方向紅，徐 鋒

(1.中國(guó)艦船研究院，北京100192;2.武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，湖北 武漢430064)

0 引 言

船舶的水動(dòng)力模型通常包含大量的水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)，這些導(dǎo)數(shù)對(duì)船舶的操縱運(yùn)動(dòng)建模及操縱性預(yù)報(bào)的影響權(quán)重相差很大，在保證預(yù)報(bào)精度的前提下，通過(guò)參數(shù)的靈敏度分析去除一些影響權(quán)重較小的水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)，可以降低模型的復(fù)雜度，提高運(yùn)算效率;同時(shí)，模型中一些水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)，尤其是高階非線性導(dǎo)數(shù)的物理意義并不明確，通過(guò)模型試驗(yàn)也很難得到這些導(dǎo)數(shù)，但從機(jī)理分析的角度并不能很好地對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，而靈敏度分析則可以解決這一問(wèn)題。

另外，系統(tǒng)辨識(shí)加自航模試驗(yàn)或?qū)嵆叨仍囼?yàn)的方法被廣泛應(yīng)用于水面船舶操縱運(yùn)動(dòng)建模，而辨識(shí)建模的精度同水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度密切相關(guān)。Rhee和Kim［1］對(duì)水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度與其辨識(shí)精度的關(guān)系進(jìn)行分析，指出靈敏度較大的水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)往往能夠得到比較接近真值的估計(jì)值，而對(duì)模型貢獻(xiàn)較小的參數(shù)一般很難得到。這一結(jié)果一方面可以用來(lái)解釋辨識(shí)建模中一些水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)無(wú)法得到滿意結(jié)果的原因，另一方面表明可以通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)各水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度值進(jìn)行優(yōu)化，以達(dá)到最佳辨識(shí)效果。

船舶操縱水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度分析是計(jì)算水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)變化所引起的船舶運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量的改變。換言之，靈敏度分析是計(jì)算船舶運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量相對(duì)于水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。然而直接計(jì)算該偏導(dǎo)數(shù)難度較大，需要經(jīng)過(guò)復(fù)雜的理論推導(dǎo)并借助于高級(jí)程序語(yǔ)言進(jìn)行實(shí)現(xiàn)［2］。因此，通常使用的水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)靈敏度分析方法為間接方法，即不直接計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，而是使用船舶的操縱性指標(biāo)或運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)［3-5］。

本文擬采用靈敏度損失函數(shù)法，是間接方法的一種。與其他靈敏度分析方法相比，該方法計(jì)算簡(jiǎn)單且物理意義明確。通過(guò)計(jì)算靈敏度損失函數(shù)以確定水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)對(duì)整個(gè)操縱運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的影響權(quán)重，可直接得到各個(gè)水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)模型的權(quán)重因子，從而便于達(dá)成簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型的目的。文中以Mariner 船為研究對(duì)象，通過(guò)15°/15°Z 形仿真試驗(yàn)，對(duì)Abkowitz 模型中包含的40 個(gè)粘性類水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，并對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化;然后，采用簡(jiǎn)化模型和原始模型進(jìn)行25°/25°操縱運(yùn)動(dòng)仿真，通過(guò)2 種仿真結(jié)果的對(duì)比，對(duì)所提出的靈敏度分析方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 船舶操縱運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

本文所使用的船舶運(yùn)動(dòng)模型為整體型船舶操縱運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，即Abkowitz 模型。原始Abokowitz 模型共包含5 個(gè)慣性類水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)和60 個(gè)粘性類水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)，根據(jù)Chislett 的試驗(yàn)結(jié)果，粘性類水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)被簡(jiǎn)化為40 個(gè)［6］。根據(jù)文獻(xiàn)［7］中的無(wú)因次化模型可表示如下:

式中:上標(biāo)‘′’代表該參數(shù)為無(wú)因次化參數(shù);m 為船舶質(zhì)量;Iz為關(guān)于z 軸的慣性矩;xG為船舶重心的縱向坐標(biāo);Δ，Δ和Δ分別為縱向加速度、橫向加速度和轉(zhuǎn)首角加速度;為慣性類水動(dòng)力導(dǎo)數(shù);Δf1，Δf2和Δf3分別為縱向水動(dòng)力、橫向水動(dòng)力和轉(zhuǎn)首水動(dòng)力矩。其詳細(xì)表達(dá)式如下:

各水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的因次轉(zhuǎn)化關(guān)系可參考文獻(xiàn)［8］。其他參數(shù)的因次轉(zhuǎn)化如下:

式中:L 為船體長(zhǎng)度;ρ 為海水密度;U 為合成速度。通常以船舶勻速直航時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作為基準(zhǔn)，其速度設(shè)為u0，則各運(yùn)動(dòng)變量可計(jì)算如下:

其合成速度為:

2 損失函數(shù)法

基于損失函數(shù)法的靈敏度分析是根據(jù)船舶操縱運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果進(jìn)行損失函數(shù)的計(jì)算，損失函數(shù)的計(jì)算結(jié)果即為靈敏度值。Perez 根據(jù)船舶四自由度數(shù)學(xué)模型定義了船舶橫蕩-搖首靈敏度損失函數(shù)和橫搖損失函數(shù)［9］。橫蕩-搖首靈敏度損失函數(shù)如下:

本文采用的縱蕩-橫蕩-搖首三自由度靈敏度損失函數(shù)定義如下:

3 靈敏度分析結(jié)果

選取Mariner 船為研究對(duì)象，無(wú)因次化的水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)來(lái)源于文獻(xiàn)［8］。在仿真中設(shè)采樣間隔為0.5 s，樣本數(shù)取為1 200，執(zhí)行15°/15° Z 形仿真試驗(yàn)以計(jì)算各水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)。使用損失函數(shù)法進(jìn)行靈敏度分析的詳細(xì)流程為:

步驟1 使用文獻(xiàn)［7］中的水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)進(jìn)行15°/15°Z 形仿真試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算

步驟2 改變水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)X′u，令X′u= (1 +10%)X′u，保持其他水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)不變;

步驟3 進(jìn)行15°/15°Z 形仿真試驗(yàn)，根據(jù)計(jì)算結(jié)果計(jì)算

步驟5 根據(jù)步驟2 ～步驟4，遍歷所有水動(dòng)力導(dǎo)數(shù);

步驟6 將水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的改變量依次變?yōu)?10%、+50%、-50%，重復(fù)步驟2 ～步驟5。

以水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)X′u為例，改變一定百分比后的操縱運(yùn)動(dòng)仿真對(duì)比如圖1 所示。

圖1 X′u 改變后15°/15° Z 形試驗(yàn)中的縱向速度Fig.1 After The Change Of X′u，15°/15° Z′s Longitudinal Velocity In The Test

經(jīng)過(guò)計(jì)算，可得到各個(gè)水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的損失函數(shù)如表1 ～表3 所示。

表1 縱向水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)值后計(jì)算得到的靈敏度損失函數(shù)Tab.1 The Longitudinal Hydrodynamic Derivative Sensitivity Loss Function Value

表2 橫向水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)Tab.2 The Horizontal Hydrodynamic Derivative Sensitivity Loss Function Value

表3 搖首水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)Tab.3 The Yaw Hydrodynamic Derivative Sensitivity Loss Function Value

從表1 ～表3 可發(fā)現(xiàn):

1)對(duì)大部分水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)而言，改變+10%與-10%所計(jì)算得到的靈敏度損失函數(shù)值基本相同;改變+50%與-50%的情況與之相近，但差別相對(duì)較大;

2)水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)改變+50%、 -50%所得到的靈敏度損失函數(shù)值，基本相當(dāng)于改變+10%、 -10%所得到的靈敏度損失函數(shù)值的5 倍;

3)各水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度值差別很大，部分水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)值近似為0，表明該水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的改變對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)模型幾乎沒(méi)有影響;

為便于對(duì)各水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的靈敏度進(jìn)行分析，根據(jù)表1 ～表3 中的損失函數(shù)值和分析結(jié)果，采用式(10)對(duì)各水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的平均損失函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算:

得到各水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的平均損失函數(shù)值如表4 所示。

表4 水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的平均靈敏度損失函數(shù)Tab.4 The Hydrodynamic Derivative Sensitivity On Average Loss Function Value

根據(jù)表4 定義水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的取舍函數(shù):

根據(jù)式(11)，可以把水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)化至24 個(gè)，水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)可簡(jiǎn)化為0。

保持剩余的24 個(gè)水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)不變，即可得到簡(jiǎn)化的Abkowitz 模型?；诤?jiǎn)化模型和包含所有水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)的原始模型，分別進(jìn)行25°/25°Z 形仿真試驗(yàn)，其對(duì)比結(jié)果如圖2 ～圖3 所示。從圖中可看出，模型簡(jiǎn)化后，各運(yùn)動(dòng)參數(shù)的改變很小，仍然能夠精確地進(jìn)行船舶操縱運(yùn)動(dòng)預(yù)報(bào)，這表明損失函數(shù)法進(jìn)行船舶操縱水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)靈敏度分析可行。

圖2 25°/25°Z 形仿真中縱向速度和橫向速度時(shí)歷曲線Fig.2 In 25°/25°Z Simulation The Curve Of Horizontal And Vertical Speed

圖3 25°/25°Z 形仿真中搖首角速度、舵角和首搖角時(shí)歷曲線Fig.3 In 25°/25°Z Simulation The Curve Of Yaw Angular Velocity、Rudder Angle And Yaw Angle

4 結(jié) 語(yǔ)

本文提出使用靈敏度損失函數(shù)法對(duì)船舶操縱水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，并對(duì)Abkowitz 模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。文中以Mariner 船為研究對(duì)象，基于15°/15°Z 形仿真計(jì)算得到了各水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)改變+10%， -10%，+ 50%， - 50% 后的損失函數(shù)值，通過(guò)定義平均損失函數(shù)值計(jì)算公式和取舍函數(shù)，將Abkowitz 模型中包含的40 個(gè)粘性類水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)化至24 個(gè)。對(duì)比簡(jiǎn)化模型和原始模型的25°/25°Z 形仿真試驗(yàn)，表明損失函數(shù)法應(yīng)用于船舶操縱水動(dòng)力導(dǎo)數(shù)靈敏度分析的有效性。

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