賈 嫣，張 萍，陳 蕾

（甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州730070）

0 引 言

對(duì)圖像進(jìn)行加密，提高數(shù)字圖像信息的安全性為信息安全領(lǐng)域研究中的一個(gè)重要課題［1，2］。在傳統(tǒng)密碼學(xué)研究領(lǐng)域，例如DES、AES 等著名的加密算法［3，4］，它們都將所有的輸入明文看作二進(jìn)制流來進(jìn)行加密，這樣保證了加密的透明性，即加密算法不用考慮輸入明文的具體類型［5］。然而，由于圖像數(shù)據(jù)本身的特點(diǎn)，如數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)的二維空間分布、能量的不均勻分布、原始圖像數(shù)據(jù)存在大量冗余等特性，使得傳統(tǒng)加密算法對(duì)圖像加密并不是特別適用［6］。近年來，隨著混沌系統(tǒng)理論的不斷發(fā)展，混沌系統(tǒng)由于具有良好的隨機(jī)性、軌道難以預(yù)測(cè)與分析、復(fù)雜等特征，其生成的代碼具有很強(qiáng)抗攻擊能力以及較強(qiáng)的敏感性，能夠很好地適應(yīng)密碼系統(tǒng)的要求，在數(shù)字圖像加密領(lǐng)域研究中得到了廣泛的應(yīng)用，為圖像加密提供了一種新的有效地保護(hù)手段［7］。如文獻(xiàn)-［8］提出了基于多渦卷混沌映射的彩色圖像加密算法；文獻(xiàn)-［9］提出了基于超級(jí)混沌映射的圖像加密算法；文獻(xiàn)-［10］提出了基于雙混沌系統(tǒng)的圖像加密算法；文獻(xiàn)-［11］提出基于三維混沌CAT 映射的圖像加密算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果結(jié)果，這些算法具有良好的像素值混淆和擴(kuò)展性能，具有較強(qiáng)的抗攻擊能力。然而在當(dāng)前混沌映射加密算法研究中，主要是集中在低維、單峰映射，它們普遍存在密鑰空間小、安全性低等不足，且存在瞬態(tài)效應(yīng)［12］。

為了克服了當(dāng)前混沌映射加密算法的不足，提出一個(gè)改進(jìn)混沌映射的圖像加密算法。首先通過雅克比橢圓映射對(duì)初始密鑰進(jìn)行迭代，消除瞬態(tài)效應(yīng)，并通過變換函數(shù)得到新密鑰值，然后采用位置集合對(duì)圖像進(jìn)行置亂處理；最后采用仿真實(shí)驗(yàn)測(cè)試算法的性能。仿真結(jié)果表明，本文加密算法具有很好混亂與擴(kuò)散特性，可以獲得比較好的加密效果，并且具有較強(qiáng)的抗攻擊性能。

1 相關(guān)理論

1.1 雅克比橢圓混沌映射

可將具有不變測(cè)度的雅克比橢圓映射定義為N 次多項(xiàng)式比值，雅克比橢圓映射函數(shù)的方程為

式中：x——系 統(tǒng) 變 量，H——替 代 函 數(shù)，β——控 制參數(shù)［13］。

單參數(shù)集合所處區(qū)間為 ［0，1］的表達(dá)式可以采用sn、dn、cn代替

以上關(guān)系可表示為

式中：v——變量，k——模量。

映射Q 為 （N－1）個(gè)節(jié)點(diǎn)映射，即該映射在單位區(qū)間［0，1］中有 （N－1）個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，它們具有一個(gè)穩(wěn)定固定點(diǎn)或遍歷行為，如圖1所示。

圖1 Lyapunov指數(shù)與β之間的關(guān)系

對(duì)式 （1）進(jìn)行求schwarzian導(dǎo)數(shù)，得到如下模型

式中：H（x）為替代函數(shù)，Vx為x的矢量。

由上可知，schwarzian導(dǎo)數(shù)是負(fù)的，限制了穩(wěn)定周期軌道的數(shù)量，具有負(fù)schwarzian導(dǎo)數(shù)的單峰映射最多有一個(gè)穩(wěn)定的周期軌道，因此，映射Q 最多有 （N＋1）個(gè)吸引周期軌道，只有單周期的一個(gè)穩(wěn)定固定點(diǎn)或者它們是遍歷映射。

