楊國(guó)亮，王艷芳，豐義琴，魯海榮

（江西理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，江西 贛州341000）

0 引 言

圖像去噪一直是圖像處理領(lǐng)域的熱門話題之一，研究人員也已針對(duì)各種不同的噪聲陸續(xù)提出了多種有效的去噪方法，一般分為局部去噪和非局部去噪兩大類。局部去噪方法通過(guò)對(duì)含噪圖像塊的局部相鄰區(qū)域進(jìn)行處理，得到去噪圖像。局部去噪方法雖然算法簡(jiǎn)單，計(jì)算復(fù)雜度較低，但去噪后的圖像過(guò)于平滑，圖像的紋理信息損失嚴(yán)重，使圖像變的模糊。非局部去噪算法則利用圖像塊之間存在結(jié)構(gòu)相似性的特點(diǎn)，對(duì)圖像進(jìn)行結(jié)構(gòu)聚類獲得相似塊組矩陣，然后對(duì)相似塊組矩陣進(jìn)行去噪。相對(duì)于局部去噪方法，非局部去噪方法去噪效果更優(yōu)，不僅能夠很好保持圖像的結(jié)構(gòu)信息，而且能更好保留圖像的紋理信息。

非局部去噪算法一提出，便受到廣大學(xué)者們的關(guān)注。利用自然圖像具有自相似性的特點(diǎn)，Buades等提出了非局部平均去噪算法 （non－local means，NLM），Dabov等提出了三維塊匹配（block method of 3－dimension，BM3D）算法。相對(duì)于NLM 方法，BM3D 的信噪比更高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為理想。隨著壓縮感知理論 （compressive sensing，CS）的提出，給圖像去噪領(lǐng)域帶來(lái)了新的曙光。壓縮感知去噪法通過(guò)求解圖像的凸優(yōu)化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)被污染的稀疏信號(hào)或圖像的重建。隨后，學(xué)者們將非局部思想與壓縮感知理論相結(jié)合，提出了各種基于稀疏模型的非局部圖像去噪算法。Chatterjee等提出了基于聚類的局部字典學(xué)習(xí)算法 （clustering－based denoising with locally learned dictionary，KLLD）［1］。Dong等提出了基于聚類的稀疏表示算法 （clustering－based sparse representation，CSR）［2］，CSR 結(jié)合了NLM 和BM3D 的思想，對(duì)圖像進(jìn)行分塊聚類，同時(shí)考慮了圖像的局部和非局部信息，并對(duì)模型進(jìn)行雙邊l1范數(shù)優(yōu)化，算法更簡(jiǎn)單，其去噪效果稍優(yōu)于BM3D。

近年來(lái)，低秩矩陣恢復(fù)（low－rank matrix recovery，LRMR）［3］是繼CS之后又一種重要的數(shù)據(jù)表示方法。在圖像去噪領(lǐng)域，低秩矩陣恢復(fù)將圖像灰度矩陣表示為低秩矩陣和稀疏矩陣，我們的任務(wù)就是從一個(gè)含有稀疏噪聲的觀測(cè)矩陣中恢復(fù)低秩數(shù)據(jù)矩陣。低秩矩陣恢復(fù)模型有魯棒主成分分析（RPCA）［4］、矩陣補(bǔ)全（MC）［5，6］和低秩表示（LRR）［7，8］等。

1 魯棒主成分分析 （RPCA）

自然圖像本身是具有自相似性的，對(duì)自然圖像進(jìn)行分塊，將圖像塊轉(zhuǎn)化為列向量組成新的圖像矩陣。利用圖像塊之間的結(jié)構(gòu)相似性特點(diǎn)，對(duì)這些圖像塊進(jìn)行相似性聚類得到相似塊組矩陣，則我們可以將該矩陣分解為無(wú)噪聲圖像矩陣和噪聲矩陣之和，無(wú)噪聲圖像矩陣具有低秩性，而噪聲矩陣具有稀疏性。由此，利用矩陣低秩性可以較好復(fù)原真實(shí)數(shù)據(jù)矩陣。低秩矩陣對(duì)數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的全局描述能力和抗干擾能力，能夠更充分利用相似塊之間的非局部信息，更好保護(hù)好圖像的原有信息。因此，我們可以利用低秩矩陣來(lái)恢復(fù)原圖像，從而達(dá)到去除噪聲的目的。

