寧 陽(yáng)， 張?jiān)品澹?高珊珊， 遲 靜， 張彩明

（1. 山東財(cái)經(jīng)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014；2. 山東省數(shù)字媒體重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250061；3. 山東大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

基于三角區(qū)域有理函數(shù)的圖像自適應(yīng)插值

寧 陽(yáng)1,2， 張?jiān)品?,2， 高珊珊1,2， 遲 靜1,2， 張彩明1,3

（1. 山東財(cái)經(jīng)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250014；2. 山東省數(shù)字媒體重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 濟(jì)南 250061；3. 山東大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

基于有理函數(shù)模型提出了一種新的圖像插值算法。此類(lèi)有理函數(shù)基于三角區(qū)域構(gòu)造并且具有簡(jiǎn)潔且靈活的表達(dá)式，同時(shí)含有一個(gè)可調(diào)節(jié)參數(shù)，在不改變插值曲面輸入數(shù)據(jù)的前提下，可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)來(lái)微調(diào)曲面彎曲程度從而達(dá)到更加理想的插值效果。首先將圖像區(qū)域進(jìn)行三角剖分，將有理函數(shù)模型定義域轉(zhuǎn)化到其特殊域（等腰直角三角形域），通過(guò)區(qū)域變換使插值曲面達(dá)到更好的連續(xù)性和光滑性，有效提升了插值精度；然后利用一種基于邊緣走向的權(quán)值確定方法分別確定各個(gè)三角域的權(quán)值；最后通過(guò)等值線分析將圖像劃分為不同區(qū)域，在平滑區(qū)域上隨機(jī)選擇或者固定參數(shù)進(jìn)行插值即可，在非平滑區(qū)域上則進(jìn)行參數(shù)的最優(yōu)化選取，使當(dāng)前的插值曲面塊達(dá)到最優(yōu)，進(jìn)一步提升了插值精度。本文算法在邊緣區(qū)域和紋理信息保持方面相對(duì)于傳統(tǒng)插值算法具有一定的優(yōu)勢(shì)，有效地消除了常見(jiàn)的振鈴、走樣等現(xiàn)象，并且具有良好的視覺(jué)效果。

有理函數(shù)插值；等值線分析；圖像自適應(yīng)；參數(shù)最優(yōu)化

圖像插值技術(shù)是從低分辨率圖像(low resolution, LR)通過(guò)某種算法恢復(fù)其高分辨圖像(high resolution, HR)的一類(lèi)圖像處理技術(shù)。通過(guò)已知像素和未知像素之間的關(guān)聯(lián)恢復(fù)未知像素的研究一直都在進(jìn)行，對(duì)平滑區(qū)域的處理技術(shù)已經(jīng)日漸成熟，傳統(tǒng)的插值方法：如最近鄰、雙線性，雙三次、三次樣條插值等[1-2]足以勝任。相對(duì)于圖像的平滑區(qū)域，人的視覺(jué)系統(tǒng)對(duì)邊緣區(qū)域更加敏感，所以如何比較好地恢復(fù)真實(shí)邊緣就顯得至關(guān)重要。目前比較好的插值算法能夠在保持銳利邊緣的同時(shí)，還能夠基本杜絕振鈴，走樣等現(xiàn)象的出現(xiàn)。

