田 鑫 洪啟宇 鄭需要

（中國(guó)北京100081中國(guó)地震局地球物理研究所）

引言

地殼介質(zhì)普遍存在著不同程度的地震各向異性（Thomsen，1986）.這種各向異性可能是由于巖石裂隙和裂縫，薄層的周期排列，應(yīng)力引起的巖石顆粒、空隙和晶體的定向排列等原因所引起.無(wú)論地震波在各向同性還是在各向異性介質(zhì)中傳播均遵守Christoffel方程（ˇCerveny，2001）.地震波在各向同性介質(zhì)中傳播有P波和S波，兩種波均為線(xiàn)性偏振波，P波的傳播方向與偏振方向相同，S波的傳播方向與偏振方向垂直，且兩種波的相速度與波的傳播方向無(wú)關(guān).與波在各向同性介質(zhì)中傳播不同，在各向異性介質(zhì)中，波的相速度和偏振矢量是傳播方向的函數(shù)，一般情況下波的偏振矢量既不平行也不垂直于波的傳播方向.同時(shí)，S波在各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)還會(huì)發(fā)生分裂現(xiàn)象.在各向異性介質(zhì)中，除了少數(shù)簡(jiǎn)單介質(zhì)（如橫向各向同性VTI介質(zhì)）外，一般Christoffel方程的特征根和特征矢量的表達(dá)式都不是彈性參數(shù)的解析函數(shù).由于多種地殼巖石都是弱各向異性介質(zhì)（Thomsen，1986），所以可以運(yùn)用微擾理論對(duì)Christoffel方程進(jìn)行求解，以獲得特征根和特征矢量的近似解析表達(dá)式（Jech，P?enˇcík，1989；Zheng，2004）.其中，qP波的表達(dá)式是線(xiàn)性的，qS波的是非線(xiàn)性的.Zheng和P?enˇcík（2002）同時(shí)考慮介質(zhì)相對(duì)于參考介質(zhì)的擾動(dòng)和波傳播方向的擾動(dòng)，得到了更為普遍的關(guān)于qP波的解析表達(dá)式.基于微擾理論，Zheng（2004）得到了關(guān)于qP波和qS波的反演方程，并且給出了已知qP波和qS波慢度矢量的1，2或3個(gè)分量以及偏振矢量情況下反演介質(zhì)WA參數(shù)的公式.

地震各向異性理論在地震學(xué)和地球物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.在地震勘探中，利用多條變偏VSP能夠準(zhǔn)確地確定介質(zhì)的WA參數(shù)和地震波傳播的相速度（鄭需要等，2010；劉憲彬，鄭需要，2013）.如果使用慢度矢量的全部3個(gè)分量，可以很容易地確定介質(zhì)的各向異性參數(shù)，而偏振矢量可以作為輔助信息和約束條件參與WA參數(shù)的反演計(jì)算.然而在許多情況下，由于多種原因不能得到慢度矢量的所有3個(gè)分量.如果仍想確定介質(zhì)的各向異性性質(zhì)，就必須知道偏振矢量.在野外觀測(cè)中，如果僅有一個(gè)鉆井存在，嚴(yán)格地講，只能獲得慢度矢量的垂向分量和波的偏振矢量.在這種情況下，我們?nèi)匀幌Ｍ@得介質(zhì)的各向異性性質(zhì).本文將詳細(xì)介紹如何利用一條變偏VSP剖面和兩個(gè)相互正交的變偏VSP剖面計(jì)算介質(zhì)各向異性參數(shù)的方法，并將此方法應(yīng)用到兩條相互正交變偏VSP測(cè)線(xiàn)實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的反演和解釋中，同時(shí)對(duì)所獲得的各向異性參數(shù)和相速度分布進(jìn)行較為詳盡的討論.

1 各向異性正演公式

P?enˇcík和 Gajewski（1998）以及 Zheng和 P?enˇcík（2002）曾對(duì)地震波在各向異性介質(zhì)中的傳播理論進(jìn)行詳細(xì)描述.為方便閱讀起見(jiàn)，本節(jié)和下面幾節(jié)將給出常用的基本公式.

