蔡華輝， 柳炳祥， 程 燕

（1. 景德鎮(zhèn)陶瓷學院信息工程學院，江西 景德鎮(zhèn) 333403；2. 景德鎮(zhèn)陶瓷學院設(shè)計藝術(shù)學院，江西 景德鎮(zhèn) 333403）

基于Bézier曲線的兩平行線間緩和曲線構(gòu)造

蔡華輝1， 柳炳祥1， 程 燕2

（1. 景德鎮(zhèn)陶瓷學院信息工程學院，江西 景德鎮(zhèn) 333403；2. 景德鎮(zhèn)陶瓷學院設(shè)計藝術(shù)學院，江西 景德鎮(zhèn) 333403）

利用五次Bézier曲線，構(gòu)造了一條含形狀參數(shù)的兩平行線間滿足G2連續(xù)的緩和曲線。這條曲線在 t=1/2含有唯一的曲率極值點。利用形狀參數(shù)可以方便地控制曲率極值的大小和調(diào)節(jié)曲線的形狀。

緩和曲線；5次Bézier曲線；平行線；曲率單調(diào)

構(gòu)造兩直線、直線和圓弧、兩圓弧之間光滑拼接的緩和（過渡）曲線在道路設(shè)計，車型機器人的軌道模擬和曲線的光順設(shè)計等工程應(yīng)用中都是一個基本問題。通常要求緩和曲線在與直線或圓弧相接觸點處滿足 G2連續(xù)，且在曲線內(nèi)部曲率極值點盡可能少，一般要求兩直線間的緩和曲線內(nèi)部只含有一個曲率極值點，直線和圓弧利用一條曲率單調(diào)曲線緩和，兩圓弧間緩和曲線最多含一個曲率極值點。由于螺線弧是曲率恒正或恒負，且曲率單調(diào)變化的曲線[1]，因此常用于緩和曲線的設(shè)計。回旋曲線因其曲率和弧長成正比的特性，在道路設(shè)計中用于緩和曲線的設(shè)計[2]。近年來，利用the generalized Cornu spiral[3]、log-aesthetic curves[4]、Fermat's spiral[5]等設(shè)計緩和曲線。

由于許多常用的螺線是利用超越函數(shù)定義，不能被有限項多項式或有理多項式表出。因此，許多學者提出利用多項式曲線來設(shè)計緩和曲線。在計算機輔助幾何設(shè)計(computer aided geometric design, CAGD)領(lǐng)域內(nèi)，利用參數(shù)多項式曲線設(shè)計緩和曲線的研究最早可以追溯到Walton和Meek[6-7]的工作，在文獻[6-7]中分別提出了起點曲率為 0的三次Bézier螺線弧和五次PH螺線弧，然后分別利用這兩條螺線弧替代回旋曲線作為道路設(shè)計中的緩和曲線，取得了良好效果。在文獻[6-7]中，兩直線間或兩圓弧間的緩和曲線都由兩條螺線弧拼接而成。Walton和Meek[8-9]對文獻[6-7]的結(jié)果進行了推廣，增加了曲線的自由度。Ahmad等[10-11]提出了一條四次Bézier螺線弧，并應(yīng)用與兩非平行線間的緩和曲線設(shè)計。Habib和Sakai[12-13]討論了如何利用一條三次Bézier曲線和五次PH曲線設(shè)計兩圓間的緩和曲線。但一直以來，如何利用Bézier曲線設(shè)計兩平行線間緩和曲線的方法一直沒有給出。

1 基于三次Bézier螺線的平行線間緩和曲線

構(gòu)造兩平行線間緩和曲線最直接的方法是利用已知直線和圓弧間緩和曲線的構(gòu)造方法和圖形對稱性來構(gòu)造。Walton和 Meek[6]給出了一條起點曲率為0的三次Bézier螺線弧。

引理. 給定一條以P0, P1, P2, P3為控制頂點的三次Bézier曲線P(t)，設(shè)其首末端點的單位切向量分別為T0, T1，終點處的曲率為κα, T0到T1的有向轉(zhuǎn)角為θ，且0 ＜θ ＜π/2, 控制頂點P1, P2, P3滿足：

