王志剛，尚旭東

（南京師范大學(xué)泰州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，江蘇 泰州225300）

0 引 言

人工蜂群 （artificial bee colony，ABC）算法［1－4］作為一種隨機(jī)優(yōu)化算法，同其它一些隨機(jī)優(yōu)化算法一樣，其本身存在一些缺陷，如收斂速度較慢、求解復(fù)雜多峰函數(shù)時(shí)容易陷入局部最優(yōu)。為此，專家們分別從不同方面提出了相應(yīng)的策略來(lái)改善算法的性能［5－11］。文獻(xiàn) ［5］在ABC算法中利用混沌運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性和遍歷性來(lái)提高算法的全局搜索能力；文獻(xiàn) ［6］通過引入Rosenbrock旋轉(zhuǎn)方向的辦法對(duì)引領(lǐng)蜂的搜索策略進(jìn)行改進(jìn)，提高了算法的收斂速度；文獻(xiàn)［7］受粒子群算法的啟發(fā)，給出一個(gè)新的搜索算子來(lái)加快算法的收斂速度；文獻(xiàn) ［8］提出一種雙種群差分蜂群算法，將種群中的個(gè)體隨機(jī)分成兩組，每組采用不同的優(yōu)化策略同時(shí)進(jìn)行尋優(yōu)；文獻(xiàn) ［9］通過引入混沌映射提出了帶混沌局部搜索的人工蜂群算法；文獻(xiàn) ［10］采用混沌映射和反向?qū)W習(xí)理論初始化種群，然后引入差分變異搜索機(jī)制和一個(gè)平衡選擇兩種搜索機(jī)制的概率，以提高算法的全局進(jìn)化性能；文獻(xiàn) ［11］在ABC算法的搜索策略中通過引入一個(gè)擾動(dòng)概率參數(shù)和自適應(yīng)尺度因子來(lái)對(duì)ABC 算法進(jìn)行改進(jìn)，這些改進(jìn)算法都在一定程度上改善了ABC 算法的性能，但仍存在易陷入局部最優(yōu)的不足。

在前人研究的基礎(chǔ)上，本文提出一種基于隨機(jī)搜索策略的人工蜂群算法。算法在蜂群搜索過程中借鑒差分進(jìn)化算法的交叉操作，并采用隨機(jī)選擇的方式來(lái)進(jìn)行搜索，同時(shí)在搜索過程中加入一定的擾動(dòng)來(lái)增強(qiáng)種群的多樣性?；?個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的仿真結(jié)果表明，與ABC 算法和其它一些改進(jìn)的ABC算法相比，該算法尋優(yōu)精度高、收斂速度快、魯棒性強(qiáng)。

1 人工蜂群算法

ABC算法中，人工蜂群包含引領(lǐng)蜂、跟隨蜂和偵察蜂3個(gè)部分。人工蜂群算法在求解優(yōu)化問題時(shí)，食物源代表優(yōu)化問題的一個(gè)可能解，蜂群采蜜 （食物源）的過程也就是搜尋優(yōu)化問題最優(yōu)解的過程。食物源的優(yōu)劣取決于優(yōu)化問題的適應(yīng)值 （函數(shù)值），適應(yīng)值高的食物源較優(yōu)。人工蜂群算法中解的個(gè)數(shù) （SN ）等于引領(lǐng)蜂或跟隨蜂的個(gè)數(shù)。用xi＝（xi1，xi2，…，xiD）表示第i個(gè)食物源 （i＝1，2，…，SN，D 為搜索空間的維數(shù)）。人工蜂群搜索食物源的過程如下：①引領(lǐng)蜂對(duì)當(dāng)前食物源進(jìn)行鄰域搜索，產(chǎn)生候選食物源，并通過貪婪選擇較優(yōu)的食物源；②跟隨蜂根據(jù)引領(lǐng)蜂分享的信息選擇一個(gè)食物源，進(jìn)行鄰域搜索產(chǎn)生候選食物源，并通過貪婪選擇較優(yōu)的食物源；③引領(lǐng)蜂放棄食物源，變?yōu)閭刹旆?，并隨機(jī)搜索新的食物源。

引領(lǐng)蜂和跟隨蜂根據(jù)下式在食物源的鄰域生成一個(gè)候選食物源

式中：vij——生 成 的 候 選 食 物 源，k ∈｛1，2，…，SN｝，j ∈｛1，2，…，D｝，這兩個(gè)數(shù)都是隨機(jī)選取的，但k≠i，rij是［－1，1］上均勻分布的隨機(jī)數(shù)。式 （1）稱為ABC 算法的搜索策略。

