黃宏偉，謝正光，蔣小燕，蔡 旭

（南通大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 南通226019）

0 引 言

近幾年一種高效的信號(hào)采集技術(shù)壓縮感知 （compressed sensing，CS）［1］逐漸被人們學(xué)習(xí)了解。它的模式是邊采集邊壓縮，即在數(shù)據(jù)采集過程中就進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s，這樣信號(hào)采集速度能低于奈奎斯特采樣速度，節(jié)省大量資源［2，3］。

壓縮感知測(cè)量過程可以用方程描述為y ＝Φx，其中y是長(zhǎng)度為M 的觀測(cè)信號(hào)，Φ ＝［，…］是測(cè)量矩陣，大小為M×N ，x為K 階稀疏信號(hào)，長(zhǎng)度為N，K ＜M ＜N，這個(gè)過程相當(dāng)于把原始信號(hào)投影到［，…］張成的空間上［4］。

壓縮感知中重構(gòu)算法是核心內(nèi)容，是從測(cè)量矩陣Φ和觀測(cè)信號(hào)y中恢復(fù)原始稀疏信號(hào)x。這個(gè)過程可以當(dāng)作l0最小化問題來求解：x＝argmin x0subject to y＝Φx，理論上，沒有噪聲的前提下，K 階稀疏信號(hào)僅需M ≥2 K 次測(cè)量就可以恢復(fù)。但是l0最小化問題是NP－h(huán)ard問題。Donoho和Candes指出不必求助于l0解稀疏解，而是通過一個(gè)更簡(jiǎn)單的l1最優(yōu)化方法：x ＝argmax x1subject to y ＝Φx，但是要求Φ滿足RIP［5］。雖然線性規(guī)劃方法重構(gòu)效果很好，但是它的高復(fù)雜度限制了其實(shí)際應(yīng)用，這就要求我們?cè)O(shè)計(jì)一種快速的求解方法。

貪婪算法因?yàn)槠漭^低的復(fù)雜度而受到越來越多人的關(guān)注。包括匹配追蹤 （matching pursuit，MP），OMP［6－8］、正則化正交匹配追蹤 （regularized OMP，ROMP）［9］、分段式正交匹配追蹤 （stagewise OMP，StOMP）、壓縮采樣匹配追蹤算法 （compressive sampling matching pursuit，Co－SaMP）［10］、SP［11］等等。這些方法的基本思想是通過相關(guān)性從不相關(guān)的原子中尋找正確的支撐集，每一個(gè)迭代過程都是從原子序列中找出認(rèn)為足夠相關(guān)的原子索引并添加到支撐集中。MP算法每次尋求的是局部的最優(yōu)解，雖然執(zhí)行速度快，但是最終不一定收斂到全局最優(yōu)，所以重構(gòu)精度不是很高。帶有回溯思想的SP算法有兩個(gè)特征，一是當(dāng)信號(hào)非常稀疏時(shí)，SP 算法比OMP 算法計(jì)算復(fù)雜度低；二是SP算法的重構(gòu)精確度與LP 方法相當(dāng)［11］。但是，SP 算法沒有考慮代理信號(hào)和殘差關(guān)系，每次迭代都選擇K 個(gè)原子，這可能導(dǎo)致迭代過程中選擇錯(cuò)誤支撐集數(shù)目增多。經(jīng)典的OMP算法有兩個(gè)缺點(diǎn)：第一是每次選擇的最大相關(guān)原子不一定是正確原子；第二是每次迭代添加的支撐集原子索引都是不會(huì)被移除的，即無(wú)自主糾錯(cuò)能力。針對(duì)OMP這兩個(gè)缺點(diǎn)，我們提出RIPTMP 算法的原子選擇方案。RIPTMP首先根據(jù)RIP和殘差條件一次選出多個(gè)原子，其次算法能夠根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)剔除可能錯(cuò)誤的原子。在該方案下，算法提高了尋找支撐集的精度。