地震波在各向同性和各向異性介質(zhì)中傳播均滿(mǎn)足Christoffel方程 （ˇCerveny，2001），即

式中：ˉΓjk＝aijklninl表示Christoffel矩陣元素，ni為波傳播方向的單位矢量，aijkl為各向同性或各向異性介質(zhì)中密度歸一化的彈性參數(shù)張量；ˉGm＝v2m（m＝1，2，3）表示Christoffel矩陣的3個(gè)特征根；g（m）j為對(duì)應(yīng)的特征矢量；vm為波傳播的相速度，m＝1，2和3分別代表各向異性介質(zhì)中3種不同的波（qS1波、qS2波和qP波）.如果介質(zhì)的各向異性比較弱，就可以利用擾動(dòng)理論對(duì)Christoffel方程進(jìn)行線(xiàn)性化近似求解，以獲得地震波在弱各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)的解析表達(dá)式.

對(duì)于qP波可以得到相速度和偏振矢量的表達(dá)式為

式中：pi為慢度矢量；被稱(chēng)為弱各向異性矩陣元素（見(jiàn)附錄），＝1，2，3）是沿射線(xiàn)坐標(biāo)系中相互正交的3個(gè)單位矢量（P?enˇcík，Gajewski，1998），其與波傳播方向n的關(guān)系為；α和β分別表示地震波在各向同性參考介質(zhì)中P波和S波的速度.

式（2）是Christoffel方程的一個(gè)特征根，偏振矢量公式（3）是與特征根對(duì)應(yīng)的特征矢量.如果我們知道WA參數(shù)和波傳播的方向，就可以使用公式（2）和（3）計(jì)算qP波在該方向傳播的相速度和偏振矢量.這兩個(gè)公式通常被稱(chēng)為慢度公式和偏振公式.公式（2）和（3）的右邊都包含有與彈性參數(shù)相聯(lián)系的WA參數(shù)，左邊是相速度和偏振矢量（Zheng，2004）.

2 各向異性反演公式

地震波（qP波或兩個(gè)qS波）在弱各向異性介質(zhì)中傳播，其慢度矢量可以表示為

式（4）中，如果忽略Δξ，Δζ和Δη的二次項(xiàng)，可以得到慢度平方的近似表達(dá)式為

比較式（2）與（5），可以得到

把式（3）的兩邊分別乘以e（K）i（K＝1，2）可以得到

使用式（6）和（7）可以對(duì)qP波進(jìn)行線(xiàn)性化反演.公式（6）和（7）的左邊是15個(gè)待求的WA參數(shù)，右邊是野外觀測(cè)到的物理量，表示qP波的偏振矢量和慢度矢量.這15個(gè)WA參數(shù)能夠很好地確定qP波在弱各向異性介質(zhì)中的傳播過(guò)程.假如我們能夠在觀測(cè)中知道慢度矢量的3個(gè)分量，那么僅利用式（6）就可以完全確定一般弱各向異性介質(zhì)與qP波相聯(lián)系的15個(gè)WA參數(shù)，這時(shí)式（7）可以作為輔助或約束條件參加反演（Zheng，2004）.

多種原因使得野外觀測(cè)受到限制.例如，由于經(jīng)費(fèi)原因，不可能為了得到慢度矢量的水平分量而同時(shí)鉆兩口相距很近的井.在許多實(shí)際地震觀測(cè)中，我們經(jīng)常不能得到慢度矢量的所有3個(gè)分量（Horne，Leaney，2000）.如果根據(jù)觀測(cè)僅僅得到慢度矢量的一個(gè)或兩個(gè)分量，那么就很難確定所有獨(dú)立的WA參數(shù).在這種情況下，利用偏振矢量信息就能使反演順利進(jìn)行.在公式（6）和（7）中，可以消去qP波慢度矢量的兩個(gè)水平分量，得到一個(gè)與慢度矢量水平分量無(wú)關(guān)的方程：

式中，η（P）為參考介質(zhì)中P波慢度矢量的垂直分量，Δη（qP）為觀測(cè)到的qP波慢度矢量的垂直分量的擾動(dòng)值.在偏振矢量和慢度矢量的一個(gè)分量已知的情況下，式（8）是反演介質(zhì)WA參數(shù)的一般公式.

