鮑冬禺，丁德勝

(1．河海大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院，江蘇常州213022;2．東南大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，南京210096)

BAO Dongyu1，DINGDesheng2*

(1．College of Internet of Things(IOT)Engineering，Hohai University，Changzhou Jiangsu 213022，China;2．School of Electronic Science and Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China)

聲波和電磁波的一些輻射或衍射問(wèn)題可歸結(jié)于菲涅爾(Fresnel)場(chǎng)積分(可看作Rayleigh-Sommerfeld積分的一種近似)的求解。例如，超聲換能器輻射聲場(chǎng);激光束經(jīng)過(guò)光闌或孔徑后的光場(chǎng)分布。然而，在大多數(shù)情況下，這一公式是一個(gè)二維的、強(qiáng)烈振蕩的積分，沒(méi)有解析形式的解。聲場(chǎng)分布通常只能用數(shù)值積分或級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)計(jì)算，計(jì)算十分復(fù)雜。

高斯束(一般也稱基函數(shù)或高斯函數(shù))展開(kāi)方法已廣泛應(yīng)用于快速計(jì)算菲涅爾場(chǎng)積分，即聲場(chǎng)分布的計(jì)算。這種方法的實(shí)質(zhì)是將菲涅爾場(chǎng)積分展開(kāi)為一系列簡(jiǎn)單的基本函數(shù)的疊加，因而復(fù)雜的振蕩積分簡(jiǎn)化為一些簡(jiǎn)單函數(shù)(如 Gaussian-Laguerre、Guassian-Hermite、高斯函數(shù)等)且項(xiàng)數(shù)不多的計(jì)算［1－5］，計(jì)算量大為降低［1－27］。有關(guān)這一方法的詳細(xì)論述可以參考綜述文獻(xiàn)［27］。

在無(wú)損檢測(cè)、醫(yī)學(xué)診斷等超聲應(yīng)用中，超聲相控陣或相控陣(線陣或面陣)的單元所輻射的聲場(chǎng)往往可以用帶無(wú)限大障板的矩形活塞聲場(chǎng)來(lái)近似描述或模擬［28－31］。許多情況下，需要詳細(xì)計(jì)算媒質(zhì)中聲壓分布，以了解相控陣或超聲換能器的性能，如聲束的指向性、主瓣束寬等。與圓形活塞聲場(chǎng)［32］的研究相比，矩形換能器聲場(chǎng)的研究結(jié)果相對(duì)要少一點(diǎn)。

我們給出高斯函數(shù)展開(kāi)法的一系列推廣［33－35］。文獻(xiàn)［35］中以圓形或矩形函數(shù)的高斯函數(shù)近似展開(kāi)作為已知的結(jié)果，通過(guò)傅里葉或貝塞爾變換，可以將余弦函數(shù)表示成高斯函數(shù)的疊加。從而菲涅爾場(chǎng)積分可以簡(jiǎn)化成一系列簡(jiǎn)單的代數(shù)函數(shù)的求和。本文將應(yīng)用這一方法，計(jì)算邊緣簡(jiǎn)單支撐(Simply-Supported)的矩形活塞換能器聲場(chǎng)分布。與復(fù)雜的解析解計(jì)算結(jié)果相比，我們的方法給出了十分一致的

1 菲涅爾場(chǎng)積分

假定時(shí)諧振動(dòng)的聲源或超聲換能器位于直角坐標(biāo)系z(mì)=0平面上，用u(x'，y')代表聲源表面法向振動(dòng)速度或聲壓分布，且假設(shè)帶有無(wú)限大剛性障板，則其他區(qū)域的分布可規(guī)定為零。

在菲涅爾近似或旁軸近似下，歸一化的聲壓分布可表達(dá)為菲涅爾場(chǎng)積分:

式中，λ表示波長(zhǎng)，傳播因子exp［－i(ωt－kz)］已省略［10－11，30］。采用無(wú)量綱變量

S與聲源的面積大小有關(guān)，可將方程(1)寫成結(jié)果。本文的方法是文獻(xiàn)［33－35］研究結(jié)果的一種直接推廣，作為我們一系列研究報(bào)告的一部分。

