zhǔn)確性和SOCP的復(fù)雜性的一種彈性折衷。

2.1 SOCP與SDP間的關(guān)系

針對(duì)SOCP 和SDP，文獻(xiàn) ［16］分析SOCP 的解數(shù)集（Solution set）包含SDP 解數(shù)集。這說明SDP 提供更窄求解區(qū)域。本小節(jié)，針對(duì)未能準(zhǔn)確獲取錨節(jié)點(diǎn)位置的環(huán)境下，分析式 （9）所示的SOCP和SDP間關(guān)系，并將此條件下的SOCP和SDP，稱為魯棒 （robust）的SOCP和SDP，分別記為RSOCP、RSDP。

引入2×m 矩陣X，其ith列元素設(shè)定為xi，并且令Y＝利用SDP［17］，得到魯棒式的RSDP表達(dá)式，如式 （15）～式 （22）所示

接下來的命題顯示了分析式 （9）所示的RSOCP 和式（15）SDP間關(guān)系。

令Ssdp＝｛X，Y，｛Ξi｝，｛γij｝，｛rij｝｝表示魯棒的RSDP（式 （16）～式 （22））的可行解。因此，變量集Ssocp＝｛｛x′i｝，｛qij｝，｛tij｝，｛si｝，υ｝可定義

上述的定義形成了RSOCP （式 （9））的可行解。此外，魯棒式RSDP （式 （15））的修整后優(yōu)化值υ′sdp＝其大于或等于RSOCP （式 （9））的優(yōu)化值

其中υ0為式 （23）定義的值。

命題顯示：若滿足式 （25），RSDP解集包含于RSOCP解集內(nèi)。相比于RSOCP，RSDP提供更窄的解集區(qū)域。

由于克拉美－拉奧下界CRLB （Cramer－Rao lower bound）與使用的算法獨(dú)立，依據(jù)文獻(xiàn) ［17］的噪聲模型，計(jì)算魯棒定位問題的CRLB。具體地，通過Fisher information 矩陣F 的反轉(zhuǎn)矩陣中的對(duì)角元素，可計(jì)算定位變量的CRLB，如式 （26）所示

2.2 RSOCP和RSDP的混合

為了提供準(zhǔn)確性與復(fù)雜性的折衷的定位方案，可以將魯棒的RSOCP和RSDP 進(jìn)行混合。通過將節(jié)點(diǎn)集N 分為Nsocp、Nsdp兩個(gè)子集，并針對(duì)相應(yīng)的測(cè)距信息運(yùn)行RSOCP和RSDP方案，如式 （27）所示

其中N、ε、D 的下標(biāo) ‘sdp’和 ‘socp’分別表示屬于RSDP和RSOCP的節(jié)點(diǎn)集、鏈路和測(cè)距。在通常情況下，無需使Nsocp、Nsdp兩個(gè)子集完全獨(dú)立，即Nsocp∩Nsdp≠0。

考慮總體性能，即計(jì)算復(fù)雜度和定位精度，需要將所有節(jié)點(diǎn)有效地分配給Nsocp、Nsdp兩個(gè)子集。為此，提出RSOCP和RSDP的混合算法R＿SOCP＋SDP。該算法要比SDP計(jì)算復(fù)雜度低、比SOCP定位精度高。

（1）將所有的節(jié)點(diǎn)分配Nsocp，即Nsocp＝N ，求解SOCP式 （9）；

（2）設(shè)置Nsdp＝｛i s.t （i，j）∈ε：（i，j） ｝∪Na，這表明求解SDP，是基于鏈路集之外的節(jié)點(diǎn)和錨節(jié)點(diǎn)的并集。

與文獻(xiàn) ［14］提出的算法相比，式 （14）更具有普遍性，從這個(gè)意義上講，允許提出的混合算法R＿SOCP＋SDP滿足Nsocp∩Nsdp≠0。顯然，提出的混合算法R＿SOCP＋SDP的計(jì)算復(fù)雜度高于SOCP。但是，提出的混合算法R＿SOCP＋SDP 中，SDP 需要僅通過非緊密節(jié)點(diǎn)（non－tight nodes）求解，其通常為網(wǎng)絡(luò)中總節(jié)點(diǎn)的10 至20%［16］，比標(biāo)準(zhǔn)的SDP通過網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點(diǎn)求解，極大地降低了計(jì)算復(fù)雜度。

3 性能分析

本節(jié)，通過仿真分析提出的定位算法的性能，并利用Matlab軟件內(nèi)凸優(yōu)化工具箱CVX 求解R＿SOCP＋SDP 問題和RSDP問題式 （15）。仿真平臺(tái)為Matlab 2009a，區(qū)域?yàn)?0 m×40 m 的二維區(qū)域。采用3.07 GHz的處理器、8GRAM 的計(jì)算機(jī)實(shí)施仿真。

采用均方誤差MSE （mean square error）衡量算法的定位性能，如式 （28）所示，并改變?cè)肼暦讲畹闹担瑥亩治鏊惴ㄔ诓煌肼晽l件下的定位性能。同時(shí)假定對(duì)所有鏈路（i，j）∈ε的噪聲方差＝，其中表示單位距離的方差，即長(zhǎng)距離的鏈路具有更大的噪聲方差［17］

（1）RSOCP的性能

圖1中，三角形、矩形分別表示8個(gè)錨節(jié)點(diǎn)、10個(gè)普通傳感節(jié)點(diǎn)的位置。RSOCP對(duì)錨節(jié)點(diǎn)、普通傳感節(jié)點(diǎn)進(jìn)行位置估計(jì)，圖中記為RSOCP－anchor、RSOCP－Sensor。類似，RSDP對(duì)錨節(jié)點(diǎn)、普通傳感節(jié)點(diǎn)進(jìn)行位置估計(jì)，圖中記為RSDP－anchor、RSDP－Sensor。

