蔡厚平，李明霞

(南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 南通226010)

0 引 言

船舶作為一個(gè)復(fù)雜的龐大系統(tǒng)，涉及到操縱、阻力、耐波、結(jié)構(gòu)、振動(dòng)與噪聲、工藝、材料等多個(gè)方面，這些方面之間存在著相互影響、制約的耦合關(guān)系，使得船舶設(shè)計(jì)是一個(gè)多學(xué)科、多變量、多約束的復(fù)雜工程設(shè)計(jì)問題。傳統(tǒng)的串行設(shè)計(jì)方法由于割裂了學(xué)科間耦合關(guān)系，設(shè)計(jì)的結(jié)果往往失去了全局最優(yōu)性，而陷入局部最優(yōu)。近年來，興起于航空航天領(lǐng)域的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization，MDO)開始被應(yīng)用于船舶優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域。Christopher［1］將粒子群算法與協(xié)同優(yōu)化算法結(jié)合，以年運(yùn)貨量、單位重量運(yùn)輸費(fèi)用、空船質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)完成了雜貨船多學(xué)科概念設(shè)計(jì)。李冬琴等［2］針對(duì)海洋平臺(tái)支援船優(yōu)化設(shè)計(jì)存在的多目標(biāo)、多約束特點(diǎn)，建立了海洋平臺(tái)支援船的多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，并采用協(xié)同優(yōu)化算法，完成了優(yōu)化模型的求解;姜哲等［3］針對(duì)船舶和海洋平臺(tái)設(shè)計(jì)的具體特點(diǎn)，歸納了適合于船舶或海洋平臺(tái)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的MDO算法所需要具備的特征。

然而，上述多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)是在確定性條件下得出的優(yōu)化方案，而忽略了船舶設(shè)計(jì)制造過程中存在著不確定的事實(shí)，這樣出來的優(yōu)化方案存在2 個(gè)缺陷:一是系統(tǒng)性能受設(shè)計(jì)變量波動(dòng)敏感，嚴(yán)重時(shí)導(dǎo)致產(chǎn)品失效，甚至災(zāi)難發(fā)生;二是設(shè)計(jì)方案往往偏于保守，往往以犧牲經(jīng)濟(jì)性為代價(jià)?；诳煽啃缘亩鄬W(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化 (Reliability － Based Multidisciplinary Design Optimization，RBMDO)因而得到了廣泛關(guān)注，DU 等［4］在所提出的RBMDO 策略中，采用了性能測(cè)量法 (Performance Measure Approach，PMA) 與多學(xué)科可行方向法 (Multidisciplinary Feasible ，MDF)結(jié)合的方法進(jìn)行可靠性分析，但復(fù)雜產(chǎn)品的系統(tǒng)分析是一個(gè)迭代過程，需要進(jìn)行大量的單學(xué)科分析，計(jì)算效率低下。孟德彪 等［5］提 出 將 PMA 與 單 學(xué) 科 可 行 方 向 法 (Individual Disciplinary Feasible ，IDF)結(jié)合的方法，但系統(tǒng)級(jí)仍然承擔(dān)整個(gè)可靠性分析任務(wù)，子學(xué)科系統(tǒng)仍然沒有獨(dú)自優(yōu)化能力。

針對(duì)上述問題，本文提出一種基于性能策略法的遺傳協(xié)同優(yōu)化算法的多學(xué)科可靠性分析方法。該方法將PMA 方法與多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化算法結(jié)合進(jìn)行復(fù)雜系統(tǒng)工程可靠性分析。同時(shí)，采用遺傳算法求解系統(tǒng)級(jí)可靠性優(yōu)化問題，克服多學(xué)科協(xié)同優(yōu)化算法中拉格朗日乘子不存在的缺陷。通過散貨船概念設(shè)計(jì)多學(xué)科可靠性分析這一簡(jiǎn)單的工程例子證明了文中提出方法的效率和精度，這個(gè)優(yōu)點(diǎn)在大規(guī)模的復(fù)雜工程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中能夠更好地體現(xiàn)出來。

1 多學(xué)科遺傳－協(xié)同優(yōu)化算法

不失一般性，我們以三學(xué)科的例子來說明多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。如圖1 所示。

圖1 三學(xué)科多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)框架Fig.1 Multidisciplinary design optimization framework with three disciplines

優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表示為:

在上述多學(xué)科系統(tǒng)中，xs為共享變量，是系統(tǒng)級(jí)和學(xué)科級(jí)的輸入設(shè)計(jì)變量;xi為學(xué)科級(jí)各自的輸入變量，y=(y21，y31，y12，y32，y12，y32)為耦合變量，yij為學(xué)科i 的輸出，同時(shí)，也作為學(xué)科j 的輸入;zi為學(xué)科i 的輸出。