根據(jù)式 （1）～式 （3）可得如下模型

式中：k——控制參數(shù)。

與其它映射不同，由于橢圓混沌映射參數(shù)是變換的，因此沒有顯示倍周期，周期N 分岔或者逐步過渡到混沌狀態(tài)，而在參數(shù)的某個(gè)固定區(qū)域內(nèi)擁有單個(gè)固定點(diǎn)吸引子，對(duì)于正Lyapunovz指數(shù)的參數(shù)，它們無需精確的周期N 分岔就可以直接分岔到混沌狀態(tài)。

1.2 Lyapunovz指數(shù)

Lyapunovz指數(shù)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中混沌的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。在對(duì)雅克比橢圓映射迭代計(jì)算之后，考慮相鄰的兩個(gè)點(diǎn)x0與，可將其Lyapunovz指數(shù)定義為

式 中：λ（x0）——Lyapunovz 指 數(shù)，δ——相 鄰 兩 點(diǎn) 的差值［14］。

很顯然，這些負(fù)值表明這個(gè)系統(tǒng)是處于吸引子體系中，而它們的正值則暗示了這個(gè)系統(tǒng)是可預(yù)測(cè)的。Lyapunovz指數(shù)的數(shù)量與初始點(diǎn)x0無關(guān)，表明了在不變流形范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)是遍歷的，因此λ（x0）是把雅克比橢圓映射的不變流形表征為一個(gè)整體。

2 本文圖像加密算法

2.1 算法的框架

本文圖像加密算法的加密過程分為兩個(gè)階段：

（1）采用雅克比橢圓映射消除瞬態(tài)效應(yīng)，并利用加密變換函數(shù)與初值改變雅克比橢圓的控制參數(shù)得到一維序列；

（2）對(duì)待加密圖像進(jìn)行置亂處理，從而實(shí)現(xiàn)圖像加密，得到密文圖像。

本文圖像加密算法的工作框架具體如圖2所示。

2.2 圖像加密算法的工作步驟

（1）將明文圖像Lm×n變?yōu)橐痪S序列Lm×n×1。

（2）設(shè)置x0的值，并將其作雅克比橢圓混沌映射的初始密鑰，并進(jìn)行多次迭代消除映射的瞬態(tài)效應(yīng)，同時(shí)不考慮迭代結(jié)果。

（3）根據(jù)代數(shù)變換函數(shù)f（i）和x0通過簡(jiǎn)單的乘除運(yùn)算改變雅克比橢圓混沌映射的控制參數(shù)k、β得到新的密鑰

圖2 本文圖像加密算法的框架

式中：floor——取整運(yùn)算；mod——取余運(yùn)算；XOR——按位異或運(yùn)算。

（4）將得到的密鑰作為雅克比橢圓映射的初始條件進(jìn)行多次迭代，得到一維序列P＝ ｛x1，x2，…，xm×n｝T。

（6）使用集合S對(duì)初始圖像進(jìn)行置亂處理，得到置亂圖像P’，得到一維密文陣列Mm×n×1＝ ｛M1，M2，…，Mm×n｝T，改變圖像中任意像素點(diǎn)的像素值。

（7）把密文序列Mm×n×1轉(zhuǎn)變成Mm×n，得到密文圖像。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真環(huán)境

為了測(cè)試本文圖像加密算法的性能，在Intel雙核2.80 GHz CPU、4GB 的RAM，Windows XP 操作系統(tǒng)的個(gè)人計(jì)算機(jī)上，采用Maltab 2012工具箱進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。采用標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像lenna作為仿真對(duì)象。

3.2 加密效果

本文算法對(duì)lenna圖像進(jìn)行加密后，得到結(jié)果如圖3（a）～ （c）所示。從圖3可以看出，明文圖像經(jīng)過不同加密算法處理后，密文圖像的信息得到了充分?jǐn)_亂，很難從密文圖中得到任何信息，從視覺上達(dá)到了掩蓋原始圖像信息，達(dá)到了加密效果。