反演公式（6）、（7）和（8）中有15個(gè)相互獨(dú)立的WA參數(shù).若要唯一確定這15個(gè)參數(shù)，需布設(shè)5條變偏VSP剖面（P?enˇcík，Gajewski，1998）.如果僅使用一條變偏 VSP剖面，則可得到5個(gè)相互獨(dú)立的WA參數(shù).假定剖面和井所構(gòu)成的平面與（x，z）平面相同，qP波在這個(gè)平面內(nèi)傳播時(shí)，慢度矢量分量在n2方向（y軸）的投影等于零.這時(shí)式（8）中有5個(gè)獨(dú)立的 WA參數(shù)，它們是εx，εz，δx，ε15和ε35，這5個(gè)參數(shù)完全決定了在（x，z）平面內(nèi)傳播的qP波的性質(zhì).利用qP波可以反演得到5個(gè)獨(dú)立的WA參數(shù).在兩個(gè)相互正交的變偏VSP剖面下，取第一個(gè)位于（x，z）面，第二個(gè)位于（y，z）面.如果分別對(duì)兩個(gè)剖面進(jìn)行反演，對(duì)于每一個(gè)剖面都可以得到5個(gè)WA參數(shù)，其中有一個(gè)共同的參數(shù)是εz.如果對(duì)兩個(gè)剖面進(jìn)行聯(lián)合反演，則可得到9個(gè)相互獨(dú)立的WA參數(shù).除了上面的5個(gè)WA參數(shù)外，剩余的4個(gè)參數(shù)為εy，δy，ε14和ε24.這9個(gè) WA參數(shù)完全決定了（x，z）和（y，z）兩個(gè)平面內(nèi)介質(zhì)的各向異性性質(zhì).εx，εy和εz分別代表地震波沿3個(gè)坐標(biāo)軸方向傳播時(shí)的各向異性大小.當(dāng)?shù)卣鸩▊鞑シ较蛟趚oz和yoz平面內(nèi)偏離z軸一個(gè)較小角度時(shí)，δx和δy近似代表地震波沿該方向的各向異性（Thomsen，1986）.這兩個(gè)參數(shù)在各向異性反射地震觀測(cè)研究中有著重要應(yīng)用，其它4個(gè)WA參數(shù)則與介質(zhì)的對(duì)稱(chēng)性有關(guān).

3 從一般弱各向異性介質(zhì)中計(jì)算近似的TTI各向異性參數(shù)

VTI介質(zhì)是一種最簡(jiǎn)單并且研究最廣泛的各向異性介質(zhì).不僅是因?yàn)檫@種介質(zhì)簡(jiǎn)單，更重要的是因?yàn)榈卣鸩ㄔ赩TI介質(zhì)中傳播，其相速度和偏振矢量均有解析表達(dá)式.VTI介質(zhì)有5個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，當(dāng)其對(duì)稱(chēng)軸沿水平方向時(shí)，稱(chēng)為HTI介質(zhì)；如果其對(duì)稱(chēng)軸指向空間任意方向，則稱(chēng)為T(mén)TI介質(zhì).盡管TTI介質(zhì)可能有21個(gè)彈性參數(shù)，但獨(dú)立的參數(shù)仍然是5個(gè).雖然VTI介質(zhì)的相速度和偏振矢量有解析表達(dá)式，但是非常復(fù)雜，它們是彈性參數(shù)的非線(xiàn)性函數(shù).Thomsen（1986）在假定介質(zhì)為弱各向異性的情況下，對(duì)VTI介質(zhì)進(jìn)行線(xiàn)性化解釋?zhuān)玫搅擞?個(gè)簡(jiǎn)單參數(shù)描述該介質(zhì)的相速度，其中ε，δ和γ稱(chēng)為T(mén)homsen參數(shù).

在介質(zhì)為弱各向異性的條件下，一般用21個(gè)弱各向異性參數(shù)進(jìn)行描述（P?enˇcík，Gajewski，1998；Zheng，2004）.對(duì)于qP波，需要15個(gè)WA參數(shù)進(jìn)行描述（見(jiàn)附錄）.如前所述，要完全決定這15個(gè) WA參數(shù)，至少需要5條測(cè)線(xiàn)（P?enˇcík，Gajewski，1998；Zheng，2004）.在兩條測(cè)線(xiàn)的情況下，可以確定9個(gè)WA參數(shù).為了更好地解釋這9個(gè)參數(shù)，我們尋找最接近這種介質(zhì)的TTI介質(zhì)所對(duì)應(yīng)的WA參數(shù).對(duì)于qP波，TTI介質(zhì)可以用兩個(gè)代表方向的參數(shù)和3個(gè) WA參數(shù)（或者Thomsen參數(shù)）進(jìn)行描述，它們是φ，θ，εz，εx和δx.其中φ為對(duì)稱(chēng)軸的方位角，θ為對(duì)稱(chēng)軸與z軸正方向的夾角.

