郭祖華，徐立新，張 曉

（1.河南機電高等?？茖W校 計算機科學與技術系，河南 新鄉(xiāng)453003；2.西北工業(yè)大學 計算機學院，陜西 西安710072）

0 引 言

數(shù)字圖像加密的基本方法有像素置亂和像素替換兩大類，實際應用中，通常將以上兩種方式結合進行加密處理，研究人員在該領域已經(jīng)取得了許多成果［1－4］。近年來，超混沌系統(tǒng)作為數(shù)字信息加密中的一種新的加密技術，為數(shù)字信息加密提供了一種全新、有效的保護手段，在信息安全領域中得到了極其廣泛的應用。

超混沌系統(tǒng)具有以下優(yōu)點：有兩個或兩個以上正的Lyapunov指數(shù)、更加復雜的動力學行為、較大的密鑰空間以及較強的密鑰敏感性等，其產(chǎn)生的混沌序列具有較好的偽隨機性能及不可預測性，因此被其加密的圖像具有很強的抗各種攻擊能力，非常適合加密系統(tǒng)的要求。

許多研究提出了將超混沌系統(tǒng)運用到數(shù)字圖像的加密中，以提高信息的安全性［5－7］。其中，孫勁光等提出了一種改進的基于混沌分塊圖像加密算法［8］，該算法通過對外部密鑰分組生成Logistic映射初始條件迭代生成混沌序列，并用矩形灰度圖像進行加密，有效地增強了密鑰的敏感性能，該算法較二維混沌圖像加密具有更高的置亂度，并且能夠有效地抵抗各種攻擊；周霖等利用混沌映射的隨機性和敏感性以及優(yōu)秀的混疊特性提出一種基于雙重混沌映射的圖像加密算法［9］，用貓映射對圖像進行置亂，用Henon映射來進行圖像的擴散處理，該方法具有較大的密鑰空間、加密速度快以及較強的抗攻擊性能等特點；張豐博等利用三角混沌映射產(chǎn)生混沌序列，并將其量化為離散二值序列，然后將三角混沌作為密鑰，用于改進的擬Feistel結構加密算法［10］，該算法加密后圖像相鄰像素具有良好的空間隨機特性。

但當前利用超混沌系統(tǒng)對圖像進行加密算法的研究中，都只是利用混沌系統(tǒng)做簡單的置亂和擴散處理，加密系統(tǒng)的復雜性相對較低，密鑰空間相對較小，無法保證圖像在存儲與傳輸過程中不被攻擊，因此，有待進一步改進思路和方法以提高加密圖像的安全性。

為此，本文提出一種基于并行子圖像和超混沌系統(tǒng)相結合的圖像加密算法來克服上述不足，仿真實驗結果表明，該算法具有安全性高、密鑰空間大、密鑰敏感性強、抗攻擊能力好等顯著優(yōu)點。

1 圖像的分離和置亂

1.1 原始圖像分離成子圖像

為了提高加密系統(tǒng)的復雜性和抵抗攻擊能力，本文首先將原始圖像分離成9個子圖像，然后將9個子圖像進行置亂，重新排列成新的圖像。其加密步驟如下：

步驟1 假定原始圖像的大小為M×N ，并將圖像分割成9個等大的塊狀子圖像。

步驟2 根據(jù)Logistic映射模型，迭代計算得到的偽隨機序列置亂這9個子圖像，重復對Logistic映射進行迭代和執(zhí)行式 （2）操作，來獲得9個介于 ［1，9］的不同整數(shù)值序列rand （xi）。

logistic映射模型如下

給定初始值x0，迭代N0次，獲得一個新的值xn；將xn代入式 （2）中，來獲得一個介于 ［1，9］的整數(shù)值。式（2）如下

式中：rand——偽隨機值，mod x，（ ）y ——x對y取余。步驟3 然后將這一隨機序列用來對9個子圖像進行置亂重排處理。原始圖像的分離和置亂的過程如圖1所示。