1 RIPTMP算法

1.1 符號(hào)標(biāo)注

首先簡(jiǎn)單說明本文涉及的符號(hào)。supp（x）表示向量x 中非零元素的位置，即向量x 的支撐集。K 表示稀疏度。ΦT表示Φ的轉(zhuǎn)置，T0定義為初始的支撐集，表示初始的殘差，Tl表示第l次迭代得出的支撐集，表示Tl的補(bǔ)集。表示第l次迭代得出的信號(hào)殘差，表示x 對(duì)應(yīng)Tl位置上的元素集合。ΦI表示I 中所有索引對(duì)應(yīng)原子的集合，如果ΦI可逆，那么yp表示y 在ΦI上的投影yp＝＜y，，其中，代表ΦI的偽逆。δK＋1為K＋1階RIP常數(shù)，表示第l次迭代的代理信號(hào)表示代理信號(hào)中的元素，其中＜·＞表示內(nèi)積運(yùn)算，ei為單位矩陣的第i列。

1.2 RIPTMP算法流程

RIPTMP算法在原子選擇上帶有回溯思想，經(jīng)典的SP算法也具有同樣思想。SP算法需要待重構(gòu)稀疏信號(hào)的稀疏度K。算法在每次迭代過程中，原子添加的和刪減的數(shù)量都為K。具體算法見表1。

表1 子空間追蹤算法

SP有兩個(gè)缺點(diǎn)，一方面在原子選擇數(shù)量上沒有考慮殘差變化，每次選取的數(shù)量為固定值K，這就可能導(dǎo)致當(dāng)前選擇多個(gè)錯(cuò)誤的原子，從而引起重構(gòu)精度下降；另一方面算法需要待重構(gòu)稀疏信號(hào)的稀疏度。

RIPTMP算法除了需要測(cè)量矩陣Φ和觀測(cè)信號(hào)y，還需要算法停止參數(shù)ε，支撐集添加閾值E，支撐集保持閾值P，和最大迭代次數(shù)imax。算法具體流程見表2。

表2 基于RIP閾值機(jī)制的匹配追蹤算法

1.3 RIPTMP算法分析

RIPTMP算法中有兩個(gè)參數(shù)，E 和P。下面我們給出這兩個(gè)參數(shù)選擇依據(jù)：

1.3.1 預(yù)備知識(shí)

（1）有限等距性質(zhì) （RIP）定義［11］

如果矩陣Φ ∈RM×N滿足參數(shù)為 （K，δ）的有限等距性質(zhì)，K ≤M ，0≤δ＜1。對(duì)于任意的k 階稀疏信號(hào)x ∈

（2）最大相關(guān)選擇原理

假設(shè)Φ的所有列向量都是完全正交的，即Φ為正交矩陣，那么所求代理信號(hào)系數(shù)＜，y＞中非零值對(duì)應(yīng)的位置就是原信號(hào)的支撐集。但是大部分Φ中列向量都不是完全正交的，（1）說明滿足RIP條件的Φ近似為正交矩陣，這時(shí)候最大相關(guān)系數(shù)對(duì)應(yīng)的位置索引不一定在原信號(hào)支撐集中。但是，正確原子和觀測(cè)信號(hào)的相關(guān)系數(shù)和非正確原子和觀測(cè)信號(hào)的相關(guān)系數(shù)是有界的。因此我們可以根據(jù)相關(guān)系數(shù)的界尋找支撐集。

（3）引理

引理1［9］對(duì)于任意的兩個(gè)正整數(shù)m≤n，有δm≤δn。

引理2［5］設(shè)supp（x），supp（y）｛1，2，…N｝，｜supp（x）｜≤m，｜supp（y）｜≤n，supp（x）∩supp（y）＝，那么｜＜Φx，