魯棒主成分分析模型如式 （1）所示

盡管核范數(shù)最小化技術(shù)被廣泛地應(yīng)用于低秩矩陣恢復(fù)中，但依然存在一些問(wèn)題。為了保證函數(shù)為凸，標(biāo)準(zhǔn)核范數(shù)平等地對(duì)待每一個(gè)奇異值，而忽略了一些關(guān)于矩陣奇異值的先驗(yàn)信息，如在很多機(jī)器視覺(jué)應(yīng)用問(wèn)題中，與數(shù)據(jù)矩陣中小的奇異值相比較，大的奇異值通常表示數(shù)據(jù)的主要成分，由此，直觀上考慮，我們必須給奇異值分配不同的權(quán)值，以便使得標(biāo)準(zhǔn)RPCA 模型更接近真實(shí)問(wèn)題的描述，提高該模型靈活性。張等提出了TNNR［9］算法，然而TNNR 不是很靈活，它只采用了二值模式來(lái)決定是否對(duì)特殊的奇異值進(jìn)行優(yōu)化。

Candes等［10］提出對(duì)l1范數(shù)進(jìn)行加權(quán)可以提高數(shù)據(jù)的稀疏度，用軟閾值求解時(shí)，大的稀疏系數(shù)減去小的權(quán)值，小的稀疏系數(shù)減去大的權(quán)值，保證主要的數(shù)據(jù)信息不被過(guò)多的丟失，能夠達(dá)到較好的稀疏恢復(fù)效果。Gu等［11］提出了加權(quán)核范數(shù)最小化算法 （weighted nuclear norm minimization，WNNM），其優(yōu)化模型表示如下

2 加權(quán)魯棒主成分分析（weighted RPCA，WRPCA）

本文基于對(duì)矩陣奇異值的先驗(yàn)知識(shí)，結(jié)合RPCA 和WNNM 算法，構(gòu)建了加權(quán)魯棒主成分分析 （WRPCA）模型，該模型如式 （4）所示

WRPCA 結(jié)合了RPCA 和WNNM 模型的優(yōu)點(diǎn)，WRPCA 在WNNM 的基礎(chǔ)上添加稀疏部分，對(duì)噪聲進(jìn)行稀疏約束。因?yàn)樵诤雸D像中，噪聲分布都是隨機(jī)的離散的點(diǎn)，具有稀疏性。加入稀疏部分后，更有利于保持圖像的紋理細(xì)節(jié)信息。對(duì)核范數(shù)進(jìn)行加權(quán)，在使用軟閾值算子時(shí)，可通過(guò)調(diào)節(jié)權(quán)值的大小來(lái)改變閾值收縮的程度。因?yàn)榇蟮钠娈愔祵?duì)應(yīng)數(shù)據(jù)矩陣更主要的成分，所以大的奇異值分配一個(gè)小的權(quán)值以減少閾值收縮，防止主要信息被過(guò)多的丟失，相反，小的奇異值分配大的權(quán)值，獲得的矩陣更具低秩性。

標(biāo)準(zhǔn)RPCA 算法模型的求解方法有很多，主要有迭代閾值算法［4，5］、加速近端梯度算法［12］、對(duì)偶法［12］和增廣拉格朗日乘子法［13］等。迭代閾值算法的迭代形式比較簡(jiǎn)單且收斂，但是收斂速度慢，迭代時(shí)間長(zhǎng)，且步長(zhǎng)選擇比較難達(dá)到最優(yōu)；加速近端梯度算法和迭代閾值算法類似，但是迭代次數(shù)更少，可以減少迭代的時(shí)間，但相對(duì)來(lái)說(shuō)時(shí)間花費(fèi)還是比較高；對(duì)偶法比前面兩種具有更好的可擴(kuò)展性，在每次迭代過(guò)程中，不需要計(jì)算矩陣的完全奇異值分解；增廣拉格朗日乘子法算法速度更快，精度相對(duì)于其它方法精度更高，所以本文采用標(biāo)準(zhǔn)RPCA 算法中的增廣拉格朗日乘子法求解模型。

3 基于增廣拉格朗日乘子法WRPCA模型優(yōu)化算法

對(duì)式 （4）構(gòu)建增廣拉格朗日函數(shù)如下

式中：Y ——拉格朗日算子，μ ＞0為常數(shù)。使用交替方向法對(duì)式 （5）進(jìn)行優(yōu)化求解。

首先先固定S 和Y ，對(duì)低秩矩陣L 采用奇異值閾值算法進(jìn)行估計(jì)；再固定L和Y，對(duì)稀疏矩陣S 采用軟閾值算法進(jìn)行估計(jì)；最后固定L 和S，求解朗格朗日算子。即