我們假定一矩形超聲換能器的中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，源分布可表示為

記號(hào)a、b為換能器的半長(zhǎng)度和半寬度。進(jìn)一步假定源函數(shù) u(x'，y')是可分離的，即可以寫成［30］u(x'，y')=u1(x')u2(y')，且有關(guān)系 u1(x')=u1(－x')和u2(y')=u2(－y')，即所謂的對(duì)稱矩形聲源［30］?，F(xiàn)在采用無(wú)量綱變量(2)且令S=ab(矩形面積的1/4)，則這類對(duì)稱矩形聲源的分布函數(shù)可以寫成

由式(3)，矩形換能器聲場(chǎng)可表示為

上面的積分具有相同的形式。方括號(hào)中的項(xiàng)記為X，必要時(shí)，可以加上另外一些記號(hào)以示分別。很顯然，X實(shí)際上代表一維聲源輻射的聲場(chǎng)分布，例如，(無(wú)限長(zhǎng)的)長(zhǎng)條形聲源。其中δ=b/a為矩形換能器的半寬度與半長(zhǎng)度之比。另外，矩形函數(shù)(Rectangle functions)定義為

2 高斯束展開(kāi)

這里簡(jiǎn)要介紹 Wen和 Breazeale經(jīng)典工作［4－5］。他們?cè)瓉?lái)的研究中，給出了圓形軸對(duì)稱聲場(chǎng)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法。其中關(guān)鍵步驟是將源函數(shù)(只含一個(gè)變量，即徑向坐標(biāo))展開(kāi)成項(xiàng)數(shù)很少的高斯函數(shù)之和。Wen和Breazeale的一個(gè)特別重要的結(jié)果是對(duì)均勻圓形活塞聲場(chǎng)進(jìn)行高斯束展開(kāi)。數(shù)學(xué)上，這一結(jié)果意味著圓形函數(shù)(Circle functions)

可以近似分解成一系列高斯函數(shù)之和，即

其中的展開(kāi)系數(shù)Ak、Bk可以通過(guò)最優(yōu)化或其他方法得出。已發(fā)表的4 組數(shù)據(jù)Ak、Bk見(jiàn)文獻(xiàn)［4 －5，19，26］，文獻(xiàn)［22］也列出了文獻(xiàn)［5］的數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)的精度和應(yīng)用已為許多例子而證實(shí)［4－5，7－20，22－23，26，33－34］。很顯然，上面的矩形函數(shù)(7)可以用相同的系數(shù)來(lái)表示

以下我們把近似展開(kāi)式(9)、式(10)作為已知結(jié)果，并應(yīng)用于矩形換能器聲場(chǎng)分布的簡(jiǎn)化計(jì)算。

在文獻(xiàn)中［35］，我們通過(guò)對(duì)式(9)和式(10)進(jìn)行傅里葉或貝塞爾變換，得到余弦函數(shù)的一個(gè)高斯函數(shù)展開(kāi)

式中額外的一項(xiàng)－1/2是人為加上去的。若不加上這一項(xiàng)，已發(fā)表的4組數(shù)據(jù)［4－5，19，26］無(wú)一能較準(zhǔn)確擬合余弦函數(shù)。加上了這一項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)采用用文獻(xiàn)［26］中表1所列的數(shù)據(jù)，在區(qū)間0～25上可以擬合得很好。為什么出現(xiàn)這一怪異情況，我們也不知道。

3 方法和結(jié)果

在對(duì)稱矩形聲源情形下，源函數(shù)u1和u2是偶數(shù)次冪多項(xiàng)式(或偶函數(shù)，如余弦函數(shù))。例如u1(ξ')=1 代表均勻的活塞聲源;u1(ξ')=1 － δξ'2表示在邊緣ξ'=±δ－1/2處簡(jiǎn)單支撐的活塞聲源，等等。將式(10)和式(11)一起代入式(6)，可得聲場(chǎng)展開(kāi)函數(shù)［20，33，35－36］G2n或 G(ν)，下標(biāo) 2n=2ν+1。