1.2 圖像的位置置亂矩陣

圖1 原始圖像的分離和置亂過程

為了混亂圖像像素值的位置，以便消除明文圖像中相鄰像素值之間的自相關性，本文采用行、列替換來對圖像進行位置置亂處理。其步驟如下：

步驟1 假定圖像P 的大小為M ×N ，像素位置矩陣為

其中，pi，j（i＝0，1，2...，M－1，j＝0，1，2，...，N－1 ）表示像素灰度值的位置。

步驟2 給定初始值x0，迭代Logistic映射模型N 次，獲得新的值xn；之后令

顯然l∈［0，M－1］，然后重復對Logistic映射進行迭代和執(zhí)行式 （4）操作，來獲得M 個介于 ［0，M－1］的不同整數(shù)值序列random Xr＝（z1，z2，...zM），其中當i≠j時，zi≠zj。

步驟3 利用序列random Xr對圖像P 做矩陣行變換，變換方式為：將Z1行移動到第1行，Z2行移動到第2行，Z3行移動到第3 行，以此類推，最終將得到一個新的矩陣Pr

同理，再計算出對矩陣Pr進行列變換的序列random Xc＝（w1，w2，...wN）

同樣，l′∈［0，N－1］，利用random Xc對矩陣Pr做列變換，變換后的矩陣為Prc

因此，本文通過像素矩陣的行、列替換來加密，并且算法的復雜性較高，在一定程度上能提高抗攻擊能力。

2 Lorenz及Chen混沌系統(tǒng)

本文采用了混沌Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)來對圖像進行加密，下面將分別介紹這兩種系統(tǒng)。

2.1 Lorenz混沌系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)是經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)［11］，和低維混沌系統(tǒng)相比，其產(chǎn)生的加密混沌序列具有很多優(yōu)點：其結構比低維混沌系統(tǒng)更為復雜，其產(chǎn)生的密鑰空間遠遠大于低維混沌系統(tǒng)，它可采用單變量或多變量組合的加密混沌序列來對圖像進行加密。因此，相對于低維混沌系統(tǒng)，Lorenz系統(tǒng)更適合對數(shù)字信息進行有效的加密。本文采用的Lorenz系統(tǒng)的動力學方程式為

式中：x1、x2、x3——狀態(tài)參量；a、b、c——系統(tǒng)參數(shù)，典型的值為a＝8／3，b＝10，c＝28，當a，b 不變，c＞24.74時，Lorenz系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

2.2 混沌Chen系統(tǒng)

Chen系統(tǒng)和Lorenz系統(tǒng)很相似，但是Chen系統(tǒng)具有更為復雜的拓撲結構和動力學行為［11］。Chen系統(tǒng)的動力學方程式為

式中：x4、x5、x6——狀態(tài)參量；α，β，γ——系統(tǒng)參數(shù)，當α＝35，β＝3，γ＝28時，Chen系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。Chen混沌系統(tǒng)由于具有大的Lyapunov指數(shù)，使它的動力學行為以及相空間變得更加復雜，系統(tǒng)變量多樣化，其圖像加密系統(tǒng)擁有較大的密鑰空間和較強的不可分析性與預測性，有利于對圖像進行加密。

3 本文提出的圖像加密算法

本文提出的加密算法的圖像分離、置亂以及擴散框架，如圖2所示。

圖2 圖像加密算法流程

該算法的思路和主要步驟如下：

步驟1 原始圖像的分離和置亂處理。

（1）假定圖像的大小為M×N ，像素位置矩陣為P。

（2）將原始圖像分離成9個等大的子圖像，利用隨機序列random X 對子圖像進行置亂重排處理，獲得混亂的子圖像Pi（i＝1，2，...，9）。

（3）分別對子圖像Pi進行行、列變換的位置置亂操作，獲得置亂后的子圖像（i＝1，2，...9）。

（1）分別利用Lorenz 系統(tǒng)和Chen 系統(tǒng)進行迭代，Lorenz系統(tǒng)M0次，Chen系統(tǒng)迭代N0（其中M0≠N0）以消除不利的過渡程序對加密系統(tǒng)的影響。