引理3 設(shè)向量x∈RN，｜supp（x）｜≤m，那么

1.3.2 E，P參數(shù)估計(jì)

第一次迭代：

假設(shè)矩陣Φ∈RM×N滿足參數(shù)為 （K ＋1，δ）的有限等距性質(zhì)，根據(jù)引理2 有：isupp（x），｜h1（i）｜＝｜＜

同理對(duì)于第l次迭代

結(jié)合第一次迭代和第l次迭代，我們把i∈supp（x）的｜hl（i）｜和jsupp（x）的｜hl（j）｜的界進(jìn)行估計(jì)。即對(duì)于任意jsupp（x），有

通過上面推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)E 和P 的邊界條件經(jīng)過了放縮，E估計(jì)的界是在實(shí)際的界基礎(chǔ)上進(jìn)行了放大，P 估計(jì)的界是在實(shí)際界的基礎(chǔ)上進(jìn)行了縮小，因此在實(shí)驗(yàn)仿真階段可以在估計(jì)出來的界基礎(chǔ)上適當(dāng)?shù)姆趴s。

雖然RIPTMP算法是鑒于SP算法兩個(gè)缺點(diǎn)提出來的，但是它的理論基礎(chǔ)卻來源于OMP 算法。OMP 算法每次迭代只選擇最相關(guān)的原子，同時(shí)選擇的原子不會(huì)被移除，而實(shí)際上，最相關(guān)原子不一定是正確原子，當(dāng)算法引入了錯(cuò)誤原子時(shí)應(yīng)該通過回溯過程進(jìn)行剔除。因此，我們先把所有可能正確的原子都選出來，然后再剔除可能錯(cuò)誤的原子。通過理論分析，添加和刪減原子的數(shù)量和殘差，RIP 常數(shù)密切相關(guān)，所以我們通過殘差和RIP 常數(shù)條件求出相應(yīng)閾值來篩選原子。

2 實(shí)驗(yàn)

為了全面測(cè)試算法重構(gòu)性能，對(duì)一維信號(hào)和二維信號(hào)都進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)。在一維信號(hào)部分，選擇了3種不同類型的稀疏信號(hào)分別為高斯信號(hào)， “0－1”信號(hào)和均勻分布信號(hào)。二維信號(hào)則是標(biāo)準(zhǔn)的Lena，Boat測(cè)試圖像。

2.1 一維信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

令測(cè)量矩陣為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布矩陣，測(cè)量次數(shù)M＝128，信號(hào)長(zhǎng)度N＝256。OMP 和RIPTMP 迭代停止閾值相同，均取ε＝10－6，RIPTMP 的最大迭代次數(shù)imax＝0.5 M，BP算法重構(gòu)通過cvx工具箱實(shí)現(xiàn)。FBP 算法給前長(zhǎng)步長(zhǎng)α＝0.3 M，后退步長(zhǎng)β＝α－1，停止閾值ε＝10－6，最大迭代次數(shù)imax＝0.5 M。實(shí)驗(yàn)中RIPTMP 算法有3種不同的設(shè)置，分別是（E＝0.2，P＝0.7）、（E＝0.1，P＝0.6）、（E＝0.1，P＝0.4）。重構(gòu)成功條件：均方誤差，實(shí)驗(yàn)次數(shù)times取500。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。

2.2 二維信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

為了衡量算法對(duì)稀疏圖像信號(hào)重構(gòu)性能，選擇標(biāo)準(zhǔn)的256×256的Lena，Boat作為測(cè)試圖像。隨機(jī)產(chǎn)生大小為M×N 的測(cè)量矩陣Φ，Φ為歸一化的準(zhǔn)高斯矩陣，對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行小波變換選擇sym6小波基。保留小波變換后系數(shù)矩陣每列最大的q個(gè)小波系數(shù)，其余置零。峰值信噪比計(jì)算

圖1 一維信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

分別用SP，BP，RIPTMP，F(xiàn)BP這4種重構(gòu)算法重構(gòu)圖像信號(hào)，其中SP稀疏度設(shè)置為q，RIPTMP參數(shù)設(shè)置為（E＝0.1，P＝0.6），F(xiàn)BP停止參數(shù)和最大迭代次數(shù)相同。重構(gòu)結(jié)果如圖2所示。