例外情形 bN+1，j=B'j－i/η，只須令表達(dá)式中的第一項(xiàng)等于0，即1/BN+1→0或ξ=0即可。

現(xiàn)在我們應(yīng)用本文的方法研究幾種典型的矩形換能器聲場(chǎng)分布，并與解析公式比較。均勻矩形活塞的結(jié)果已有許多文獻(xiàn)給出［28－30］。這里給出一些更為復(fù)雜的例子，以說(shuō)明我們方法的優(yōu)越性。

第一個(gè)例子是邊緣簡(jiǎn)單支撐SS(Simply-Supported)活塞聲源的聲場(chǎng)分布。一些實(shí)際應(yīng)用的場(chǎng)合下，超聲換能器和相控陣單元所輻射的聲場(chǎng)可能更加接近這一情形［1－2，31－32］。但計(jì)算分析很少，這也是我們舉這個(gè)例子的一個(gè)原因。其聲源分布函數(shù)［32］:

聲場(chǎng)展開(kāi)函數(shù)可以直接寫成:

式(6)中的X為

對(duì)應(yīng)于 X1(ξ，η)，Bj'= δBj;而在 X2(ζ，η)中，相應(yīng)的 Bj'=δ－1Bj，式(14)或式(15)中的 δ改成 δ－1，變量ξ變成ζ。歸一化的聲壓分布則可由式(16)來(lái)計(jì)算。

如同均勻矩形活塞情形，簡(jiǎn)單支撐矩形活塞聲場(chǎng)分布在菲涅爾近似下也有解析解。經(jīng)過(guò)十分繁瑣的推導(dǎo)可得

其中F(z)=C(z)+i S(z)為復(fù)數(shù)菲涅爾函數(shù)(一種在衍射理論中十分重要的特殊函數(shù))這里只寫出了沿ξ或x方向的聲場(chǎng)分布，沿ζ或y方向的分布 X2(ζ，η)，只須用 δ－1、Δ－1、ζ代替式(17)中相應(yīng)的 δ、Δ 和 ξ。

現(xiàn)在，我們用2種方法來(lái)計(jì)算簡(jiǎn)單支撐矩形活塞聲場(chǎng)。圖1為軸上歸一化聲強(qiáng)分布。確切地講，應(yīng)當(dāng)稱之為歸一化聲壓幅度的平方分布，即式(1)或式(3)中的|u(0，0;η)|2?？梢?jiàn)，現(xiàn)在方法所得結(jié)果與直接根據(jù)計(jì)算解析方法所得結(jié)果相當(dāng)一致。

圖1 簡(jiǎn)單支撐矩形活塞換能器沿軸上的聲場(chǎng)分布

圖2為不同截面上沿橫向方向的聲壓幅度分布。圖2也畫出了根據(jù)解析公式(17)的計(jì)算結(jié)果。除了極靠近聲源的近場(chǎng)區(qū)域η≤0．1z0，有一些差異。2種方法所得結(jié)果符合很好。

圖2 不同軸向距離的橫向聲場(chǎng)分布(在x－z平面內(nèi))

有關(guān)本文方法優(yōu)點(diǎn)的詳細(xì)說(shuō)明和討論參見(jiàn)文獻(xiàn)［20，27，33，35］。這里我們指出該方法的另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)——形式化。換句話說(shuō)，若源函數(shù)的形式已知，即可寫出場(chǎng)展開(kāi)函數(shù)的形式。例如，四邊鉗定(clamped at the edges)的矩形活塞聲源函數(shù)

其中u1即

立即可以寫出它的場(chǎng)展開(kāi)函數(shù)

實(shí)際上，場(chǎng)展開(kāi)函數(shù)中G的下標(biāo)與源函數(shù)中的冪次是一一對(duì)應(yīng)的。邊緣鉗定矩形活塞聲場(chǎng)的解析解也可以用類似于(17)的、但更加復(fù)雜的公式來(lái)表示。這里我們就不給出2種方法所得結(jié)果的比較了。

4 結(jié)語(yǔ)

