張 茹，鐘 聲，解 楠，楊 春

（中國工程物理研究院 電子工程研究所，四川 綿陽621900）

0 引 言

多調(diào)制指數(shù)CPM （Multi－h(huán) CPM）是在連續(xù)相位調(diào)制（CPM）技術(shù)［1］基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它具有Nh（Nh≥2）個(gè)調(diào)制指數(shù)｛h1，h2，...，hNh｝，且隨時(shí)間循環(huán)變化，但在每個(gè)碼元間隔保持不變。多調(diào)制指數(shù)引入兩方面的增益，一方面，可以提高抗誤碼性能，不同的調(diào)制指數(shù)對(duì)應(yīng)不同的相位路徑，合理地選擇調(diào)制指數(shù)，可以使相位網(wǎng)格圖中的相鄰相位路徑經(jīng)過較長的碼元間隔再合并，經(jīng)過的碼元長度越長，對(duì)應(yīng)序列間的最小歐氏距離就越高；另一方面，可以使頻譜更加緊湊，帶外滾降速度更快，提高頻譜利用率。美國先進(jìn)靶場(chǎng)遙測(cè)計(jì)劃組織 （ARTM）已把Multi－h(huán) CPM 定為遙測(cè)新體制的第二步目標(biāo) （ARTM Tier II CPM）。雖然Multi－h(huán) CPM 信號(hào)具有傳統(tǒng)調(diào)制方式無法比擬的優(yōu)點(diǎn)，但其優(yōu)異的性能是以高的復(fù)雜度為代價(jià)的，這使得工程實(shí)現(xiàn)變的困難。因此，尋求Multi－h(huán) CPM 低復(fù)雜度序列檢測(cè)算法成為亟待解決的問題。

針對(duì)Multi－h(huán) CPM 最大似然序列檢測(cè)所需匹配濾波器數(shù)和網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)多帶來的高復(fù)雜度，國內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了大量研究。總體來看，主要有兩種技術(shù)路線：一種是在接收端尋求與原始信號(hào)具有相似或相等歐氏距離且維數(shù)較低的信號(hào)空間代替發(fā)端的原始信號(hào)，以降低相關(guān)器數(shù)目，典型的有相位脈沖截短法、基函數(shù)分解法等；另一種是通過合理合并網(wǎng)格狀態(tài)或預(yù)處理等方法，減少Viterbi算法［2］中搜索的網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)，典型的有傾斜相位法、狀態(tài)空間分類［3］。還有文獻(xiàn) ［4］給出了一種基于相位距離的降低復(fù)雜度算法，通過設(shè)置相位距離門限來選擇一部分參考信號(hào)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，但其門限值沒有統(tǒng)一公式且沒法定性分析狀態(tài)減少數(shù)量。文獻(xiàn) ［2］指出，兩類算法的聯(lián)合可能得到更好的性能。針對(duì)多調(diào)制指數(shù)文獻(xiàn) ［5］提出了一種降維聯(lián)合狀態(tài)空間分類的思路。文獻(xiàn) ［6］給出了一種正交基分解聯(lián)合狀態(tài)空間分類的方法，其正交基的獲得較為復(fù)雜且只針對(duì)單調(diào)制指數(shù)。

在前人的基礎(chǔ)上，提出一種基于傾斜相位、特征值分解［7］和狀態(tài)空間分類的降低復(fù)雜度序列檢測(cè)算法。這里引入特征值分解來獲取正交基，并根據(jù)最小殘余誤差準(zhǔn)則選取基函數(shù)達(dá)到降維的目的。同時(shí)將信號(hào)網(wǎng)格狀態(tài)進(jìn)行分類融合，并引入判決反饋［8］約束狀態(tài)轉(zhuǎn)移，從而實(shí)現(xiàn)匹配濾波器數(shù)和網(wǎng)格搜索狀態(tài)數(shù)的減少。以Tier II信號(hào)為例進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明，其能在較小的性能損失下顯著降低復(fù)雜度。