跟隨蜂通過如下概率來(lái)選擇食物源

式中：fiti——第i個(gè)食物源的適應(yīng)值。在最小化問題中，fiti與優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)值fi的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

在ABC算法中，如果連續(xù)經(jīng)過limit 次循環(huán)之后食物源仍然沒有得到更新，則引領(lǐng)蜂就放棄食物源，轉(zhuǎn)變?yōu)閭刹旆洌聪率诫S機(jī)產(chǎn)生一個(gè)新的食物源

2 基于隨機(jī)搜索策略的人工蜂群算法

在式 （1）中，由于rij是［－1，1］上均勻分布的隨機(jī)數(shù)且xkj為隨機(jī)選取的種群中的個(gè)體的一個(gè)分量，使得該搜索策略具有較好的全局搜索能力，但卻忽略了算法的局部搜索能力，使算法的收斂速度較慢［7］。為此，文獻(xiàn) ［7］提出了一種新的搜索策略來(lái)對(duì)式 （1）進(jìn)行改進(jìn)

其中，k，j選取與式 （1）相同，ij 是［－1，1］上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，φij 為［0，1.5］之間的隨機(jī)數(shù)，xbest為種群最優(yōu)解。由式 （5）可以看出，由于有最優(yōu)解xbest的引導(dǎo)，上述搜索策略既保證了算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，同時(shí)，在一定程度上也提高了算法的局部搜索能力。為進(jìn)一步提高算法的局部搜索能力，可以將式 （5）變化為

與式 （1）、式 （5）相比，式 （6）由于有種群最優(yōu)解引導(dǎo)種群的搜索軌跡并且僅在最優(yōu)解附近產(chǎn)生新的候選解，從而比式 （1）、式 （5）更能提高算法的局部搜索能力，但容易陷入局部最優(yōu)。

從上面的分析可以看出，式 （1）全局搜索能力較強(qiáng)，但局部搜索能力較弱；而式 （6）局部搜索能力較強(qiáng)，全局搜索能力較弱。眾所周知，全局搜索能力和局部搜索能力對(duì)智能優(yōu)化算法是非常必要的，因此，如何平衡全局搜索能力和局部搜索能力是智能優(yōu)化算法獲得較高性能的關(guān)鍵。在對(duì)式（1）和式（6）兩種搜索策略進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合式（1）全局搜索能力較強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)和式 （6）局部搜索能力較強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，本文采用不確定的隨機(jī)方式來(lái)選擇搜索策略，即

其中，rand 為（0，1）之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，由式 （7）可以看出，上述搜索策略改變了ABC 算法原有搜索策略的固定模式，結(jié)合了式 （1）和式 （6）兩種搜索策略，對(duì)搜索策略進(jìn)行隨機(jī)選擇，增強(qiáng)了算法的大范圍搜索。

同時(shí)，為增加種群多樣性，防止算法陷入局部最優(yōu)，我們對(duì)在搜索過程中進(jìn)行小概率的擾動(dòng)，即當(dāng)隨機(jī)數(shù)滿足一個(gè)小概率時(shí)，則進(jìn)行擾動(dòng)，增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力。擾動(dòng)方式如下

為將隨機(jī)搜索策略和擾動(dòng)操作進(jìn)行有效結(jié)合，我們?cè)O(shè)置一個(gè)參數(shù)DR（發(fā)生擾動(dòng)是小概率事件，因此DR 取值一般要較大，本文取DR ＝0.9995），對(duì)隨機(jī)搜索策略和擾動(dòng)進(jìn)行隨機(jī)選擇，方式如下：

此外，在式 （1）中，引領(lǐng)蜂和跟隨蜂只對(duì)xij作一維鄰域搜索，這導(dǎo)致算法的搜索效率較低，借鑒差分進(jìn)化算法［12］的交叉操作，本文通過引入一個(gè)參數(shù)CR 來(lái)控制引領(lǐng)蜂和跟隨蜂對(duì)xij的搜索維數(shù)，具體方式如下

其中，

式中：rij是［－1，1］上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，rand 和rand1均為 （0，1）之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，rand（1，D）為［1，D］之間的隨機(jī)整數(shù)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的性能，選擇8個(gè)典型的測(cè)試函數(shù)用于仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)ABC 算法、文獻(xiàn) ［7］提出的算法 （記為GABC）、采用式 （6）作為搜索策略的ABC 算法 （記為ABCbest）以及本文算法 （記為ABCRSS）進(jìn)行比較和分析。實(shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)函數(shù)維數(shù)為30時(shí)，4種算法的種群規(guī)模均為SN ＝50，維數(shù)為100時(shí)，種群規(guī)模均為SN ＝100。4種算法中l(wèi)imit ＝100，在ABCRSS 中，對(duì)于f1（x）～f4（x），CR ＝0.9；對(duì)于f5（x）～f8（x），CR ＝0.0005。表1給出了8 個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù) （f1（x）～f4（x）為單峰函數(shù)；f5（x）～f8（x）為多峰函數(shù)）的表達(dá)式、搜索范圍和理論最優(yōu)值。