我們給出了高斯函數(shù)展開(kāi)法的一種推廣。將圓形函數(shù)或矩形函數(shù)的的高斯展開(kāi)作為已知結(jié)果，通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換，余弦函數(shù)可表示成高斯函數(shù)的疊加，因而菲涅爾場(chǎng)積分可以簡(jiǎn)化成一系列簡(jiǎn)單的代數(shù)函數(shù)的求和。我們利用這一方法，計(jì)算了簡(jiǎn)單支撐矩形活塞超聲換能器聲場(chǎng)分布。與直接計(jì)算特殊函數(shù)值相比，現(xiàn)在的方法給出了十分一致的結(jié)果。

最后我們指出，菲涅爾場(chǎng)積分表達(dá)式(1)出現(xiàn)在光學(xué)、電磁場(chǎng)傳播(涉及波的衍射或傳播問(wèn)題)等物理和工程應(yīng)用中。本文的方法或改進(jìn)的方法依然可以用來(lái)處理這些問(wèn)題。

［1］ Cook B D，Arnoult W JⅢ．Gaussian-Laguerre/Hermite Formulation for the Nearfield of an Ultrasonic Transducer［J］．J Acoust Soc Amer，1976，59:9．

［2］ Cavanagh E，Cook B D．Gaussian-Laguerre Description of Ultrasonic Fields-Numerical Example:Circular Piston［J］．JAcoust Soc Amer，1980，67:1136．

［3］ Thompson R B，Gray T A，J，et al．The Radiation of Elliptical and Bicylindrically Focused Piston Transducers［J］．J Acoust Soc A-mer，1987，82:1818．

［4］ Wen J J，Breazeale M A．A Diffraction Beam Field Expressed as the Superposition of Gaussian Beams［J］．J Acoust Soc Amer，1988，83:1752．

［5］ Wen J J，Breazeale M A．Computer Optimization of the Gaussian Beam Description of an Ultrasonic Field［M］．Computational Acoustics;Scattering，Gaussian Beams and Aeroacoustics，Vol.2，edited by Lee D，Cakmak A，Vichnevetsky R(Elsevier Science，North Holland，1990):181 －196．

［6］ 丁德勝，林靖波，水永安，等．活塞式超聲換能器聲場(chǎng)的一種解析描述［J］．聲學(xué)學(xué)報(bào)，1993，18:249．

［7］ 丁德勝，陸祖宏．活塞類聲場(chǎng)的簡(jiǎn)化算法［J］．聲學(xué)學(xué)報(bào)(增刊)，1996，21:421．

［8］ Ding D S，Liu X J．Approximate Description for Bessel，Bessel-Gauss and Gaussian Beams with Finite Aperture［J］．JOpt Soc A-mer，1999，A 16:1286．

［9］ Spies M．Transducer Field Modeling in Anisotropic Media by Superposition of Gaussian Base Function［J］．J Acoust Soc Amer，1999，105:633．

［10］ Zhang Y，Liu JQ，Ding D S．Sound Field Calculations of Elliptical Pistons by the Superposition of Two-Dimensional Gaussian Beams［J］．Chin Phys Lett，2002，19:1825．

［11］ Ding D S，Zhang Y，Liu J S．Some Extensions of the Gaussian Beam Expansion:Radiation Fields of the Rectangular and the Elliptical Transducer［J］．J Acoust Soc Amer，2003，113:3043．

［12］ Ding D S，Zhang Y．Notes on the Gaussian Beam Expansion［J］．J Acoust Soc Amer，2004，116:1401．

［13］ Ding D S，Xu JY．The Gaussian Beam Expansion Applied to Fresnel Field Integrals［J］．IEEE Trans UFF，2006，53:246．

［14］ Ding D S，Shui Y A，Lin JB，et al．A Simple Calculation Approach for the Second Harmonic Sound Field Generated by an Arbitrary Axial-Symmetric Source［J］．J Acoust Soc Amer，1996，100:727．