3.1 低秩部分的迭代更新

固定S 和Y ，目標(biāo)函數(shù) （5）可以簡(jiǎn)化成公式

式 （7）可借用文獻(xiàn) ［11］加權(quán)核范數(shù)最小化算法的求解方法即奇異值閾值算法，求解最佳目標(biāo)值。其解為

3.2 稀疏部分的迭代更新

固定L 和Y，目標(biāo)函數(shù) （5）可以簡(jiǎn)化成公式

該目標(biāo)函數(shù) （10）可通過(guò)軟閾值算子式 （11）求解

3.3 權(quán)值向量的選擇

很顯然，求解式 （4）有個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是權(quán)值W 如何選擇，才能使低秩矩陣恢復(fù)效果最好。由矩陣奇異值的先驗(yàn)知識(shí)可知，越大的奇異值通常對(duì)應(yīng)著圖像的更主要的成分，因此它們應(yīng)當(dāng)收縮幅度盡量小以保證主要的數(shù)據(jù)信息不被過(guò)多的丟失。所以在去噪的過(guò)程中，對(duì)于大的奇異值我們可以對(duì)他進(jìn)行小的收縮，而對(duì)小奇異值進(jìn)行較大的收縮。所以我們?cè)O(shè)定權(quán)值如下

其中，T ＝D－L－S－Y／μ。ε＝10－16，ε＞0是為了避免奇異值為0。要注意的是奇異值一般按非降序排列。

4 WRPCA去噪算法的實(shí)現(xiàn)

對(duì)噪聲圖像進(jìn)行圖像去噪可以分為4步：①建立搜索窗口。以圖像中的某一個(gè)像素點(diǎn)為中心建立大小為T×T的搜索窗口；②在當(dāng)前窗口中計(jì)算相似塊矩陣。對(duì)噪聲圖像當(dāng)前窗口進(jìn)行分塊，利用塊匹配法［14］對(duì)圖像塊進(jìn)行相似塊匹配，將匹配后得到的相似塊列向量堆疊成圖像的相似塊組矩陣Dj；③對(duì)相似塊組矩陣進(jìn)行低秩矩陣恢復(fù)。令Dj＝Lj＋Sj，Lj和Sj分別表示原始相似塊組矩陣中的去噪后的數(shù)據(jù)矩陣和噪聲數(shù)據(jù)矩陣。利用WRPCA 求解Lj和Sj，從而得到去噪后的數(shù)據(jù)矩陣Dj；④聚合。對(duì)噪聲圖像中所有搜索窗口，重復(fù)第二步和第三步后得到所有恢復(fù)后的圖像塊矩陣，然后對(duì)恢復(fù)后的所有圖像塊矩陣進(jìn)行聚合就可以獲得去噪后的圖像 （算法流程詳述見(jiàn)表1）。

表1 WRPCA 去噪算法流程

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出的WRCPA 去噪算法的去噪效果，本文利用MATLAB 軟件平臺(tái)，對(duì)CSR、RPCA、WNNM和本文算法做對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)圖像采用大小為256×256的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖 “House”， “Peppers”， “C.Man”， “Lena”，“Barbara”，“Goldhill”，“Boat”，“Straw”，“Man”，“Couple”，“Monarch”（如圖1所示）。

圖1 原始測(cè)試圖像

對(duì)圖像去噪后的質(zhì)量評(píng)價(jià)，采取如下客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)：①峰值性噪比 （PSNR），一般認(rèn)為PSNR 值越高其去噪效果越好；②結(jié)構(gòu)相似指數(shù) （SSIM），SSIM 是才被提出的一種圖像質(zhì)量客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，SSIM 值越大越好，最大為1。與PSNR 相比，SSIM 更符合人眼的視覺(jué)特性，因此能夠提供更加準(zhǔn)確的圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)。

借鑒文獻(xiàn) ［13］的做法，在進(jìn)行WRPCA 算法實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，當(dāng)δn≤20、20＜δn≤40、40＜δn≤60和δn＞60時(shí)，我們?cè)O(shè)置分塊大小分別為6×6，7×7，8×8，9×9，搜素窗口T 為80，分塊數(shù)N 分別為70，90，120，140，迭代次數(shù)K 分別為8，12，14，14。

圖2給出了不同算法對(duì)含噪圖像 “Peppers”進(jìn)行去噪后的去噪效果，所加噪聲為均方差10的高斯白噪聲，為了使去噪效果看上去更加清晰明了，我們對(duì)圖像進(jìn)行局部放大。從局部放大圖中可以看出，CSR 算法使得去噪后的圖像變得模糊，結(jié)構(gòu)不清晰。其它算法較CSR 算法去噪效果更佳。對(duì)PSNR 值和SSIM 值進(jìn)行對(duì)比，本文算法SSIM 值分別高出CSR、RPCA 和 WNNM 算法0.00、0.01 和0.03；PSNR值分別高出1.22、0.99和0.97。從對(duì)比數(shù)據(jù)可以看出，在對(duì)低噪聲圖像去噪時(shí)，4種方法對(duì)結(jié)構(gòu)保持都相對(duì)較好，但本文算法的PSNR值明顯高于其它3種方法。