（2）將Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)結合起來，同時對這兩種混沌系統(tǒng)進行迭代，來獲得6組混沌序列x1，x2，x3，x4，x5，x6，并將這些序列按式 （10）進行處理

（3）為了使兩種混沌系統(tǒng)是互相關的，進行如下操作

其中，式 （11）中符合⊕表示異或計算。

（4）將處理得到的序列 （x1，x2，x3，x4，x5，x6）進行排列組合，產(chǎn)生的不同組合狀態(tài)，見表1。

表1 Lorenz混沌序列和Chen混沌序列的不同組合狀態(tài)

（5）計算組合狀態(tài)函數(shù)值

式中：Z——組合狀態(tài)函數(shù)值。顯然，z∈［1，15］，當z 等于表1中的序列號時，將選擇相應的組合狀態(tài)來對圖像進行異或操作。例如當z＝3 時，則選擇 （x1，x2，x4，x6）來對圖像進行異或操作。

（6）根據(jù)步驟 （5）中得到的組合狀態(tài)值來對每個子圖像的灰度值進行異或操作處理。擴散機制如下

式 （13）中，Vi，j表示加密后的灰度值，K 表示為兩種混沌系統(tǒng)的第K－1次迭代，⊕表示異或計算，Pxi表示z對應序列號下的組合狀態(tài)值，V0i，j＝128。

（7）執(zhí)行加密后，回到步驟 （6），重復執(zhí)行該步驟，直到全部子圖像的灰度值完全被加密。再組合所有子密文，輸出密文圖像。

圖像的解密過程是圖像加密的逆過程，由于本文篇幅有限，不作詳述。

某水利樞紐正常運行期近壩區(qū)域流場數(shù)值模擬…………………………………………………王靜靜，王金磊（1.66）

4 仿真實驗及結果分析

4.1 圖像灰度直方圖

下面，借助仿真實驗對本文提出的加密算法的安全性能及有效性進行驗證與分析。輸入一個大小為256×256的明文圖像，迭代次數(shù)為N0次，在MTLAB 軟件平臺上進行仿真實驗。分別給出了原始圖像及相應的直方圖和加密后得到的密文圖像及相應直方圖。仿真結果如圖3 所示。從圖中可以看到，經(jīng)過對子圖像進行分離和置亂處理后，圖像信息得到了充分擾亂，很難從圖中得到原始信息，如圖3 （b）所示，但其灰度直方圖分布和原始圖像一樣，并沒有發(fā)生任何變化，其隨機性以及冗余性較低，很容易被攻擊者獲取圖像相關信息。而經(jīng)過擴散加密后，圖像灰度直方圖產(chǎn)生了顯著地變化，如圖3 （c）所示，與前面的灰度直方圖相比，其灰度表現(xiàn)出均勻狀態(tài)，擁有較高的圖像冗余性與偽隨機性。因此，這一結果表明本文提出的圖像加密算法具有較好加密效果，擴散和混亂特性好，安全性較高。

圖3 本文加密算法的仿真結果

4.2 密鑰空間分析

足夠大的密鑰空間是每個高度安全的加密系統(tǒng)應該具備的。由本文算法描述可知，該算法的密鑰空間包括了初始值x0，x10，x20，x30，x40，x50，x60，以 及 參 數(shù)a，b，c，α，β，γ。本加密算法由3部分進行：Logistic映射對圖像分離，Logistic映射對子圖像進行位置置亂及子圖像的擴散加密。若計算精度為10－15，則3 個密鑰空間依次為：1015、（1015）9＝10135、（1015）12＝10180，因此密鑰總空間為1015×10135×10180＝10330。另外，加之每次循環(huán)過程中的初始值不一樣，使得加密算法的密鑰空間更大，因此，如此巨大的密鑰空間足以抵抗窮舉強力攻擊。

4.3 相鄰兩個像素點的相關性分析

加密后圖像的兩個相鄰像素點的相關性越低，則其安全性越高。本文任意擇取加密前與加密后的圖像中的2000對相鄰像素點。用相關系數(shù)rxy來表征，其計算模型如下