1 Multi－h(huán) CPM 信號(hào)模型

Multi－h(huán) CPM 基帶信號(hào)［9］

在第n個(gè)符號(hào)間隔 （nT ≤t≤（n＋1）T）時(shí)，相位可以表示為

其中，θn是相位狀態(tài)，（an－1，an－2，…，an－L＋1）是相關(guān)狀態(tài)。CPM 總的狀態(tài)個(gè)數(shù)：當(dāng)m 為偶數(shù)時(shí)為pML－1，當(dāng)m 為奇數(shù)時(shí)為 2pML－1。 信號(hào)可完全由狀態(tài)向量［θn，an－L＋1，…，an－1］確定。

接收信號(hào)

其中，n（t）是加性高斯白噪聲，單邊帶功率譜為N0／2。

最大似然檢測(cè)序列輸出［10］

根據(jù)Viterbi算法有

分支度量可寫為MF1

最佳解調(diào)模型如圖1所示，共需要ML個(gè)匹配濾波器，共有pML或2pML個(gè)網(wǎng)格狀態(tài)。

圖1 CPM 最佳解調(diào)模型

2 Multi－h(huán) CPM 序列檢測(cè)算法性能及其低復(fù)雜度序列檢測(cè)算法

2.1 序列檢測(cè)性能理論分析

可以通過在網(wǎng)格中轉(zhuǎn)移的路徑之間的最小歐式距離來評(píng)估CPM 信號(hào)最大似然序列檢測(cè)的性能。通常，具有最小歐式距離的路徑僅有有限個(gè)節(jié)點(diǎn)不同，即在某個(gè)時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)上分離，而在后面某一個(gè)時(shí)刻的同樣節(jié)點(diǎn)上重新匯合。

對(duì)于高斯白噪聲信道下的CPM 信號(hào)，比特錯(cuò)誤率可以近似表示為

尺度因子可表示為

其中，Δa表示序列差，W 表示比特錯(cuò)誤權(quán)重，N 表示具有相同序列差的序列對(duì)數(shù)目，M 為進(jìn)制數(shù)，Nh為調(diào)制指數(shù)個(gè)數(shù)，R 為Δa中非零數(shù)的個(gè)數(shù)。誤比特率可表示為

2.2 低復(fù)雜度序列檢測(cè)算法

CPM 信號(hào)是時(shí)變的，而且當(dāng)調(diào)制指數(shù)分子m 為奇數(shù)時(shí)，相位狀態(tài)還要區(qū)分奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)刻，為了解決這一問題引入傾斜相位對(duì)信號(hào)做一些預(yù)處理，然后將信號(hào)投影到有限維基函數(shù)上。這里引入特征函數(shù)分解的方法獲得正交基并根據(jù)最小殘余誤差準(zhǔn)則來選取基函數(shù)，能夠容易的獲取基函數(shù)并得到信號(hào)最佳降秩表示。為了進(jìn)一步降低搜索網(wǎng)格規(guī)模，可以通過一些準(zhǔn)則將狀態(tài)進(jìn)行分類合并，由于信號(hào)的記憶特性，合并后可能引入非法的轉(zhuǎn)移路徑，引入判決反饋來進(jìn)行約束。具體算法實(shí)現(xiàn)過程如下：

（1）傾斜相位：定義（t，a）＝φ（t，a）＋πh（M－1）t／T并用符號(hào)Ui＝ （ai＋M－1）／2代替原來的ai，相當(dāng)于把每一個(gè)時(shí)刻的相位作相應(yīng)的平移，那么新的相位表示的不再是絕對(duì)相位，而是相對(duì)相位值。新的相位軌跡是時(shí)不變的，而且共有p 個(gè)可能取值，與m 的奇偶無關(guān)。相位狀態(tài)數(shù)降為原來的一半，即網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)減少一半。

（2）特征值分解EVD：Multi－h(huán) CPM 信號(hào)在一個(gè)符號(hào)間隔T 所有可能的取值有N ＝ML個(gè)，組成一個(gè)信號(hào)集。設(shè)為信號(hào)空間的一組正交基定義向量s（t）＝［s1（t）…sN（t）］T，φ（t）＝［φ1（t）…φN（t）］T，投影sij構(gòu)成N×M 維矩陣A ，則有s（t）＝Aφ（t）。