則這條Bézier曲線滿足：

顯然，只要給定起點P0的2個坐標、起點單位切向量T0、T0到終點單位切向量T1轉(zhuǎn)角θ以及終點處曲率κα，就可以確定這條三次Bézier螺線弧。利用文獻中構(gòu)造直線和圓弧間緩和曲線的結(jié)論，容易推得基于三次Bézier螺線的兩平行線間緩和曲線的構(gòu)造方法。

定理1. 如圖1所示，直線L1和L2是間距為d的兩條平行線，N為直線單位法向量且方向由 L1指向L2，T是直線的單位方向向量且T與N構(gòu)成右手系，設(shè)P0和Q0分別是直線L1和L2上互為投影的兩點，則在平行線L1和L2之間通過P0和Q0的緩和曲線可由以P0, P1, P2, P3為控制頂點的三次Bézier螺線P(t)，以Q0, Q1, Q2, Q3為控制頂點的三次Bézier螺線Q(t)和以r半徑的圓弧拼接而成，其中半徑曲線P(t)的控制頂點滿足：

其中，θ滿足：

圓弧的圓心C滿足：

曲線Q(t)的控制頂點滿足：

可以看到，此時的緩和曲線是由三條曲線拼接而成，結(jié)果比較麻煩。因此，需要尋求利用一條曲線構(gòu)造緩和曲線的方法。

圖1 基于三次Bézier螺線的兩平行線間緩和曲線

2 基于五次Bézier曲線的平行線間緩和曲線

要利用一條Bézier曲線設(shè)計兩平行線間的緩和曲線，由Bézier曲線性質(zhì)知道，Bézier曲線必須滿足起始3個控制頂點共線和最后3個控制頂點也共線，因此，Bézier曲線的最低次數(shù)是五次。下面構(gòu)造出一條五次Bézier曲線：

使P（t ）在0＜t＜1內(nèi)只含有一個曲率極值點，因此可作為兩平行線間的緩和曲線。

如圖2所示，設(shè)直線L1和L2是間距為d的兩條平行線，取L1與y軸平行，P0與原點重合，取P5(d,0), P1, P2, P3, P4滿足：

則式(1)為：

對上式求一階和二階導(dǎo)數(shù)：

則利用上面兩式，曲線曲率為：

再對 κ（t ）求導(dǎo)為：

式中：

由式(3)可知，t=1/2時，曲率κ（t ）取極值為：

為了證明P（t）在0＜t＜1內(nèi)只含有一個曲率極值點，還需要證明f（t）在0＜t＜1內(nèi)正負恒不變。

圖2 五次Bézier緩和曲線

定理 2. 當參數(shù)k滿足k2≥2767時，式(4) f（t）在0＜t＜1內(nèi)恒大于零。

則式(4)f（t）轉(zhuǎn)換為：

式中：

系數(shù)ia分別是：

由上式，若：

滿足， h(s)在區(qū)間(0,+∞) 恒大于零，即定理 2得證，又因為：

因此定理2成立。 證畢。

當k2＜2767時候，κ′(t)在(0,1)內(nèi)極值點個數(shù)情況如下：

(1) 當 k2≤36155時，h(s)系數(shù)的正負號依次為：

即 h(s)系數(shù)的正負號變號數(shù)為 2，由 the Descartes rule of signs[14]和h（s）=0的正根個數(shù)為2或0可得，在h(0)＜0,h(+∞)→+∞時，h（s）=0有兩個正根，即κ′（t ）在（0,1）內(nèi)有3個極值點。

盡管上面構(gòu)造的五次Bézier曲線要求P0取原點，直線方向為y軸方向，但由Bézier曲線的幾何不變性，即曲線形狀在坐標系平移和旋轉(zhuǎn)后不變。

定理3. 設(shè)直線L1和L2是間距為d的兩條平行線，N為直線單位法向量且方向由L1指向L2，T是直線的單位方向向量且N與T構(gòu)成右手系，設(shè)P0為L1上任意一點，給定任意滿足k2≥2767的形狀參數(shù)k，令：

則以P0, P1, P2, P3, P4, P5為控制頂點的Bézier曲線P（t）滿足：

曲線P（t ）的曲率κ（t ）滿足：

且κ（t ）在t=1/2取0＜t＜1內(nèi)唯一極值點：

在緩和曲線設(shè)計中，曲線曲率極值由定理 3可以求得，且形狀參數(shù)可以控制曲線的極值，因此，根據(jù)實際設(shè)計問題，可以選取合適的參數(shù)k值。