假定在坐標(biāo)系（x，y，z）里VTI介質(zhì)用5個(gè)WA參數(shù)表示（其中3個(gè)參數(shù)描述qP波），該介質(zhì)的對(duì)稱(chēng)軸沿z方向.為方便起見(jiàn)，我們把該坐標(biāo)系稱(chēng)為自然坐標(biāo)系.首先將自然坐標(biāo)系（x，y，z）繞y軸旋轉(zhuǎn)角度θ，得到新的坐標(biāo)系（x′，y′，z′）.在新的坐標(biāo)系中，盡管VTI介質(zhì)中的qP波可以用9個(gè)WA參數(shù)描述，但它們并不獨(dú)立.它們與自然坐標(biāo)系里的3個(gè)獨(dú)立的WA參數(shù)之間的關(guān)系可以用附錄中式（A5）表示（Zheng，2007）.

如果把剛得到的新的坐標(biāo)系（x′，y′，z′）中的9個(gè)WA參數(shù)再?lài)@坐標(biāo)軸z′旋轉(zhuǎn)角度－φ，在新的坐標(biāo)系（x″，y″，z″）中得到對(duì)稱(chēng)軸為任意指向的TTI介質(zhì)，其WA參數(shù)由附錄中式（A6）給出.在（x″，y″，z″）坐標(biāo)系里，如果有兩個(gè)相互正交的剖面，其中一個(gè)沿x″軸，另一個(gè)沿y″軸.如前所述，沿這兩個(gè)坐標(biāo)軸，對(duì)于qP波有9個(gè)獨(dú)立的WA參數(shù)，即

如果將附錄中式（A8）代入式（9），可以得到任意坐標(biāo)系中TTI介質(zhì)在兩個(gè)相互正交的坐標(biāo)平面（x，z）和（y，z）內(nèi)的9個(gè)WA參數(shù)和自然坐標(biāo)系中的3個(gè)WA參數(shù)的關(guān)系.

從附錄中式（A6）可以得到沿x″軸和y″軸的TTI介質(zhì)各向異性矩陣元素分別為

如果將式（9）和附錄中式（A5）代入式（10）和式（11），可以得到弱各向異性矩陣元素為T(mén)TI介質(zhì)中3個(gè)WA參數(shù)和對(duì)稱(chēng)軸的兩個(gè)方向參數(shù)的函數(shù).

利用式（9）、（10）、（11）和附錄中式（A5），可以構(gòu)造最小二乘公式為

為了得到自然坐標(biāo)系（x，y，z）中的VTI介質(zhì)的3個(gè)WA參數(shù)，需要給出VTI介質(zhì)的對(duì)稱(chēng)軸方向，然后利用附錄中式（A8）和式（9）求解式（12）的最小二乘解.通過(guò)尋找相速度最小誤差的最小二乘解，可以得到最接近一般各向異性介質(zhì)的VTI介質(zhì)的對(duì)稱(chēng)軸方向和3個(gè)WA參數(shù).同理，利用該方法也可以得到與一般弱各向異性介質(zhì)最接近的正交各向異性介質(zhì)參數(shù).對(duì)于qP波，描述其正交各向異性介質(zhì)的參數(shù)為對(duì)稱(chēng)軸的3個(gè)方向參數(shù)和6個(gè)WA參數(shù)，其數(shù)量正好與由兩條相互正交的測(cè)線(xiàn)得到的9個(gè)WA參數(shù)數(shù)量相同.

4 慢度矢量分量與偏振矢量的計(jì)算

4.1 慢度矢量分量的計(jì)算

本文研究的變偏VSP地震資料取自瓜哇海地區(qū)布設(shè)的兩條相互正交的變偏VSP測(cè)線(xiàn).其中測(cè)線(xiàn)1方位角為40°，測(cè)線(xiàn)2方位角為130°.兩條測(cè)線(xiàn)上分別布設(shè)了320個(gè)和324個(gè)震源，分布在鉆孔兩側(cè)－3.24—3.24km的范圍內(nèi)，相鄰震源間隔約為20m.在鉆孔3.0—3.1km深度范圍內(nèi)等距離布設(shè)10個(gè)三分量檢波器，相鄰檢波器間距為10m.數(shù)據(jù)由下行（直達(dá)波）和上行（反射）qP波和qS波組成.本文僅研究qP波的反演問(wèn)題.