圖3是圖 “House”的仿真效果，對(duì)原始測(cè)試圖加入高斯白噪聲，其均方差為30，采用CSR、RPCA、WNNM 和WRPCA 算法對(duì)圖像進(jìn)行去噪。從圖中可以看出，本文去噪后的圖像噪聲點(diǎn)少，邊緣結(jié)構(gòu)清晰。對(duì)PSNR 值和SSIM值進(jìn)行對(duì)比，WRPCA 算法SSIM 值分別高出CSR、RPCA和WNNM 算法0.05、0.04 和0.04；PSNR 值分別高出1.15、1.12和0.74。從對(duì)比數(shù)據(jù)可以看出，在對(duì)中等水平噪聲圖像去噪時(shí)，CSR 去噪算法最差，WRPCA 算法去噪效果較其它3種算法更具有效性。

圖2 Peppers在噪聲δn ＝10時(shí)的去噪效果

圖3 house在噪聲δn ＝30時(shí)的去噪效果

圖4選擇圖 “Straw”進(jìn)行仿真，在原始測(cè)試圖中加入均方差為100 的高斯白噪聲，同樣采用CSR、RPCA、WNNM 和WRPCA 算法進(jìn)行去噪。對(duì)PSNR 值和SSIM 值進(jìn)行對(duì)比，WRPCA 算法SSIM 值分別高出CSR、RPCA 和WNNM 算法0.12、0.15和0.05；PSNR 值分別高出0.77、1.06和0.34。從這些數(shù)值中可以看出，RPCA 算法去噪效果最差，WRPCA 算法最好。WRPCA 算法在強(qiáng)噪聲情況下具有很好的保結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)，其去噪效果更優(yōu)。

圖4 straw 在噪聲δn ＝100時(shí)的去噪效果

表2列出了CSR，RPCA，WNNM 和WRPCA 算法對(duì)含有高斯白噪聲，噪聲均方差為10，30，50，100 的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖 “House”，“Peppers”，“C.Man”，“Lena”，“Barbara”，“Goldhill”， “Boat”， “Straw”， “Man”， “Couple”，“Monarch”進(jìn)行去噪后的峰值信噪比 （PSNR）和結(jié)構(gòu)相似指數(shù) （SSIM）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 （括號(hào)內(nèi)的為SSIM 值）。

對(duì)表2中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較可以得出以下結(jié)論：RPCA 與WRPCA 相比，加權(quán)后的RPCA 在去噪效果上明顯比RPCA 去噪效果好；CSR 算法通過(guò)對(duì)圖像塊進(jìn)行分塊聚類后進(jìn)行稀疏去噪，該方法相對(duì)于傳統(tǒng)的去噪方法在圖像紋理保持效果上有所提高，但仍然使圖像過(guò)于平滑，視覺(jué)效果模糊，去噪效果不如WRPCA 算法。WNNM 是在低秩表示的基礎(chǔ)上對(duì)核范數(shù)進(jìn)行加權(quán)，在去噪效果上比普通的低秩表示算法去噪效果好，其去噪效果在文獻(xiàn)［11］中做了詳細(xì)描述。WRPCA充分結(jié)合了CSR 和WNNM 去噪算法的優(yōu)點(diǎn)，將稀疏表示與低秩學(xué)習(xí)相結(jié)合，既考慮了圖像的低秩性，又考慮了噪聲的稀疏性。從表格中可以看出，WRPCA無(wú)論在結(jié)構(gòu)保持和細(xì)節(jié)保留上都優(yōu)于其它3種方法，特別是在處理像 “Straw”和 “Couple”等紋理信息比較豐富、結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的圖片時(shí)，WRPCA 算法能夠更好的保持圖像的紋理信息和結(jié)構(gòu)信息，而且視覺(jué)特性比較好，無(wú)論是對(duì)低噪聲圖像還是高噪聲圖像，其去噪效果都比CSR、RPCA 和WNNM 算法好。

表2 各種去噪算法PSNR 值和SSIM值比較

6 結(jié)束語(yǔ)

隨著圖像處理應(yīng)用需求的不斷深入及應(yīng)用領(lǐng)域的不斷拓廣，尋求有效的圖像去噪算法依舊任重而道遠(yuǎn)。稀疏表示理論以及低秩表示理論的提出及其在眾多領(lǐng)域的成功應(yīng)用，成為了圖像去噪領(lǐng)域研究的一個(gè)新的思路和方向。圖像處理最艱巨的任務(wù)就是圖像紋理細(xì)節(jié)信息的保持，本文提出的加權(quán)RPCA 模型，結(jié)合了CSR 和WNNM 去噪算法的優(yōu)點(diǎn)，將稀疏表示與低秩學(xué)習(xí)相結(jié)合，既考慮到了圖像的低秩性，又考慮到了噪聲的稀疏性。權(quán)值向量和奇異值是成反比，用以增強(qiáng)圖像矩陣的低秩性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比其它方法，WRPCA 在對(duì)圖像細(xì)節(jié)保持上優(yōu)于其它算法。

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