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        妙用冪的“逆運(yùn)算”

        2015-12-22 09:25:59胡軍
        初中生天地 2015年32期
        關(guān)鍵詞:分析

        □胡軍

        妙用冪的“逆運(yùn)算”

        □胡軍

        同學(xué)們都知道,冪的乘法運(yùn)算包括同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方,其運(yùn)算法則的表達(dá)式分別為:am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn(m、n為正整數(shù)).在解題過程中,根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征,巧妙地逆用這幾個(gè)法則,??梢曰睘楹?,化難為易,使很多棘手的問題迎刃而解.

        一、逆用法則化簡求值

        例1計(jì)算:

        分析:由于與正好互為倒數(shù),其乘積為1.故先逆用同底數(shù)冪的乘法法則,將

        逆用積的乘方即可.

        例2已知a2n=2,求(2a3n)2-3(a2)2n的值.

        分析:顯然,由條件直接求出a是不可能的.我們不妨先對(duì)求值式進(jìn)行冪的“正運(yùn)算”,然后逆用冪的乘方法則,使之出現(xiàn)a2n,再整體代入即可.

        解:(2a3n)2-3(a2)2n

        =4a6n-3a4n

        =4(a2n)3-3(a2n)2.

        ∵a2n=2,

        ∴(2a3n)2-3(a2)2n

        =4×23-3×22

        =32-12

        =20.

        二、逆用法則確定個(gè)位數(shù)字

        例3試確定52014×72015的個(gè)位數(shù)字.

        分析:本例若通過直接運(yùn)算來求乘積的個(gè)位數(shù),顯然不可取,而逆用同底數(shù)冪的乘法及積的乘方法則,可使問題巧妙獲解.

        解:52014×72015

        =52014×72014×7

        =(5×7)2014×7

        =352014×7.

        因?yàn)閭€(gè)位數(shù)字為5的數(shù)的任何次冪的個(gè)位數(shù)字仍是5,再與7相乘,其乘積的個(gè)位數(shù)字還是5,所以最后結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為5.

        三、逆用法則比較大小

        例4試比較255、344、433的大小.

        分析:這三個(gè)冪運(yùn)算后的數(shù)字都非常大,直接計(jì)算相當(dāng)困難,考慮到三個(gè)算式的指數(shù)都與11有關(guān),所以可逆用冪的乘方法則,把它們化為同指數(shù)的冪,然后比較底數(shù)的大小即可.

        解:(1)∵255=(25)11,

        344=(34)11,433=(43)11,

        ∵25=32,34=81,43=64,

        又∵32<64<81,

        即25<43<34,

        ∴255<433<344.

        四、逆用法則說理論證

        例5試說明353-333是10的整數(shù)倍.

        分析:要說明353-333是10的倍數(shù),只要說明353-333能被10整除,即說明353-333的個(gè)位數(shù)字是0即可.由353-333的數(shù)字的特點(diǎn)可逆用冪的乘方法則,分別求出353和333的個(gè)位數(shù)字,再說明其差的個(gè)位數(shù)字為0.

        證明:∵353=(34)13×3

        =8113×3,

        其個(gè)位上的數(shù)字為3,

        333=(34)8×3=818×3,

        其個(gè)位上的數(shù)字也是3.

        ∴353-333的個(gè)位上的數(shù)字是0,即353-333是10的整數(shù)倍.

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