為了獲得信號(hào)的最佳降秩表示，這里引入最小殘余誤差準(zhǔn)則，即真實(shí)信號(hào)與截短正交基后的近似信號(hào)之間的殘余誤差最小。

信號(hào)相關(guān)矩陣R＝AAH，分析可知A 的奇異值的平方是R 的特征值，可以通過信號(hào)相關(guān)矩陣R 的特征值分解來獲取正交基，根據(jù)特征值大小來選擇信號(hào)的最佳降秩表示。正交基的個(gè)數(shù)決定了匹配濾波器的個(gè)數(shù)。

（3）狀態(tài)空間分類SSP：為了進(jìn)一步減少網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)，可以將網(wǎng)格狀態(tài)進(jìn)行合并，減少Viterbi譯碼的狀態(tài)數(shù)，同時(shí)為了避免引入非法轉(zhuǎn)移路徑，引入判決反饋進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移約束。

引入傾斜相位后的Multi－h(huán) CPM 信號(hào)狀態(tài)向量可以表示為：σn＝ ［Vn，Un＋1－L，…，Un－1］

簡(jiǎn)化后的狀態(tài)定義如下

其中，Γ代表一種映射算子，通過映射可以將一些狀態(tài)劃歸為一類?？梢愿鶕?jù)不同的準(zhǔn)則選擇映射算子。

包含在狀態(tài)向量中的信息可以由兩個(gè)狀態(tài)向量σ′n和σ″n唯一確定。因?yàn)楹喜⒑蟮木W(wǎng)格中存在平行轉(zhuǎn)移，所以一些在全狀態(tài)網(wǎng)格圖中不存在的狀態(tài)轉(zhuǎn)移路徑可能發(fā)生在合并后的網(wǎng)格狀態(tài)轉(zhuǎn)移中。當(dāng)在RS網(wǎng)格中使用Viterbi算法計(jì)算分支度量時(shí)，為減少計(jì)算量同時(shí)避免錯(cuò)誤路徑，就要注意選擇有效路徑進(jìn)行計(jì)算。但是，無法僅根據(jù)減狀態(tài)后的狀態(tài)轉(zhuǎn)移來判斷路徑是否有效，需要其它輔助的限定條件來幫助限定轉(zhuǎn)移，這里引入判決反饋。

基于判決反饋的SSP 算法的實(shí)現(xiàn)如下：因?yàn)闋顟B(tài)向量σn由σ′n和σ″n唯一確定，可知RS網(wǎng)格中的一個(gè)轉(zhuǎn)移σ′n：U′n→σ′n＋1，與ML 網(wǎng)格中某個(gè)σ″n對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移σ′n×σ″n：U′n→σ′n＋1×σ″n＋1相對(duì)應(yīng)。為了對(duì)轉(zhuǎn)移狀態(tài)進(jìn)行約束，避免產(chǎn)生非法路徑，需要確定對(duì)應(yīng)的σ″n。但實(shí)際上，簡(jiǎn)化后的狀態(tài)對(duì)應(yīng)σ″n是未知的，只能通過幸存路徑上的判決結(jié)果進(jìn)行反饋，來估計(jì)出被省略的狀態(tài)，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的原始狀態(tài)。這樣不但使Viterbi算法的搜索網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)減少，也使得分支度量的計(jì)算量減少，從而達(dá)到降低復(fù)雜度的目的。

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證低復(fù)雜度算法的正確性，以ARTM CPM Tier II信號(hào)為例進(jìn)行仿真。信號(hào)的主要參數(shù)為：M ＝4，hi∈｛4／16，5／16｝，L ＝3，頻率脈沖響應(yīng)為升余弦?？梢钥闯觯琓ier II信號(hào)總網(wǎng)格狀態(tài)數(shù)為：32×43－1＝512，復(fù)數(shù)匹配濾波器數(shù)為43＝64。其狀態(tài)向量可以表示為 ［32，4，4］。隨機(jī)生成106個(gè)符號(hào)通過調(diào)制得到發(fā)送信號(hào)，通過加性高斯白噪聲信道傳輸，解調(diào)統(tǒng)計(jì)誤碼率。給出了不同信噪比下的誤碼率性能。