變偏VSP走時(shí)曲線(xiàn)可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是共炮點(diǎn)走時(shí)曲線(xiàn)，即地表炮點(diǎn)為震源，井中不同深度的檢波器為接收點(diǎn)，通常橫坐標(biāo)表示深度（km），縱坐標(biāo)表示地震波走時(shí)；另一類(lèi)是共接收點(diǎn)（或檢波器）走時(shí)曲線(xiàn)，根據(jù)地震波走時(shí)互易原理，可以假定接收點(diǎn)為震源，炮點(diǎn)接收地震波.通常取炮點(diǎn)到井口的連線(xiàn)方向?yàn)闄M坐標(biāo)，走時(shí)為縱坐標(biāo).首先在地震圖中拾取P波初至，將初至分別按共炮點(diǎn)和共接收點(diǎn)組成走時(shí)曲線(xiàn).沿測(cè)線(xiàn)1獲得了10條共接收點(diǎn)走時(shí)曲線(xiàn)，320條共炮點(diǎn)走時(shí)曲線(xiàn)；沿測(cè)線(xiàn)2獲得了10條共接收點(diǎn)走時(shí)曲線(xiàn)，324條共炮點(diǎn)走時(shí)曲線(xiàn).接收點(diǎn)處慢度矢量的垂直分量可以通過(guò)計(jì)算共炮點(diǎn)走時(shí)曲線(xiàn)的斜率得到，但接收點(diǎn)處的水平分量并不能直接獲得.因?yàn)榈卣鸩ǖ淖邥r(shí)具有互易性，如果介質(zhì)是橫向均勻的，則炮點(diǎn)到接收點(diǎn)的走時(shí)等于接收點(diǎn)到炮點(diǎn)的走時(shí).在這種情況下，可以把接收點(diǎn)當(dāng)作炮點(diǎn)，利用共接收點(diǎn)的走時(shí)計(jì)算慢度矢量的水平分量.當(dāng)介質(zhì)橫向非均勻性比較弱時(shí)，所得結(jié)果可作為一個(gè)近似；如果介質(zhì)的橫向非均勻性很強(qiáng)，就不能得到接收點(diǎn)處的水平分量.若想得到水平分量，必須在鄰近的井中放入檢波器進(jìn)行觀測(cè).共接收點(diǎn)和共炮點(diǎn)走時(shí)曲線(xiàn)一般情況下都不光滑，它們的一階導(dǎo)數(shù)均不連續(xù)甚至不存在.為了得到可靠的慢度矢量分量，必須對(duì)走時(shí)曲線(xiàn)進(jìn)行光滑處理.本文使用最小二乘三次樣條函數(shù)對(duì)走時(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，三次樣條函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)即為接收點(diǎn)處慢度矢量的垂直分量和水平分量.

4.2 偏振矢量的計(jì)算

檢波器記錄到的P波的偏振矢量是由三分量地震圖的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡合成得到的.由于多種原因，P波的偏振矢量常常偏離線(xiàn)性偏振.為了得到P波的線(xiàn)性偏振矢量，需要使用空間三維最小二乘法擬合P波質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

已知空間直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

式中，xc，yc和zc是直線(xiàn)上已知點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)該方程進(jìn)行整理得到直線(xiàn)的射影式方程為x＝X（z－zc）／Z＋xc，y＝Y(jié)（z－zc）／Z＋yc，即

式中，a＝X／Z，b＝Y(jié)／Z.式中的兩個(gè)方程均為三維平面方程，如果這兩個(gè)平面的法線(xiàn)不一致，它們必然相交于一條直線(xiàn)，所以可以分別對(duì)兩個(gè)方程進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合（襲楊，2009），即

當(dāng)Q取最小值時(shí)，a值和b值即為方程的系數(shù).它們滿(mǎn)足

時(shí)，Q值最小.由式（15）和（16）可以得到

進(jìn)而可以得到P波偏振矢量的方向余弦為

對(duì)井中檢波器記錄到的P波在獲得初至和振幅最大值的基礎(chǔ)上，截取時(shí)間長(zhǎng)度等于初至到最大振幅之間時(shí)間長(zhǎng)度3倍的地震記錄數(shù)據(jù)，利用上面推導(dǎo)出的公式計(jì)算P波的偏振矢量.計(jì)算過(guò)程中使用了質(zhì)心公式，避免出現(xiàn)奇異解的可能性.