表1 經(jīng)典測(cè)試函數(shù)

Best、Worst、Mean和Std分別為算法獨(dú)立實(shí)驗(yàn)10次的最優(yōu)值、最差值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。Mean反映了在給定的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)下算法所能達(dá)到的精度，Std反映了算法的穩(wěn)定性和魯棒性。表2為4種算法對(duì)8個(gè)測(cè)試函數(shù)分別獨(dú)立運(yùn)行10次得到的測(cè)試結(jié)果。圖1～圖8分別給出8個(gè)測(cè)試函數(shù)在30維時(shí)的平均適應(yīng)值收斂曲線。

表2 4種算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表2 （續(xù)）

對(duì)于簡(jiǎn)單的單峰函數(shù)f1（x）～f2（x），由表2及圖1和圖2中可知，4種算法的收斂速度都比較快，但本文算法的收斂速度最快，明顯優(yōu)于ABC 算法、GABC 和ABCbest，且計(jì)算精度更高。對(duì)于f3（x），4種算法在進(jìn)化前期收斂速度都很快，在進(jìn)化后期收斂速度明顯減慢，但ABCRSS依然優(yōu)于其它3種算法，且穩(wěn)定性也好于其它3種算法。對(duì)于十分復(fù)雜的非線性函數(shù)f4（x），很多優(yōu)化算法對(duì)此函數(shù)的求解精度都較低，從圖4 中可以看出，ABC 算法、GABC和ABCbest在進(jìn)化后期基本上停止進(jìn)化，而本文算法雖然在進(jìn)化前期收斂速度遜于ABC 算法、GABC 和ABCbest，但在后期卻能持續(xù)進(jìn)化，求解結(jié)果遠(yuǎn)優(yōu)于它們。

圖1 Sphere函數(shù)收斂曲線

圖2 Sum Squares函數(shù)收斂曲線

圖3 Quartic函數(shù)收斂曲線

圖4 Rosenbrock函數(shù)收斂曲線

圖5 Rastrigin函數(shù)收斂曲線

圖6 Griewank函數(shù)收斂曲線

對(duì)于復(fù)雜的非線性多峰函數(shù)，從表2 可以看出，ABCRSS對(duì)于f7（x）的求解結(jié)果不如ABCbest，而對(duì)于其余3個(gè)函數(shù)，ABCRSS的求解結(jié)果都要優(yōu)于ABC 算法、GABC和ABCbest。由于這4個(gè)函數(shù)本身的特性，ABC 算法因?yàn)榫植克阉髂芰^弱從而使得它的收斂速度較慢，導(dǎo)致算法的計(jì)算精度不高，GABC中由于加入了種群最優(yōu)解的引導(dǎo)，在一定程度上可以提高算法的計(jì)算精度和收斂速度，ABCbest雖然具有很快的收斂速度，但當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)卻容易陷入局部最優(yōu) （如函數(shù)f5（x）和f6（x）），而ABCRSS較好地平衡了算法的局部搜索能力和全局搜索能力，同時(shí)通過擾動(dòng)增強(qiáng)了種群的多樣性，使算法能跳出函數(shù)中大量的局部最優(yōu)點(diǎn)陷阱。

圖7 Ackley函數(shù)收斂曲線

圖8 Schwefel’s Problem 2.26函數(shù)收斂曲線

綜上，無(wú)論是單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，ABCRSS 比ABC算法、GABC和ABCbest在收斂精度和收斂速度上均有較為顯著的提高，并且隨著函數(shù)維數(shù)的增加，ABCRSS也保持了較好的有效性和穩(wěn)健性。這表明，本文提出的算法可以有效改善ABC 算法在優(yōu)化高維函數(shù)時(shí)收斂速度慢、容易早熟收斂的缺陷。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)人工蜂群算法容易陷入早熟的缺點(diǎn)，提出一種基于隨機(jī)搜索策略的人工蜂群算法，該算法為提高搜索效率，在搜索過程中借鑒了差分進(jìn)化算法的交叉操作，并采用隨機(jī)選擇的方式來(lái)進(jìn)行搜索以便平衡算法的局部搜索能力和全局搜索能力，同時(shí)在搜索過程中加入一定的擾動(dòng)來(lái)增強(qiáng)種群的多樣性。8個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該算法全局搜索能力好，收斂速度快，計(jì)算精度高。

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