圖2給出了4維不同網(wǎng)格狀態(tài)的誤碼率性能。圖中維度決定匹配濾波器數(shù)，狀態(tài)向量決定狀態(tài)數(shù)。狀態(tài)向量代表的意義是 ［相位狀態(tài)數(shù)，相關(guān)狀態(tài)數(shù)，相關(guān)狀態(tài)數(shù)］，例如全狀態(tài)時(shí)為64維 ［32，4，4］，匹配濾波器為64，總狀態(tài)數(shù)為32x4x4。當(dāng)相位狀態(tài)數(shù)或相關(guān)狀態(tài)數(shù)為1時(shí)，表示此狀態(tài)被完全忽略，它的貢獻(xiàn)被融合到其它狀態(tài)中。圖2中的union bound是理論分析的全狀態(tài)序列檢測(cè)性能下界取前兩項(xiàng)近似的結(jié)果，MLSD 是全狀態(tài)最大似然序列檢測(cè)性能曲線?？梢钥闯觯煌暮?jiǎn)化方案引入不同程度的性能損失。比較4維 ［4，4，4］和4 維 ［2，4，4］的仿真曲線可以看出，匹配濾波器數(shù)由64降為4，狀態(tài)數(shù)由512降為64，性能損失在Pb＝10－5時(shí)約為0.2dB。再進(jìn)一步合并相位狀態(tài)，由4個(gè)降為2個(gè)，狀態(tài)數(shù)由512降為32，性能損失在Pb＝10－5時(shí)約為1dB，引入了0.8dB的損失。比較 ［4，4，4］和 ［4，2，4］、 ［8，1，4］，進(jìn)一步合并相關(guān)狀態(tài)，由4個(gè)降為2個(gè)引入較大性能損失，而將最老的相關(guān)狀態(tài)融合到相位狀態(tài)，保持狀態(tài)數(shù)不變，性能損失比只合并相關(guān)狀態(tài)要小很多。通過分析可知，性能損失主要由兩方面引入，一方面是狀態(tài)合并可能引起最小歐氏距離減小，使得譯碼過程對(duì)噪聲更為敏感，導(dǎo)致誤碼增多。另一方面是引入判決反饋，因?yàn)樾盘?hào)具有記憶特性，錯(cuò)誤的判決結(jié)果進(jìn)入反饋會(huì)導(dǎo)致誤差累積。特別是在信噪比較低的情況下，判決錯(cuò)誤率較高，反饋回去會(huì)造成正確的ML路徑被舍棄，導(dǎo)致后面幾段網(wǎng)格采用不正確的路徑使得誤差連續(xù)傳播，難以達(dá)到性能下界。

圖3給出了3維不同網(wǎng)格狀態(tài)的誤碼率性能仿真結(jié)果，可以看出維數(shù) （匹配濾波器數(shù)）由4降為3后，狀態(tài) ［2，4，4］和 ［4，4，4］性能損失在誤碼率為10－5時(shí)小于0.01，表明可以將匹配濾波器減少為3而幾乎不引起性能損失。通過分析可知，主要原因是忽略的特征值相比其它值很小，所以對(duì)性能的損失影響很小。當(dāng)維數(shù)降為2 或1時(shí)，性能明顯惡化，這里沒有給出。

不同的低復(fù)雜度方案和性能的概括見表1。

圖2 低復(fù)雜度算法4維不同狀態(tài)BER 性能

圖3 低復(fù)雜度算法3維不同狀態(tài)BER 性能

表1 復(fù)雜度和性能比較

4 結(jié)束語

針對(duì)Multi－h(huán) CPM 接收機(jī)由于匹配濾波器數(shù)和狀態(tài)數(shù)多導(dǎo)致的解調(diào)復(fù)雜度高的問題，提出一種基于傾斜相位、特征值分解和狀態(tài)空間分類的低復(fù)雜度序列檢測(cè)算法。通過傾斜相位消除信號(hào)時(shí)變和奇偶特性，特征值分解和最小殘余誤差準(zhǔn)則獲得信號(hào)最佳降秩表示，同時(shí)引入狀態(tài)分類融合和判決反饋，實(shí)現(xiàn)了匹配濾波器和Viterbi譯碼搜索網(wǎng)格數(shù)的顯著減少。理論推導(dǎo)和仿真結(jié)果表明：通過合理選擇基函數(shù)和狀態(tài)空間分類方法可以實(shí)現(xiàn)在較小性能損失下顯著降低復(fù)雜度。以Tier II信號(hào)為例，匹配濾波器由64降為3，狀態(tài)數(shù)由256降為64性能損失在誤碼率為10－5時(shí)僅為0.2dB。

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