5 實(shí)際資料反演

Zheng和P?enˇcík（2002）以及Zheng（2004）曾利用數(shù)值模擬方法分別對(duì)3個(gè)和5個(gè)變偏VSP剖面進(jìn)行正反演計(jì)算，并對(duì)反演結(jié)果進(jìn)行了理論分析和討論.這里我們使用式（6）—（8）對(duì)在瓜哇海地區(qū)獲得的兩條相互正交的變偏VSP測(cè)線(xiàn)資料進(jìn)行反演計(jì)算.

我們從檢波器記錄到的來(lái)自所有震源的三分量地震數(shù)據(jù)中獲得了偏振矢量和慢度矢量的垂直分量和水平分量.在對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，發(fā)現(xiàn)有些數(shù)據(jù)包含較大的誤差，對(duì)反演結(jié)果有很大的影響.因此，在反演中我們沒(méi)有使用相對(duì)誤差大于30%的數(shù)據(jù).每個(gè)接收點(diǎn)處的參考速度是綜合考慮測(cè)井資料和觀測(cè)到的慢度矢量得到的.由于反演公式除了假設(shè)介質(zhì)是弱各向異性外，沒(méi)有其它任何假定條件，因此其完全適用于任意復(fù)雜介質(zhì)，特別是不受上覆介質(zhì)和介質(zhì)的橫向非均勻性的影響.

在反演中，可以單獨(dú)使用下行波，也可以單獨(dú)使用上行波（反射波），還可以聯(lián)合使用下行波和上行波.因?yàn)樯闲胁ㄖ写嬖谳^大的誤差，我們沒(méi)有單獨(dú)使用上行波進(jìn)行反演.下面主要給出聯(lián)合使用下行波和上行波進(jìn)行反演的結(jié)果.

圖1 10個(gè)接收點(diǎn)所在深度處的介質(zhì)各向異性相速度分布曲線(xiàn)綠色和黑色曲線(xiàn)分別表示測(cè)線(xiàn)1和測(cè)線(xiàn)2的相速度分布，紅色和藍(lán)色曲線(xiàn)分別表示測(cè)線(xiàn)1和測(cè)線(xiàn)2與一般各向異性最接近的TTI介質(zhì)的相速度分布Fig.1 Phase velocity distribution of qP wave at ten receivers with different depth for line 1（green）and line 2（black）obtained by inversion in general anisotropic medium.Red curve represents phase velocity for line 1and blue curve for line 2corresponding to TTI model.The depth of ten receivers is 3.00，3.01，3.02，…，3.09km in order

圖1 給出了反演得到的10個(gè)接收點(diǎn)所在深度處的介質(zhì)各向異性相速度分布圖.橫軸表示P波傳播方向與z軸正方向的夾角，縱軸表示相速度分布值.橫軸正方向與測(cè)線(xiàn)方位方向一致，橫軸負(fù)方向?yàn)殡x開(kāi)井口與測(cè)線(xiàn)的負(fù)方向一致.如果介質(zhì)是各向同性，則反演得到的每個(gè)接收點(diǎn)不同方位測(cè)線(xiàn)下的介質(zhì)的相速度分布應(yīng)該是一條直線(xiàn)，不隨波傳播的方向而變化.顯然，從圖1中可以看出，所有不同深度接收點(diǎn)處的介質(zhì)均呈現(xiàn)不同程度的各向異性，介質(zhì)的相速度不僅與測(cè)線(xiàn)的方位有關(guān)，而且與波傳播方向與垂直軸的夾角有關(guān).對(duì)兩條測(cè)線(xiàn)所表示的曲線(xiàn)進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，大部分接收點(diǎn)處介質(zhì)相速度分布比較一致，但是第6個(gè)接收點(diǎn)處的兩條測(cè)線(xiàn)得到的相速度分布存在較大差別.表1給出了使用一般各向異性介質(zhì)反演得到的9個(gè) WA參數(shù)，其中εx，εy和εz的極大值分別是0.047，0.055和0.082，依次出現(xiàn)在第3個(gè)接收點(diǎn)和第4個(gè)接收點(diǎn).特別應(yīng)該指出的是，WA參數(shù)的最大值出現(xiàn)在第9個(gè)接收點(diǎn)，它們是δx和δy，其值分別為0.311和0.248，仍然在合理的范圍內(nèi)（Thomsen，1986）.