式中：xi和yi——圖像中相鄰的兩個像素點的灰度值，n——選取的相鄰點數(shù)量，E （xi）和E （yi）——數(shù)學期望。

圖4為加密前與加密后圖像的任意兩個相鄰像素點在X 軸方向的相關性測試結果。從圖4 （a）可知，明文圖像的相鄰像素值變?yōu)橐粭l對角線，表明其具有較強的相關性；而經(jīng)過本文提出的圖像加密系統(tǒng)加密后，像素值均勻地布滿了整個灰度平面，如圖4 （b）所示，其相關性顯著降低。

圖4 明文圖像與密文圖像中相鄰像素點的相關性仿真結果

表2是加密前后圖像在對角線、水平、垂直方向的相關性實驗結果。從表2 可以看出，明文圖像具有較高的相關性，水平方向達到0.9428，其值很接近1，因此容易受到統(tǒng)計攻擊，而經(jīng)過本文提出的加密方法之后的密文圖像的水平方向相關性約為0.0022，幾乎接近于零，說明任意兩個相鄰的像素點幾乎不相關，加密效果好。

表2 加密前后的圖像相鄰像素點的相關性

這些數(shù)據(jù)顯示了本文加密算法能夠有效地消除圖像的相關性，使密文具有良好的擴散性及較強的抗統(tǒng)計攻擊能力。

4.4 信息熵

由于圖像像素值有28種可能，因此信息熵達到最大理想值為8。信息熵的計算公式如下

式中：L——像素值，p m（ ）i ——mi出現(xiàn)的概率。經(jīng)過本文加 密 后，通 過 式 （18）計 算 得 到 圖 像 的 （ ）H m ＝7.9987，該值非常接近8，由此表明本文算法在加密過程中基本沒有丟失信息，具有較強的抗熵攻擊性能。

4.5 密鑰敏感性測試分析

高效的加密系統(tǒng)應該具有敏銳的密鑰敏感性。本文測試密鑰參數(shù)x0的敏感性能，將x0增加和減去一個極其微小干擾值δ（10－15）后，變?yōu)椋▁0＋δ）、（x0－δ），其它參數(shù)不變。

圖5是圖像該性能的仿真測試狀況，圖5 （a）是正確解密的密文圖像S；圖5 （b）是 （x0＋δ）密鑰的解密圖S′；圖5 （c）是 （x0－δ）密鑰的解密圖S″。從圖中可以看到，哪怕初值x0發(fā)生極其微小的擾動，所得到的密文是截然不同的。為了使不同密鑰得到的密文之間的差異度數(shù)值化，本文采用密文像素變化率Psx（ ）0 來計算x0的敏感系數(shù)，計算模型如下

式 中：W × H ——圖 像 大 小。S i，（ ）j 、S′i，（ ）j 與S″i，（ ）j ——密文S、S′與S″在坐標 i，（ ）j 處的灰度。如果x 不等于y，則Ns（x ，y） ＝1；反之則為0。通過計算得到Ps（X0）＝99.85%，如圖6所示。

5 結束語

為了增強圖像加密系統(tǒng)的復雜性以及密文圖像混亂程度，以提高加密圖像的抵抗攻擊能力，本文提出了將并行子圖像與超混沌系統(tǒng)相結合的加密算法來對圖像進行有效的加密。將Logistic映射用來對圖像進行分離，以及對子圖像實施位置置亂和像素置亂；然后利用Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)同時迭代來獲得不同序列組合狀態(tài)，并將其用來對每個子圖像進行擴散加密操作。這一加密過程顯著提高了加密系統(tǒng)的復雜程度，兩混沌系統(tǒng)的同時結合，使其產(chǎn)生的混沌序列具有較好的偽隨機性能及不可預測性。對本文算法進行仿真實驗，結果表明本算法的加密質量好，擴散機制高度安全，且擁有較大的密鑰空間。

圖5 密鑰敏感性仿真實驗測試結果

圖6 加密圖像之間的差異度仿真結果

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