信息熵是衡量圖像隨機(jī)性的一個(gè)最重要指標(biāo)，一幅圖像數(shù)據(jù)位越是混亂，灰度分布越是均勻，其信息熵就越接

圖3 加密效果

近理想值。信息熵表達(dá)式如下所示

式中：2N——圖 像 灰 度 級(jí) 數(shù)；N——像 素 比 特 位 數(shù)；p（xi）——像素值xi出現(xiàn)的概率。

根據(jù)式 （11）計(jì)算各種算法密文圖像的信息熵，共進(jìn)行10次實(shí)驗(yàn)，本文算法的信息熵最高達(dá)到7.998，接近理論值8，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法加密后圖像各數(shù)據(jù)位隨機(jī)性好，不確定性高。

3.3 灰度直方圖

像素點(diǎn)的分布狀況可以通過直方圖進(jìn)行描述。圖4 （a）為明文圖像像素的直方圖，圖4 （b）為加密后的直方圖。從圖4 （a）可知，原始圖像的像素點(diǎn)灰度分布極不均勻，波動(dòng)范圍比較大，這說明其偽隨機(jī)性不高，容易被攻擊和破譯；從圖4 （b）可知，經(jīng)過本文算法加密后的圖像像素點(diǎn)分布非常均勻，有效掩蓋了原始圖像各像素的分布情況，攻擊者無法獲取原始圖像信息。

圖4 灰度分布直方圖

3.4 相鄰兩個(gè)像素點(diǎn)的相關(guān)性分析

相鄰像素的相關(guān)性是衡量加密算法性能的一個(gè)重要的指標(biāo)，分別從明文圖像和加密后的圖像的水平、垂直和對(duì)角方向隨機(jī)抽取5000對(duì)相鄰像素對(duì)進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，計(jì)算公式如下所示

其中

式中：x 與y——相鄰像素點(diǎn)的值。

圖5～圖7分別為明文圖像和加密圖像的像素分布情況，從圖5～圖7中可以清楚看出，加密圖像的像素隨機(jī)均勻分布，無法讀出原始圖像的統(tǒng)計(jì)信息，相鄰像素的相關(guān)性大大降低，加密后圖像的相關(guān)性幾乎為0，說明本文方法可以比較理想的加密結(jié)果。

圖5 水平方向像素相關(guān)性

圖6 垂直方向像素相關(guān)性

圖7 對(duì)角方向像素相關(guān)性

3.5 密鑰敏感性分析

好的加密算法中密文對(duì)密鑰流的敏感性極高，即對(duì)同一明文，密鑰的微小變化導(dǎo)致完全不同的密文。密文對(duì)密鑰的敏感性越高，密文中包含的信息量就越少，使攻擊者很難從密文的變化中得到密鑰的信息量。對(duì)混沌系統(tǒng)的初始值做微小改變以測(cè)試其密鑰敏感性，解密正確圖像和解密錯(cuò)誤圖像測(cè)試結(jié)果如圖8所示。從圖8可知，當(dāng)密鑰初始值發(fā)小較小的誤差時(shí)，解密圖像卻發(fā)生巨大的變化，即明文圖像的信息完全不能從解密錯(cuò)誤圖像中顯示出來。

3.6 穩(wěn)定性分析

為了分析加密算法的穩(wěn)定性，通過加密不同的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像來檢驗(yàn)算法的加密效果，采用boats、cameraman、pepper圖像作為仿真對(duì)象，檢測(cè)算法的加密穩(wěn)定性，仿真結(jié)果如圖9～圖11所示。從圖9～圖11可以看出，boats、cameraman、pepper圖像經(jīng)過本文算法加密后，均可以獲得較好

圖8 密鑰敏感性的仿真結(jié)果

圖9 boats圖像的加密結(jié)果

圖10 cameraman圖像的加密結(jié)果

圖11 pepper圖像的加密結(jié)果

的加密效果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文算法具有一定的穩(wěn)定性。

4 結(jié)束語

針對(duì)傳統(tǒng)混沌映射加密算法密鑰空間小，安全性低等不足，為了獲得更加理想的圖像加密效果，提出了一種改進(jìn)混沌映射的圖像加密算法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)測(cè)試了算法的性能，仿真結(jié)果表明，本文算法的加密圖像灰度分布均衡，密文對(duì)明文與密鑰高度敏感，并且具有較高的穩(wěn)定性、安全性和加密效率，在信息安全領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。

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