協(xié)同優(yōu)化算法將式(1)所述優(yōu)化問題分為兩級(jí):一個(gè)系統(tǒng)級(jí)和并行的多個(gè)子學(xué)科級(jí)同時(shí)通過附加到系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化中的等式約束來保證不同學(xué)科的一致性，一致性等式的值通過學(xué)科級(jí)優(yōu)化得到。如圖2所示，優(yōu)化初期，系統(tǒng)級(jí)向各個(gè)子學(xué)科級(jí)傳遞系統(tǒng)級(jí)共享變量的期望值，各個(gè)子學(xué)科級(jí)在滿足學(xué)科內(nèi)局部約束的條件下，其目標(biāo)函數(shù)即為子學(xué)科間共享變量與系統(tǒng)級(jí)傳遞的期望值的差距最小，子學(xué)科級(jí)優(yōu)化結(jié)束后，將共享變量解返回到系統(tǒng)級(jí)，系統(tǒng)級(jí)在滿足一致性等式約束條件下，優(yōu)化共享變量，以解決各學(xué)科間耦合變量的不一致。通過系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和子學(xué)科級(jí)之間的多次迭代，最終得到滿足一致性約束的最優(yōu)方案。

圖2 協(xié)同優(yōu)化框架Fig.2 Flow chart of CO

協(xié)同優(yōu)化算法中系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的一致性等式約束條件形式是L2 － 范數(shù)形式，其導(dǎo)數(shù)在最優(yōu)解處的Jacobia 矩陣是奇異矩陣將導(dǎo)致系統(tǒng)級(jí)Kuhn －Tucker條件無法滿足，優(yōu)化求解時(shí)采用基于梯度的優(yōu)化方法，常出現(xiàn)無法收斂或收斂陷入局部最優(yōu)的尷尬境地。針對(duì)這種情況，本文采用具有優(yōu)秀全局搜索能力的遺傳算法取代系統(tǒng)級(jí)中基于梯度的優(yōu)化算法，由于遺傳算法并不需要計(jì)算拉格朗日乘子，在一定程度上能保證協(xié)同算法的魯棒性。

2 可靠性分析與多學(xué)科遺傳－協(xié)同優(yōu)化算法的集成

2.1 可靠性分析方法

可靠性分析的任務(wù)其實(shí)就是計(jì)算下面的這樣一個(gè)多元積分:

式中:g(x)為極限狀態(tài)函數(shù);g(x)≤0 為安全模式;X={x1，x2，…，xn}為隨機(jī)設(shè)計(jì)變量;fx(X)為X 的聯(lián)合概率密度函數(shù);R = Prob{g(x)≤0}為極限狀態(tài)函數(shù)可靠性概率。

在復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，fx(X)和g(x)通常具有高維非線性，往往無法通過解析法直接獲得極限狀態(tài)函數(shù)的可靠度。在設(shè)計(jì)問題比較簡(jiǎn)單時(shí)，蒙特卡羅仿真(MCS)方法能夠有效解決上述問題，但當(dāng)工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題規(guī)模增大時(shí)，該方法的計(jì)算成本將呈幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)。一階可靠性方法 (First Order Reliability Method，F(xiàn)ORM)和二階可靠性方法(Second Order Reliability Method，SORM)是解決這類概率積分高效的解析方法。FORM 或SORM 求解上式的共同點(diǎn)是通過求解MPP，MPP 是U 空間中極限狀態(tài)函數(shù)曲線上概率密度函數(shù)值最大的點(diǎn)，即極限狀態(tài)函數(shù)上對(duì)可靠度積分貢獻(xiàn)最大的點(diǎn)，且把從原點(diǎn)到MPP 的距離定義為可靠性指數(shù)β，如圖3所示。

圖3 MPP 點(diǎn)示意圖Fig.3 Schematic diagram of MPP

求解MPP 的步驟如下:

首先，隨機(jī)變量X={x1，x2，…，xn}，通過把隨機(jī)變量由起始空間轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的變量實(shí)現(xiàn)的轉(zhuǎn)換后的叫u 空間，也叫標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間，該空間中的變量服從N ～(0，1)分布。轉(zhuǎn)換后式就變?yōu)槿缦滦问?