為了獲得更好地視覺(jué)效果同時(shí)解決上述的問(wèn)題，不斷有學(xué)者提出新的插值算法，其中較流行的做法是把圖像自適應(yīng)劃分為不同區(qū)域，并分別用不同的方法進(jìn)行處理，其好處是在提高算法效率的同時(shí)并不會(huì)損失圖像處理質(zhì)量。文獻(xiàn)[3]提出一種基于小波的圖像插值處理方法，可分離的小波僅僅能獲得有限的方向信息，這使圖像的邊緣信息不能得到很好地保持。文獻(xiàn)[4]提出一種基于邊緣指導(dǎo)的插值算法(new edge-directed interpolation, NEDI)，基本思想是首先通過(guò)低分辨率圖像估計(jì)局部協(xié)方差系數(shù)，然后根據(jù)幾何對(duì)偶性，用低分辨率圖像的協(xié)方差估計(jì)高分辨率圖像的協(xié)方差。此算法可以將邊緣處理的很好，但是對(duì)細(xì)節(jié)的保持稍有欠缺。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于多方向?yàn)V波和數(shù)據(jù)融合的插值算法(edge-guided image interpolation via directional filtering and data fusion, DFDF)，此算法是一種非線性插值技術(shù)，對(duì)于要插值的像素而言，定義了兩組垂直方向的觀測(cè)集，每一個(gè)集合都生成一個(gè)被插像素的估計(jì)值（通過(guò)傳統(tǒng)的線性插值生成）。這些多方向的估計(jì)值，通過(guò)為丟失像素增加一個(gè)噪聲項(xiàng)進(jìn)行建模，最終通過(guò)線性最小均方誤差估計(jì)被融合為一個(gè)更加魯棒的估計(jì)，這個(gè)估計(jì)用到了兩組觀測(cè)值的統(tǒng)計(jì)資料。由于線性均方誤差估計(jì)要用到的一些條件概率，現(xiàn)實(shí)生活中很難得出和計(jì)算復(fù)雜度比較高的問(wèn)題，作者提出了一種比較簡(jiǎn)化的方法，用均方誤差估計(jì)代替線性均方誤差估計(jì)，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)很好地保持了邊緣的銳度并且消除了振鈴現(xiàn)象。文獻(xiàn)[6]提出了一種基于自回歸模型和軟決策估計(jì)的圖像插值算法(image interpolation by adaptive 2-D autoregressive modeling and soft-decision estimation, SAI)，可通過(guò)軟決策插值技術(shù)，一次估計(jì)一組丟失的像素而不是只估計(jì)一個(gè)像素。這個(gè)新技術(shù)可通過(guò)二維分段的自回歸模型適應(yīng)于不同的場(chǎng)景結(jié)構(gòu)。通過(guò)在低分辨率像素矩陣滑動(dòng)一個(gè)窗口來(lái)估計(jì)這個(gè)自回歸模型的參數(shù)。此算法能夠在低分辨像素之間，低分辨像素和高分辨率像素之間產(chǎn)生一種反饋機(jī)制，有效地提高了算法的魯棒性，此算法效果要優(yōu)于上述算法，更好地保持了邊緣和細(xì)節(jié)，但是在處理某些圖像時(shí)會(huì)發(fā)生比較嚴(yán)重的走樣。

本文算法充分利用了有理函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)和性質(zhì)，在插值數(shù)據(jù)不改變的前提下可以通過(guò)修改參數(shù)α來(lái)達(dá)到最理想的插值曲面。首先利用等值線把圖像自適應(yīng)地分解為平滑區(qū)域和非平滑區(qū)域。在圖像的平滑區(qū)域，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)參數(shù)α對(duì)插值結(jié)果影響不大，可以隨機(jī)取值；在圖像的非平滑區(qū)域，通過(guò)三角區(qū)域的已知HR像素的反饋，自適應(yīng)地計(jì)算出最優(yōu)參數(shù)α，有效地提高插值精度。由于本文算法將邊緣方向信息進(jìn)行融合，所以比較好地保持了邊緣，細(xì)節(jié)保持方面也相對(duì)優(yōu)于上述算法，而且不會(huì)出現(xiàn)走樣問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法能夠取得較好的主觀和客觀效果。

1 三角域上的有理插值函數(shù)模型

插值模型決定了圖像的插值質(zhì)量，含有參數(shù)的有理插值函數(shù)要比不含參數(shù)的更精確，同時(shí)基于三角域的有理插值函數(shù)插值模型相對(duì)于其他模型顯得更加靈活。在本節(jié)，將重點(diǎn)介紹基于三角域上的有理插值函數(shù)模型和其所具有的性質(zhì)。

1.1 雙變量單參數(shù)有理插值函數(shù)