［15］ Ding D S，Lu Z H．A Simplified Calculation for the Second-Order Fields Generated by Axial-Symmetric Sources at Bifrequency［C］//Proc of the 14th Inter Symp on Nonlin Acoust．edited by R.J.Wei，1996:183．

［16］ Ding D S．A Simplified Algorithm for the Second-Order Sound Fields［J］．J Acoust Soc Amer，2000，108:2759．

［17］ Ding D S，Zhang Y．A Simple Calculation Approach for the Second-Harmonic Sound Beam Generated by an Arbitrary Distribution Source［J］．Chin Phys Lett，2004，21:503．

［18］ Ding D S．A Simplified Algorithm for Second-Order Sound Beams with Arbitrary Source Distribution and Geometry(L)［J］．JAcoust Soc Amer，2004，115:35．

［19］ Kim H J，Schmerr L W，Sedov A．Generation of the Basis Sets for Multi-Gaussian Ultrasonic Beam Models—An Overview ［J］．JAcoust Soc Amer，2006，119:1971．

［20］ Ding D S，Tong X J，He PZ．Supplementary Notes on the Gaussian Beam Expansion［J］．J Acoust Soc Am，2005，118:608．

［21］ Prange M D，Shenoy R G．A Fast Gaussian Beam Description of Ultrasonic Fields Based on Prony’s Method［J］．Ultrasonics，1996，34:117－119．

［22］ Huang D，Breazeale M A．A Gaussian Finite-Element Method for Description of Sound Diffraction［J］．JAcoust Soc Am，1999，106:1771－1781．

［23］ Sha K，Yang J，Gan W．A Complex Virtual Source Approach for Calculating the Diffraction Beam Field Generated by a Rectangular Planar Source［J］．IEEE Trans Ultrason，F(xiàn)erroelec，F(xiàn)req Contr，2003，50:890 －897．

［24］ Matar O B，Rernenieras J P，Bruneel C，et al．Patat:Ultrasonic Sensing of Vibrations［J］．Ultrasonics，1998，36:391 －396．

［25］ Fox P D，Cheng J，Lu J Y．Fourier-Bessel Field Calculation and Tuning of a CW Annular Array［J］．IEEE Trans Ultrason，F(xiàn)erroelec，F(xiàn)req Contr，2000，49:1179 －1190．

［26］ Liu W，Yang J．A Simple and Accurate Method for Calculating the Gaussian Beam Expansion Coefficients［J］．Chin Phys Lett，2010，27:124301

［27］丁德勝，劉曉峻，黃錦煌．高斯束展開(kāi)法在計(jì)算菲涅爾場(chǎng)積分中的應(yīng)用［M］//中國(guó)聲學(xué)進(jìn)展．程建春，田靜．北京:科學(xué)出版社，2008:55－68．

［28］ Freedman A．Sound Field of a Rectangular Piston［J］．J Acoust Soc Am，1960，32:197 －201．

［29］ Marini J，Rivenez J．Acoustical Fields from Rectangular Ultrasonic Transducers for Nondestructive Testing and Medical Diagnosis［J］．Ultrasonics，1974，12:251 －256．

［30］ Mast T D．Fresnel Approximations for Acoustic Fields of Rectangularly Symmetric Sources［J］．JAcoust Soc Am，2007，126:3311－3322．

［31］ Duxbury D J，Russell JD，Lowe M JS．Accurate Two-Dimensional Modeling of Piezo-Composite Array Transducer Elements［J］．NDT＆E International，2013，56:17 －27．

［32］ Greenspan M．Piston Radiator:Some Extensions of the Theory［J］．J Acoust Soc Am，1979，65:608 －621．

［33］ Dai Yurong，Ding Desheng．Further Notes on the Gaussian Beam Expansion［J］．Chinese Physics Letters，2012，29:024301．

［34］章力軍，丁德勝．高斯束展開(kāi)法的注記:指向性和輻射阻抗的簡(jiǎn)化計(jì)算［J］．電子器件，2013，36(6):789－792．

［35］ Ding D，Lu H，Shen C．A Novel Algorithm for the Sound Field of Elliptically Shaped Transducers［J］．Chin Phys Lett，2014，31:64301．