圖2 二維信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

（1）一維信號(hào)重構(gòu)實(shí)驗(yàn)

在圖1 （a）高斯信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)中，E＝0.2，P＝0.7的RIPTMP算法的重構(gòu)誤差比OMP，SP 低，成功重構(gòu)概率明顯高于OMP，SP算法。SP成功重構(gòu)概率從K＝40開始下降，而RIPTMP從K＝43才開始下降。當(dāng)我們把前面推導(dǎo)并估計(jì)出的界E 適當(dāng)收縮到0.1，同時(shí)P 放大到0.6，RIPTMP效果明顯提升。一方面重構(gòu)均方誤差低于包括BP在內(nèi)的其它所有算法，當(dāng)K＝50才由0逐步上升，而且在稀疏度取值區(qū)間［1，2，3...56］內(nèi)都保持較低的值；另一方面成功重構(gòu)概率在相同稀疏度條件下比其它算法都要高，當(dāng)稀疏度達(dá)到52 以上時(shí)，才出現(xiàn)重構(gòu)失敗情況。參數(shù)為（E＝0.1，P＝0.4）的RIPTMP 重構(gòu)情況和參數(shù)為 （E＝0.1，P＝0.6）RIPTMP重構(gòu)情況相當(dāng)。

在圖1 （b）“0－1”信號(hào)實(shí)驗(yàn)中，OMP效果最差，從仿真數(shù)據(jù)可以看出 （為了方便顯示，曲線前面部分經(jīng)過適當(dāng)省略），當(dāng)稀疏度到10左右誤差就開始從0開始上升，而其它算法依然保持0的水平。當(dāng)K 增加到25左右SP算法和參數(shù)為 （E＝0.2，P＝0.7）的RIPTMP 和StOMP 重構(gòu)誤差開始從0增加，到K 增加到28左右，SP和FBP算法誤差開始從0上升。當(dāng)K 增加到31左右參數(shù)為 （E＝0.1，P＝0.4）和 （E＝0.1，P＝0.6）的RIPTMP算法重構(gòu)誤差開始從0上升。對(duì)應(yīng)的重構(gòu)百分，OMP從K＝8處重構(gòu)開始出現(xiàn)失敗。參數(shù)為 （E＝0.2，P＝0.7）和StOMP 算法從K＝28處重構(gòu)開始出現(xiàn)失敗。當(dāng)K 增加到29 時(shí)，F(xiàn)BP和SP出現(xiàn)重構(gòu)失敗情況。當(dāng)K 達(dá)32左右，參數(shù)為 （E＝0.1，P＝0.4）和 （E＝0.1，P＝0.6）的RIPTMP 算法出現(xiàn)重構(gòu)失敗。BP算法重構(gòu)結(jié)果最好。

在圖1 （c）均勻信號(hào)實(shí)驗(yàn)中，RIPTMP 算法重構(gòu)誤差明顯小于OMP，接近BP 算法。參數(shù)為 （E＝0.1，P＝0.4）和 （E＝0.1，P＝0.6）的RIPTMP 算法在稀疏度［1，2，3…52］區(qū)間內(nèi)重構(gòu)的均方誤差和BP 算法相差不大，緊接著是SP算法，參數(shù)為 （E＝0.2，P＝0.7）RIPTMP算法等等。重構(gòu)百分比曲線上可以得出參數(shù)為 （E＝0.1，P＝0.6）和 （E＝0.1，P＝0.4）的RIPTMP 算法在稀疏度達(dá)到46 才開始下降，緊接著是FBP 算法、參數(shù)為（E＝0.2，P＝0.7）RIPTMP算法、SP算法等等。