然后，采用FORM 或SORM 在MPP 點(diǎn)處展開極限狀態(tài)函數(shù)g(u)。FORM 方法計(jì)算簡(jiǎn)便，且它的計(jì)算精度一般能達(dá)到工程需求，因此本文用FORM 方法來進(jìn)行可靠性分析。

求解MPP 點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型如下:

上式的最優(yōu)解即為MPP 點(diǎn)，β = u*為可靠度指標(biāo)，由此得到可靠度R=φ(β)

然而，式(3)和式(4)是計(jì)算概率約束的值，而在設(shè)計(jì)優(yōu)化中，通常有很多約束不起作用，也就是說它們的概率約束非常接近于1，這時(shí)求解式(3)和式(4)方法仍然對(duì)它們進(jìn)行大量的計(jì)算，這樣就會(huì)帶來很高的計(jì)算負(fù)擔(dān)，造成計(jì)算效率低的問題。為了解決這個(gè)問題，只在必要的水平進(jìn)行可靠性評(píng)價(jià)，即定義［6］

gR可通過如下模型求解:

式(6)式即為PMA 方法的數(shù)學(xué)表達(dá)。

2.2 基于PMA 的多學(xué)科遺傳協(xié)同可靠性分析

考慮不確定性，式(1)多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型變?yōu)?

本文采用協(xié)同優(yōu)化的方法將可靠性約束分成單學(xué)科問題進(jìn)行求解，這使得系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的計(jì)算變得簡(jiǎn)單。尤其當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜、可靠性約束較多時(shí)，其效率會(huì)更高。流程如圖4 所示。

圖4 PMA－GA－CO 框架Fig.4 Flow chart of PMA－GA－CO

圖4 中，u 是與x 空間中的變量相對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量在u 空間所組成的向量。us0，uj0，yi0。是從系統(tǒng)級(jí)傳下來的目標(biāo)值。對(duì)于給定的R，β=φ-1(R)，φ-1是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)的反函數(shù)。

采用遺傳協(xié)同優(yōu)化算法求解上式的計(jì)算步驟如下:

1)系統(tǒng)級(jí)將us0，uj0，yi0作為子系統(tǒng)共享變量的期望值傳遞給子學(xué)科。

2)子學(xué)科并行優(yōu)化，求得各子學(xué)科的最優(yōu)解。用最優(yōu)解替換q 中的us0，uj0，yi0，這樣新得到的q 就作為系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的約束，以實(shí)現(xiàn)學(xué)科間的一致性，學(xué)科分析被當(dāng)作子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化的等式約束參與運(yùn)算。

3)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化得到新的最優(yōu)解，將其作為新的期望值傳給各子學(xué)科級(jí)。

4)循環(huán)迭代求解，如收斂，則結(jié)束，否則轉(zhuǎn)步驟2。

3 散貨船概念設(shè)計(jì)多學(xué)科協(xié)同可靠性分析

3.1 散貨船概念設(shè)計(jì)多學(xué)科數(shù)學(xué)模型建立

本文在參考文獻(xiàn)［7］中載重35 000 DWT 散貨船散貨船多目標(biāo)概念設(shè)計(jì)優(yōu)化例子的基礎(chǔ)上，將其修改為一多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化問題。根據(jù)船舶總體概念設(shè)計(jì)的實(shí)際流程，按照多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化的思路，將散貨船概念設(shè)計(jì)優(yōu)化問題分解為1 個(gè)系統(tǒng)級(jí)層和5 個(gè)子學(xué)科級(jí)，如圖5 所示。

圖5 散貨船概念協(xié)同設(shè)計(jì)框架Fig.5 Conceptual framework for collaborative design of bulk carriers

各個(gè)子學(xué)科級(jí)的數(shù)學(xué)模型分析如下:

1)浮性與穩(wěn)性子系統(tǒng)

對(duì)于船舶設(shè)計(jì)而言，首先要保證船舶的浮態(tài)和初穩(wěn)性。本子系統(tǒng)計(jì)算重量和排水量和初穩(wěn)性高。概念設(shè)計(jì)階段要求重量W 和排水量Δ 相等。其中排水量計(jì)算公式為:

W 由空船重量WL和載重量DWT 兩個(gè)部分組成，估算公式參照文獻(xiàn)［7］。初穩(wěn)性約束條件為［8］:

2)阻力子系統(tǒng)

船舶阻力一般可以分成兩大部分，一是裸船體在靜水中的阻力，另外一部分包括空氣阻力、波浪引起的阻力增值和附體阻力。設(shè)RT為船的總阻力，可以采用Holtrop 阻力公式估算［9］:

3)推進(jìn)子系統(tǒng)

推進(jìn)子系統(tǒng)根據(jù)給定的主機(jī)功率和轉(zhuǎn)速，進(jìn)行螺旋槳的終結(jié)沒計(jì)。螺旋槳總效率:

式中:ηs為軸系效率;ηR為相對(duì)旋轉(zhuǎn)效率;ηO為敞水效率、相對(duì)旋轉(zhuǎn)效率;ηH為船身效率。

4)操縱性與適航性子系統(tǒng)

在概念設(shè)計(jì)階段，由于獲得的數(shù)據(jù)優(yōu)先，僅對(duì)船舶的相對(duì)回轉(zhuǎn)直徑和橫搖周期進(jìn)行估算。相對(duì)回轉(zhuǎn)直徑的計(jì)算采用Lyster 和Knights 的回歸公式［10］:

式中:δ 為舵角;Ab為首部浸濕面積;Trim為船舶縱傾。

適居性條件需滿足

式中

5)造價(jià)子系統(tǒng)

船舶造價(jià)采用分項(xiàng)估價(jià)法，將船舶分成船體鋼料、木作棲裝、機(jī)電設(shè)備三大項(xiàng)，分項(xiàng)的價(jià)格均根據(jù)其重量乘以每噸價(jià)格估算。由此可以寫出船價(jià)估算公式:

式中:rs，ro，rm分別為船體鋼料、舾裝及機(jī)電設(shè)備每噸的價(jià)格。本文取rs= 0.5，ro= 0.8，rm= 1.5。

3.2 可靠性分析及結(jié)果討論

由于制造工藝誤差，設(shè)計(jì)變量往往為不確定量，當(dāng)設(shè)計(jì)變量有微小波動(dòng)時(shí)，會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)性和安全性造成一定影響，為簡(jiǎn)化分析，本例將船長(zhǎng)L，船寬B，型深D，吃水T，方形系數(shù)CB看作隨機(jī)設(shè)計(jì)變量，浮性要求g1、初穩(wěn)性要求g2、適居性條件g3看作極限狀態(tài)函數(shù)，進(jìn)行可靠性分析。假設(shè)L，B，D，T，CB服從正態(tài)分布，變差系數(shù)為0.1，(L，B，D，T，CB)=(172，31.7，11.85，9.4，0.79)，各極限狀態(tài)函數(shù)的多學(xué)科可靠性分析數(shù)學(xué)描述如下:

1)對(duì)于浮性要求g1:

2)對(duì)于初穩(wěn)性要求g2:

3)對(duì)于適居性條件g3:

根據(jù)本文提出方法，建立極限狀態(tài)函數(shù)g1，g2，g3的CO 框架，即一個(gè)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化和2 個(gè)子系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化。采用MCS 方法，取樣10 000 次所得結(jié)果作為上述船舶多學(xué)科可靠性分析的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果，比較文獻(xiàn)［4］中的PMA － MDF 與本文的PMA － GA － CO 算法。結(jié)果如表1 所示。

表1 可靠性分析結(jié)果比較Tab.1 Comparative of reliability analysis results

由表1 可知，PMA －MDF 與PMA －GA －CO 方法得出的可靠性指數(shù)和可靠度與MCS 方法得出的結(jié)果基本相同。但是，PMA －GA －CO 函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)明顯少于PMA－MDF 方法。說明，本文方法計(jì)算效率高于PMA－MDF 方法。當(dāng)工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題規(guī)模增大時(shí)，這種計(jì)算成本的節(jié)約將更加明顯。

4 結(jié) 語

在大規(guī)模工程中，現(xiàn)有的多學(xué)科可靠性分析方法由于只進(jìn)行系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化使過多的時(shí)間花費(fèi)在學(xué)科分析子模塊和系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化器的通訊上，求解效率很低，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化器的工作負(fù)擔(dān)很重。文中提出采用PMA －GA －CO，在這個(gè)方法中，所有的學(xué)科能夠獨(dú)立的進(jìn)行優(yōu)化。這個(gè)方法不僅解除了所有學(xué)科之間的耦合，而且提高了搜索MPP 的效率。由于學(xué)科級(jí)能進(jìn)行優(yōu)化，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化器的負(fù)擔(dān)可顯著地降低。通過散貨船概念設(shè)計(jì)多學(xué)科可靠性分這一簡(jiǎn)單的工程例子證明了文中提出方法的精度，這個(gè)優(yōu)點(diǎn)在大規(guī)模的工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)中能夠更好地體現(xiàn)出來。此外，文中提出的方法僅僅對(duì)隨機(jī)不確定性進(jìn)行分析，并沒有考慮認(rèn)知不確定性，下一步的研究將考慮隨機(jī)和認(rèn)知不確定同時(shí)存在的情況下，進(jìn)行多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)可靠性分析。

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