文獻(xiàn)[7-14]構(gòu)造了多種有理樣條插值模型，其均具有非常簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，且有不錯(cuò)的插值效果。

令｛（xi,yi,fi,di）,i=1,2,…,n｝作為給定的離散數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)分布在平行線： e1,e2,…,em上，

對(duì)于一個(gè)三角區(qū)域T1=ΔV1V2V3，有頂點(diǎn)集｛Vi=（xi,yi）,i =1,2,3｝，并且y1=y2，讓?duì)?1=∠V3V1V2是線V3V1和V1V2的夾角，γ12是線V2V3和 V1V2的延長(zhǎng)線的夾角。

令h=x2-x1,l=y3-y1。對(duì)于在線V1V2上的任意一點(diǎn)Q，讓?duì)?∠V3QV2作為線V3Q和QV2的夾角，因此，V1Q=x3-x1-lcotβ，并且對(duì)于在線V3Q上的任意點(diǎn)讓并且一個(gè)有理三次函數(shù)在區(qū)間［x1x2］,上被定義為下式：

其中：

令α＞0。顯然，在［x1,x2］上的插值函數(shù)p（x）對(duì)于給定數(shù)據(jù)（xi,fi,di）,i=1,2和參數(shù)α是唯一的，且滿足下式：

用x方向的插值函數(shù)p（x），可以在 T1域上如下定義這個(gè)雙變量有理插值函數(shù)P（x, y）：

這個(gè)被叫做位于三角區(qū)域1T上的雙變量有理插值公式。

所以，這個(gè)插值函數(shù)滿足：

對(duì)于 T2,T3和 T4則可以利用對(duì)稱性進(jìn)行求解，這里不再做過(guò)多的敘述，因?yàn)楹竺嫠惴ㄖ械臄?shù)據(jù)都已經(jīng)被轉(zhuǎn)換到 T1域進(jìn)行運(yùn)算，并且這個(gè)有理函數(shù)插值模型對(duì)于不同的域（T1,T2,T3,T4）之間是C0連續(xù)的，所以如果將數(shù)據(jù)集中轉(zhuǎn)換到一個(gè)域(如 T1)進(jìn)行運(yùn)算，則有效避免了函數(shù)連續(xù)性低的缺點(diǎn)。

1.2 插值函數(shù)的性質(zhì)

為了方便應(yīng)用到圖像插值上，上述公式可以改寫(xiě)成如下形式：

其中：

對(duì)于給定的插值數(shù)據(jù)｛（xi,yi,fi,dj）,i=1,2,3; j=1,2｝，讓PT1（x,y）如上面公式所述在三角區(qū)域T1定義為插值函數(shù)，無(wú)論參數(shù)α怎么取值，在 T1的取值都滿足：

其中：

由于式(2)的值會(huì)隨著參數(shù)的調(diào)整而不斷地改變，但是上式對(duì)其取值給定了一個(gè)約束，無(wú)論參數(shù)怎樣變化，其取值都會(huì)在一個(gè)范圍內(nèi)，也就是定界。如果在插值過(guò)程中，像素值出現(xiàn)了劇烈波動(dòng)，例如不在上述不等式約束的界內(nèi)，則可以通過(guò)相關(guān)的技術(shù)手段予以調(diào)整，使其滿足上式的約束條件。