圖1 RSOCP和RSDP對(duì)錨節(jié)點(diǎn)、普通傳感節(jié)點(diǎn)的位置估計(jì)

表1 SOCP、RSOCP、RESDP、RSDP的性能對(duì)比

從圖1 可知，兩個(gè)魯棒算法RSOCP、RSDP 均能夠較準(zhǔn)確地定位錨節(jié)點(diǎn)和普通傳感節(jié)點(diǎn)的位置。針對(duì)靠近原始位置（0，0）的節(jié)點(diǎn)，RSOCP的估計(jì)精度略高于RSDP，例如，圖中最小的定位誤差是位于（－11.6，－10.8）m。而對(duì)于位于邊界的節(jié)點(diǎn)，RSOCP的估計(jì)精度下降，并低于RSDP。這個(gè)現(xiàn)象說明一個(gè)事實(shí)：在RSOCP 中，離錨節(jié)點(diǎn)凸殼 （Convex hull）越近的節(jié)點(diǎn)其位置估計(jì)精度越高。這主要是因?yàn)镽SOCP 優(yōu)化的特殊結(jié)構(gòu)?？傮w上看，RSOCP的總體RMSE 為1.35dBm2，高于RSDP 的總體MSE 的0.50dBm2。這主要是因?yàn)镽SDP具有更緊的松弛。

表1顯示SOCP、RSOCP、RESDP、RSDP定位精度和計(jì)算時(shí)間。這些數(shù)據(jù)表明，與SOCP 相比，RSOCP 提高了定位精度，計(jì)算時(shí)間提升了約0.2s；與RSDP相比，減少了計(jì)算時(shí)間達(dá)到0.74s，表明RSOCP 有效地降低了計(jì)算復(fù)雜度。

（2）提出的混合算法R＿SOCP＋SDP的性能

圖2 R＿SOCP＋SDP的MSE隨測(cè)距方差的變化曲線 （Ψi ＝－10I2dBm2 ）

從圖2可知，R＿SOCP＋SDP在MSE方面的性能優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的SOCP以及RSOCP。而RSDP 由于更緊的松弛，其緊逼于R＿SOCP＋SDP。在小于－20dBm2時(shí)，沒有哪個(gè)方案達(dá)到CRLB。

圖3 R＿SOCP＋SDP的MSE隨的變化曲線

從圖3可知，所有的定位方案的定位MSE 隨噪聲方差的增加而上升。相比于標(biāo)準(zhǔn)的SOCP，RSOCP的MSE性能得到顯著的提高。此外，標(biāo)準(zhǔn)的SOCP、RSCOP和R－SOCP＋SDP的MSE性能均隨的增加而下降。這主要是因?yàn)樵酱?，錨節(jié)點(diǎn)位置誤差大，導(dǎo)致估計(jì)其它普通節(jié)點(diǎn)的MSE上升。注意到，越大，RSOCP 的MSE 比標(biāo)準(zhǔn)的SOCP下降得越多，這是因?yàn)镽SOCP能夠調(diào)整錨節(jié)點(diǎn)的位置。從圖3 可 知，不 論 何 種 情 況 （＝ ｛－10，0，10｝dBm2），提出的R－SOCP＋SDP 的MSE 最小。越大，MSE下降得越明顯。

為了評(píng)估方案在大型網(wǎng)絡(luò)的性能，設(shè)定1 000 m×1 000m仿真區(qū) 域，且Ψi＝，其中＝｛34，37.5｝dBm2、＝105、＝45?？紤]到真實(shí)實(shí)驗(yàn)環(huán)境，假定每條鏈路斷裂率為0.3，并且在鏈路斷裂時(shí)，無測(cè)距數(shù)據(jù)傳輸。針對(duì)此場(chǎng)景，進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 R＿SOCP＋SDP的MSE隨以及的變化曲線

在仿真過程中，記錄了方案的定位時(shí)間。RSOCP消耗了37s，比RSDP 的84s提高了近兩倍，但是RSOCP 的MSE僅比RSDP 提 高了約2.5dBm2。在＝37.5dBm2時(shí)，RSOCP 比RSDP 的MSE 高約1dBm2，并且RSOCP的定位誤差在可接受的范圍內(nèi)。在＝37.5dBm2以及＝34dBm2兩種情況，提出的R＿SOCP＋SDP的定位誤差最小。

4 結(jié)束語

針對(duì)無線傳感網(wǎng)節(jié)點(diǎn)定位問題，提出了基于半定規(guī)劃SDP和二次錐規(guī)劃SOCP 的混合式的松馳規(guī)劃求解定位問題的優(yōu)化方案，記為R＿SOCP＋SDP。通過R＿SOCP＋SDP定位的非凸優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)問題，并利用松馳優(yōu)化理論求解。首先分析SOCP和SDP間的特點(diǎn)，再針對(duì)錨節(jié)點(diǎn)位置不確定以及量測(cè)噪聲環(huán)境，依據(jù)最大似然估計(jì)建立魯棒的SOCP和SDP目標(biāo)函數(shù)。結(jié)合SOCP低計(jì)算復(fù)雜度和SDP高的定位精度，提出R＿SOCP＋SDP方案。針對(duì)不同的場(chǎng)景仿真，結(jié)果表明提出的R＿SOCP＋SDP在計(jì)算復(fù)雜度和定位精度方面具有良好的性能。

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