3 結(jié) 束 語

本文利用 Bézier曲線討論了兩條平行線間緩和曲線的構(gòu)造方法。首先利用三次 Bézier螺線弧設(shè)計了緩和曲線，由于此時緩和曲線是利用三段曲線拼接而成，線型較復(fù)雜。然后利用五次Bézier曲線設(shè)計構(gòu)造了兩平行線間緩和曲線。此時緩和曲線只有一條含形狀參數(shù)的 Bézier曲線，同時能利用形狀參數(shù)調(diào)節(jié)曲率極值和曲線形狀。但是在道路設(shè)計中，五次 Bézier曲線的最后一個控制頂點P5由于障礙等原因不一定能滿足式(5)，在實際應(yīng)用中只需要P5在直線L2上即可，此時如何構(gòu)造緩和曲線是今后值得探討的問題。

[1] Guggenheimer H W. Differential geometry [M]. New York: Dover Publications, 1977: 48-53.

[2] Baass K G. The use of clothoid templates in highway design [J]. Transportation Forum, 1984, 1: 47-52.

[3] Ali J M, Tookey R M, Ball J V, et al. The generalised Cornu spiral and its application to span generation [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1999, 102(1): 37-47.

[4] Ziatdinov R, Yoshida N, Kim T. Fitting G2multispiral transition curve joining two straight lines [J]. Computer-Aided Design, 2012, 44(6): 591-596.

[5] Lekkas A M, Dahl A R, Breivik M, et al. Continuous-curvature path generation using Fermat's spiral [J]. Modeling, Identification and Control, 2013, 34(4): 183-198.

[6] Walton D J, Meek D S. A planar cubic Bézier spiral [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1996, 72(1): 85-100.

[7] Walton D J, Meek D S. A Pythagorean hodograph quintic spiral [J]. Computer Aided Design, 1996, 28(12): 943-950.

[8] Walton D J, Meek D S. A further generalisation of the planar cubic Bézier spiral [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2012, 236(11): 2869-2882.

[9] Walton D J, Meek D S. Curve design with more general planar Pythagorean-hodograph quintic spiral segments [J]. Computer Aided Geometric Design, 2013, 30(7): 707-721.

[10] Ahmad A, Gobithasan R, Ali J M. G2transition curve using quartic Bézier curve [C]//Proceedings of the 4th International Conference on Computer Graphics, Imaging and Visualization, Bangkok, Thailand, 2007: 223-228.

[11] Ahmad A, Ali J M. G3transition curve between two straight lines [C]//Proceedings of the 5th International Conference on Computer Graphics, Imaging and Visualization, Penang, Malaysia, 2008: 154-159.

[12] Habib Z, Sakai M. G2cubic transition between two circles with shape control [J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 223(1): 133-144.

[13] Habib Z, Sakai M. G2Pythagorean hodograph quintic transition between two circles with shape control [J]. Computer Aided Geometric Design, 2007, 24(5): 252-266.

[14] Polya G, Szego G. Problems and theorems in analysis II: theory of functions, zeros, polynomials, determinants, number theory, geometry [M]. New York, Springer, 2004: 36-51.

Transition Curve between Parallel Lines Based on Bézier Curve

Cai Huahui1, Liu Bingxiang1, Cheng Yan2

(1. School of Information Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen Jiangxi 333403, China; 2. School of Art & Design, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen Jiangxi 333403, China)

By using quintic Bézier curve, the transition curve which is G2continuous with a shape parameter is constructed between two parallel lines. This curve at t=1/2 contains a unique curvature extreme. It can be easily controlled curvature extremes and adjust the shape of the curve by using the shape parameter.

transition curve; quintic Bézier curve; parallel lines; monotone curvature

TP 391

A

2095-302X(2015)03-0363-04

2014-10-08；定稿日期：2014-10-24

國家自然科學基金資助項目(61262038, 61164014)；江西省自然基金資助項目(2012BAB201044)；景德鎮(zhèn)市科技局資助項目

蔡華輝(1975-)，男，浙江東陽人，副教授，博士。主要研究方向為計算機輔助幾何設(shè)計與計算機圖形學。E-mail：huahuicai@gmail.com