2 基于三角區(qū)域的有理插值算法和優(yōu)化

2.1 三角區(qū)域轉(zhuǎn)換和插值

根據(jù)1.1節(jié)介紹的有理函數(shù)模型可知，此有理函數(shù)為分段C0連續(xù)，本文通過(guò)對(duì)三角形的各個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行重新排列的方式，將每個(gè)三角形轉(zhuǎn)化為同一個(gè)分段，從而避免了各分段之間C0連續(xù)的弊端，有效提升了插值效果。如圖 1所示，觀察圖中的兩個(gè)等腰直角三角形，圖中只給出了右邊三角形經(jīng)過(guò)調(diào)整后頂點(diǎn)的排列（將圖旋轉(zhuǎn) 180°后觀察到的三角形頂點(diǎn)排列即為約定的規(guī)則排列，其他三角形按照此規(guī)則進(jìn)行頂點(diǎn)排列）。按照從左到右，從上到下的順序來(lái)看左邊的三角形，其 3個(gè)黑色的頂點(diǎn)的規(guī)則排序即為 V3,V2,V1，這樣就可順利的將左右兩個(gè)等腰直角三角形轉(zhuǎn)化到了同一個(gè)分段，既方便應(yīng)用又有效避免了C0連續(xù)的缺點(diǎn)，具體如何實(shí)現(xiàn)，本文將做進(jìn)一步展開(kāi)。

圖1 插值算法

首先把一個(gè)16鄰域像素矩陣抽象成上下左右4個(gè)方向，現(xiàn)在只討論上方向，其他3個(gè)方向按照同樣的方式對(duì)待。如圖1所示的A值并非這個(gè)位置上的最終像素值，而是為了輔助計(jì)算丟失的像素，其他方向的同樣位置上同理，這樣丟失像素最終可以由8個(gè)像素值（4個(gè)精確的LR像素，4個(gè)輔助像素）通過(guò)加權(quán)平均計(jì)算。由于每一個(gè)三角形有 3個(gè)頂點(diǎn)，正好作為有理函數(shù)的輸入點(diǎn)，通過(guò)1.1節(jié)介紹的有理插值模型發(fā)現(xiàn)V3的比重是隨著要求點(diǎn)的坐標(biāo)位置而確定的，一旦要求點(diǎn)的坐標(biāo)給定，則V3這個(gè)點(diǎn)對(duì)三角區(qū)域所求點(diǎn)像素的貢獻(xiàn)就確定了（V3這個(gè)點(diǎn)的基函數(shù)不含參數(shù)），但是考慮到邊的方向因素，沿著邊的方向像素值貢獻(xiàn)應(yīng)該要大于非沿著邊的方向像素值，所以還需要估計(jì)每個(gè)三角形的局部方差來(lái)對(duì)3V的貢獻(xiàn)進(jìn)行重新調(diào)整。先把上方向的兩個(gè)三角形根據(jù)左右進(jìn)行編號(hào)（左1右2），分別對(duì)兩個(gè)三角形包含的像素求局部方差，記為1Var和2Var，然后按照式(3)對(duì)左右兩個(gè)三角形分別確定權(quán)值，加權(quán)平均后得到輔助像素值A(chǔ)，其他3個(gè)方向同理。

對(duì)于丟失像素而言，現(xiàn)在有4個(gè)精確的LR像素和4個(gè)輔助像素，其中4個(gè)LR像素由于是精確值，所以其對(duì)丟失像素的貢獻(xiàn)值要大于 4個(gè)輔助像素，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，可以分配2/3比重的權(quán)值給4個(gè)精確的LR像素，剩下的1/3分配給4個(gè)輔助像素。考慮到邊的走向的因素，按照 45°和 135°方向把4個(gè)LR像素劃分為兩組，然后分別求局部方差，之后利用式(3)對(duì)其分配子權(quán)值。最后通過(guò)對(duì) 8個(gè)像素加權(quán)平均，求出丟失像素，其他的丟失像素可以通過(guò)將像素矩陣旋轉(zhuǎn) 45°后用上述同樣的算法進(jìn)行求解。

通過(guò)對(duì)三角區(qū)域有理插值模型的進(jìn)一步分析可知，由于在確定所求點(diǎn)坐標(biāo)后3V對(duì)丟失像素值的貢獻(xiàn)就是確定的（3V的基函數(shù)并不包含任何參數(shù)），1V和2V都包含一個(gè)可調(diào)控參數(shù)，同時(shí)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)也在1V、2V連線的方向上，所以得出一個(gè)結(jié)論：影響插值結(jié)果的重點(diǎn)方向是1V、2V連線的方向。對(duì)于圖 1上方向的兩個(gè)三角形，可以將求所有點(diǎn)的局部方差簡(jiǎn)化為求兩個(gè)三角形1V、2V連線方向的局部方差，而這兩個(gè)方向又是垂直的，然后利用式(3)，求出權(quán)值進(jìn)行插值即可。