實(shí)驗(yàn)說明，RIPTMP 算法在一定條件下，相比OMP，StOMP，SP，F(xiàn)BP算法有更高的重構(gòu)精度和重構(gòu)成功概率。雖然E，P參數(shù)推導(dǎo)過程得出相同的閾值條件，但是E＝P≈0.4的閾值條件并不是準(zhǔn)確的。E推導(dǎo)的界比真實(shí)的界大，P推導(dǎo)的界比真實(shí)的界小，因此適當(dāng)改變E，P可以得出精度更高的支撐集估計(jì)效果，實(shí)驗(yàn)部分正好證明了這一點(diǎn)。

（2）二維信號(hào)重構(gòu)實(shí)驗(yàn)

圖2中，我們列出了SP，BP，F(xiàn)BP 和RIPTMP 算法重構(gòu)效果。Lena圖像重構(gòu)實(shí)驗(yàn)中，SP算法重構(gòu)信號(hào)的峰值信噪比為32.3dB，BP為33.4dB，F(xiàn)BP為33.2dB，參數(shù)為 （E＝0.1，P＝0.6）的RIPTMP 為33.4dB。Boat圖像重構(gòu)實(shí)驗(yàn)中，SP 算法重構(gòu)信號(hào)的峰值信噪比為31.7dB，BP為32.0dB，F(xiàn)BP 為31.8dB，參數(shù)為 （E＝0.1，P＝0.6）為32.0dB。可以看出RIPTMP算法的峰值信噪比高于SP算法，當(dāng)E＝0.1，P＝0.6時(shí)，達(dá)到了BP算法水平。FBP 算法峰值信噪比也接近BP 算法，略低于RIPTMP算法。

二維圖像信號(hào)重構(gòu)中，雖然用小波變化對(duì)圖像進(jìn)行稀疏化處理，但是得到的并不是嚴(yán)格的稀疏矩陣。因此我們對(duì)小波變化后的矩陣進(jìn)行了處理，即保留小波變換后系數(shù)矩陣每列最大的q 個(gè)小波系數(shù)，其余置零。因?yàn)闇y(cè)量矩陣的列向量不是完全正交的，所以可能導(dǎo)致數(shù)值較小的小波系數(shù)所在列的索引被當(dāng)成重要的原子來重構(gòu)，而真正大的小波系數(shù)被忽略，這就會(huì)影響重構(gòu)的精度。在信號(hào)重構(gòu)部分，經(jīng)典的SP算法需要稀疏度條件，而圖像稀疏化過程中如果不進(jìn)行特定的處理不能獲取稀疏度的條件，因而不能確定每次迭代選取原子個(gè)數(shù)。RIPTMP 算法是通過最大迭代次數(shù)控制迭代過程，在稀疏度較小的時(shí)候，經(jīng)過很少的迭代就可以找出所有的原子，因此我們并不需要待重構(gòu)稀疏信號(hào)的稀疏度。所以，二維圖像信號(hào)重構(gòu)上RIPTMP 算法比SP算法更加合理。FBP算法雖然不需要稀疏度條件，但是每次更新原子的步長(zhǎng)是不變的，前長(zhǎng)步長(zhǎng)α＝0.3 M ，后退步長(zhǎng)β＝α－1。這種選擇原子同樣沒有考慮信號(hào)殘差的變化因素，且前向步長(zhǎng)的確定條件并沒有給出理論依據(jù)，而RIPTMP 給出原子選擇的依據(jù)，而且仿真效果好于FBP，因此更合理。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于SP算法重構(gòu)精度低，需要已知稀疏度的缺點(diǎn)提出RIPTMP算法。首先算法在尋找支撐集上和SP不同，RIPTMP算法是根據(jù)RIP條件估計(jì)正確支撐集代理信號(hào)的幅值范圍，選出所有滿足的原子，而不是僅僅只選擇代理信號(hào)的最大值對(duì)應(yīng)的原子。其次，算法不需要稀疏度作為算法輸入條件。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在一定條件下RIPTMP 算法重構(gòu)精度高于OMP，SP，F(xiàn)BP 等經(jīng)典算法，達(dá)到了BP算法水平，而且算法不需要待重構(gòu)信號(hào)稀疏度。

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