2.2 圖像自適應(yīng)分解

對(duì)圖像來(lái)說(shuō)，平滑區(qū)域結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，而邊緣區(qū)域結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，保存了圖像的大部分信息，是圖像中最重要的區(qū)域，因此插值算法要適應(yīng)邊緣區(qū)域復(fù)雜的像素結(jié)構(gòu)。為了權(quán)衡插值速度和插值質(zhì)量，可以通過(guò)繪制等值線將圖像自適應(yīng)分解為平滑區(qū)域和邊緣區(qū)域，找到局部區(qū)域是否存在邊緣或者紋理，甚至可以找到邊緣的走向。等值線是制圖對(duì)象某一數(shù)量指標(biāo)值相等的各點(diǎn)連成的平滑曲線，其繪制方法具體如下：對(duì)要處理區(qū)域所有涉及像素取平均值，然后用丟失像素四鄰域的LR像素分別與做差，會(huì)得到4個(gè)值。如果這4個(gè)值同時(shí)為正或者同時(shí)為負(fù)，那么可以認(rèn)為其處于平滑區(qū)域；否則就認(rèn)為其處于像素波動(dòng)比較大的邊緣或者紋理區(qū)域。同時(shí)可以根據(jù)符號(hào)的正、負(fù)和丟失像素的正、負(fù)大致地判斷出邊緣的走向，這個(gè)走向?qū)ο袼貦?quán)值的確定也同樣重要。

相對(duì)于圖像的邊緣或者紋理區(qū)域，平滑區(qū)域占據(jù)了圖像的絕大部分，所以如果能夠自適應(yīng)的把圖像劃分為兩部分來(lái)進(jìn)行處理，則會(huì)極大地降低算法的計(jì)算復(fù)雜度，提高算法的執(zhí)行效率。通過(guò)繪制等值線，丟失像素的四鄰域如果符號(hào)同時(shí)為正或者同時(shí)為負(fù)，則認(rèn)為是平滑區(qū)域，否則認(rèn)為是非平滑區(qū)域。對(duì)于平滑區(qū)域只需按照傳統(tǒng)的插值方法或者簡(jiǎn)化的算法進(jìn)行處理即可，因?yàn)閷?duì)于圖像的平滑區(qū)域而言，傳統(tǒng)的線性插值算法足以勝任，而對(duì)于非平滑區(qū)域，則要按照本文算法進(jìn)行處理。

2.3 參數(shù)的最優(yōu)化

在將圖像自適應(yīng)分解為平滑區(qū)域和非平滑區(qū)域以后，著重分析如何計(jì)算非平滑區(qū)域的最優(yōu)化參數(shù)，而對(duì)于平滑區(qū)域，經(jīng)過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)參數(shù)如何選取對(duì)最終插值效果影響不大。在利用1.2節(jié)提到的式(2)進(jìn)行丟失像素求解時(shí)，平滑區(qū)域由于像素變化比較平緩，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，參數(shù)取值對(duì)結(jié)果影響不大，所以在平滑區(qū)域可以隨機(jī)取參數(shù)；而在于圖像像素變化比較劇烈的邊緣或者紋理區(qū)域，如果能夠選擇最優(yōu)化參數(shù)，則可以降低誤差，有效地提高圖像插值質(zhì)量。

式(2)是一個(gè)包含雙變量單參數(shù)的有理函數(shù)插值模型，求這個(gè)最優(yōu)化參數(shù)α，讓它能夠最適應(yīng)當(dāng)前這一小塊插值曲面。通過(guò)觀察圖 1和圖 2 (將圖1中的右邊的三角形旋轉(zhuǎn)180°)，可發(fā)現(xiàn)每一個(gè)三角區(qū)域除了V1,V2,V33個(gè)精確點(diǎn)外，還有V4,V5,V63個(gè)精確點(diǎn)，所以可以利用 V4,V5,V6這3個(gè)值反推出3個(gè)參數(shù)α1,α2,α3，然后取平均后得到值，可以認(rèn)為這個(gè)就是這個(gè)小三角區(qū)域的最精確的參數(shù)值α，之后將這個(gè)α和 V1,V2,V33個(gè)精確點(diǎn)帶入式(2)，最后再按照本文算法進(jìn)行求解即可。

圖2 參數(shù)最優(yōu)化

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

經(jīng)過(guò)同提出的幾種經(jīng)典插值算法的多次比較且做了大量的實(shí)驗(yàn)，本文選擇了 Dollar, Barbara, Lighthouse, Milkdrop, Lake 5張圖片作為測(cè)試圖片，自然圖像的多樣性使得同一種算法在不同圖像上可能有不同的效果，這要求在實(shí)驗(yàn)中選用具有代表性的，包含多種情形的測(cè)試圖像。如圖 3所示，這幾張圖片有的比較復(fù)雜，包括很多紋理區(qū)域和漸變結(jié)構(gòu)(Barbara, Lighthouse)，有的平滑區(qū)域比較多，過(guò)渡比較自然(Milkdrop)，這樣可以比較全面的考驗(yàn)本文算法的執(zhí)行能力，有效地測(cè)試其魯棒性。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像

3.2 插值效果和插值速度的比較

就插值效果來(lái)看，針對(duì)表 1中的兩種經(jīng)典算法NEDI和SAI進(jìn)行峰值信噪比(peak signal noise ratio, PSNR)的數(shù)值比較，PSNR是一種對(duì)圖像的客觀評(píng)測(cè)數(shù)據(jù)。圖4、圖5是對(duì)圖3紅線標(biāo)示區(qū)域進(jìn)行局部放大后的對(duì)比圖，圖4可以看到NEDI算法，SAI算法在柵欄處有明顯的走樣現(xiàn)象；圖5在圍巾部位NEDI算法、SAI算法同樣有走樣現(xiàn)象，而且還產(chǎn)生了一些偽邊界，而本文算法則比較好地恢復(fù)了圖像的邊界走向。圖 6～8分別為每幅完整圖片對(duì)應(yīng)算法的重建效果圖。本文算法在主觀和客觀效果上優(yōu)于NEDI算法，雖然在PSNR數(shù)值上略差于SAI算法，但是在平均數(shù)值上要優(yōu)于SAI算法，在現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用中，平均數(shù)據(jù)值通常比單個(gè)測(cè)試的數(shù)據(jù)更有意義。另還需要進(jìn)一步努力，繼續(xù)完善本文算法。因?yàn)榭陀^評(píng)測(cè)僅僅是數(shù)值上的比較，并不能很好的反應(yīng)圖片的插值效果，所以還需要進(jìn)一步對(duì)其進(jìn)行主觀評(píng)測(cè)。

就插值速度來(lái)看，NEDI算法首先通過(guò)LR圖像估計(jì)局部協(xié)方差系數(shù)，然后根據(jù)幾何對(duì)偶性，用LR圖像的協(xié)方差估計(jì)HR圖像的協(xié)方差，而且利用局部方差是否達(dá)到一個(gè)閾值來(lái)區(qū)分像素位于平滑區(qū)域還是非平滑區(qū)域。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，NEDI算法這樣做雖然可以取得不錯(cuò)的效果，但是代價(jià)也是比較大的。因?yàn)閰f(xié)方差和局部方差的計(jì)算需要進(jìn)行大量的乘法計(jì)算，所以速度比較慢，考慮此因素，本文決定采用等值線繪制的方法來(lái)區(qū)分像素所處的區(qū)域。由于等值線的繪制只需要一次除法運(yùn)算（用來(lái)求均值），其余的也都是簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算，所以本文算法的時(shí)間復(fù)雜度有比較大的提升。同時(shí)等值線還會(huì)繪制出區(qū)域內(nèi)的偽邊界方向，這也為像素的權(quán)值估算提供了重要依據(jù)。同理，SAI算法也是用局部方差進(jìn)行像素所處區(qū)域的區(qū)分，同時(shí)由于它采用了一種自回歸模型，要進(jìn)行一定程度的迭代操作，所以相對(duì)于本文算法來(lái)說(shuō)，時(shí)間復(fù)雜度也比較高?？傊?，由于有理函數(shù)的特點(diǎn)就是計(jì)算速度快，所以本文算法在時(shí)間上占優(yōu)勢(shì)。

表1 不同算法的峰值信噪比值比較

圖4 Lighthouse的局部比較

圖5 Barbara的局部比較

圖6 Dollar圖像比較

圖7 Milkdrop圖像比較

圖8 Lake圖像比較

4 結(jié) 論

本文提出一種基于三角區(qū)域有理函數(shù)的圖像自適應(yīng)插值算法，通過(guò)三角剖分把圖像劃分為不同的區(qū)域，然后對(duì)每個(gè)三角區(qū)域的頂點(diǎn)重新排序，自動(dòng)地將所有不同的三角域轉(zhuǎn)換到相同的區(qū)域進(jìn)行插值，使插值曲面保持更好地連續(xù)性和光滑性。權(quán)值更好地考慮到了方向的信息。通過(guò)繪制等值線能夠比較直觀地分解出平滑區(qū)域和非平滑區(qū)域，在不同的區(qū)域用不同的算法進(jìn)行插值，可以更好地權(quán)衡算法的效率和質(zhì)量。本文算法有效地消除了常見(jiàn)的振鈴、走樣等現(xiàn)象，同時(shí)具有較好的主觀和客觀效果，但是由于三角域比較靈活造成權(quán)值確定的過(guò)程很難把所有相關(guān)因素考慮在內(nèi)的原因，本文算法的邊緣還是存在一些鋸齒現(xiàn)象，如何更好地解決這個(gè)問(wèn)題將是下一步研究的重點(diǎn)之一。

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Adaptive Weighted Interpolation Based on Rational Function over Triangular Domain

Ning Yang1,2, Zhang Yunfeng1,2, Gao Shanshan1,2, Chi Jing1,2, Zhang Caiming1,3

(1. Department of Computer Science and Technology, Shandong University of Finance and Economics, Jinan Shandong 250014, China; 2. Digital Media Technology Key Laboratory of Shandong Province, Jinan Shandong 250061, China; 3. Department of Computer Science and Technology, Shandong University, Jinan Shandong 250100, China)

This paper proposed a novel image interpolation algorithm based on the rational function model. The interpolation function is carried out by a simple and explicit mathematical representation through a parameter and the shape of the interpolation surface can be modified by using the parameter for the unchanged interpolation data. Firstly, we change the domain of definition of the interpolation function into a special domain (the domain of the isosceles right triangle), then the interpolation surface will be smoother and the interpolation precision will be improved effectively. Secondly, we have given more consideration to the directional information of the image. Finally, the image is divided into smooth area and non-smooth area by drawing contour lines. Then we select a random or a fixed parameter in smooth area and choose the optimal parameter in non-smooth area. The experimental results show that the algorithms proposed by this paper achieve comparatively good effects and the common interpolation artifacts (ringing, aliasing, etc) are greatly reduced.

rational function interpolation; contour lines; adaptive; parameter optimization

TP 399

A

2095-302X(2015)03-0444-08

2014-10-08；定稿日期：2014-10-30

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61373080, 61173174, 61103117)；濟(jì)南市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(201303011, 201302016, 201303021)

寧 陽(yáng)(1985-)，男，山東萊蕪人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)閳D像處理、算法、計(jì)算幾何。E-mail：polaris606@163.com

張?jiān)品?1977-)，男，山東聊城人，教授，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、圖像處理。E-mail：yfzhang@sdufe.edu.cn