表1 使用一般各向異性介質(zhì)反演得到的WA參數(shù)Table 1 WA parameters obtained by inversion based on the general anisotropic medium

使用兩個(gè)相互正交的剖面，對(duì)于qP波我們得到了9個(gè)獨(dú)立的WA參數(shù).盡管9個(gè)獨(dú)立參數(shù)不能完全確定一般任意各向異性介質(zhì)（任意各向異性介質(zhì)有15個(gè)獨(dú)立的參數(shù)），但是它們能夠確定具有高度對(duì)稱(chēng)性的各向異性介質(zhì).對(duì)于正交各向異性介質(zhì)，如果僅使用qP波，則需要6個(gè)獨(dú)立的WA參數(shù)和3個(gè)方向參數(shù).對(duì)于TTI介質(zhì)，使用qP波需要3個(gè)獨(dú)立的WA參數(shù)和兩個(gè)方向參數(shù).因此可以看出，用兩個(gè)相互正交的剖面可以確定介質(zhì)是否為正交各向異性介質(zhì)或TTI介質(zhì).我們使用第3節(jié)中給出的方法計(jì)算了與一般各向異性介質(zhì)最接近的TTI介質(zhì)的各向異性參數(shù).從圖1中可以看出代表TTI介質(zhì)的相速度分布與其對(duì)應(yīng)的一般各向異性介質(zhì)相速度分布的差別.有的接收點(diǎn)處相速度分布差別比較大，有的差別比較小.相速度分布差別較大的說(shuō)明一般各向異性介質(zhì)偏離TTI各向異性介質(zhì)，差別較小的意味著一般各向異性介質(zhì)更接近于TTI各向異性介質(zhì).在所有的接收點(diǎn)中，第7個(gè)接收點(diǎn)處兩條測(cè)線(xiàn)對(duì)應(yīng)的相速度最為接近.如果一般各向異性介質(zhì)與TTI各向異性介質(zhì)的相速度分布很接近，則可以認(rèn)為該接收點(diǎn)處的介質(zhì)為T(mén)TI介質(zhì).

表2給出了從一般各向異性介質(zhì)參數(shù)中求得的與其最接近的TTI介質(zhì)的WA參數(shù)（εz，εx和δx）和TTI介質(zhì)的對(duì)稱(chēng)軸方向參數(shù)（φ和θ）.其中第2列是各個(gè)接收點(diǎn)處P波的參考速度，其與一般各向異性反演時(shí)使用的參考速度相同（表1中第2列）.可以看出，第4個(gè)和第9個(gè)接收點(diǎn)處介質(zhì)具有很強(qiáng)的各向異性，εz的絕對(duì)值分別為0.421和0.327.從對(duì)稱(chēng)軸的兩個(gè)方向參數(shù)可以看出，所有接收點(diǎn)處的介質(zhì)既不是VTI（對(duì)稱(chēng)軸沿垂直方向）介質(zhì)也不是HTI（對(duì)稱(chēng)軸沿水平方向）介質(zhì)，因?yàn)槠鋵?duì)稱(chēng)軸與z軸的夾角既不等于0°也不等于90°.

表2 TTI介質(zhì)的各向異性參數(shù)和對(duì)稱(chēng)軸方向Table 2 WA parameters and symmetry direction parameters of TTI media

6 討論與結(jié)論

在地殼介質(zhì)為弱各向異性介質(zhì)的假設(shè)下，我們從Zheng和P?enˇcík（2002）的一般弱各向異性反演公式（Zheng，2004）中得到了適用于兩條相互正交測(cè)線(xiàn)的 WA參數(shù)反演公式.在這種情況下，使用qP波可以確定9個(gè)獨(dú)立的WA參數(shù)，這9個(gè)參數(shù)可以完全地描述與兩條測(cè)線(xiàn)對(duì)應(yīng)的接收點(diǎn)處介質(zhì)的各向異性性質(zhì).為了尋找與一般各向異性介質(zhì)最接近的具有高對(duì)稱(chēng)性的正交各向異性介質(zhì)和TTI各向異性介質(zhì)，我們使用最小二乘方法和Zheng（2007）提出的qP波各向異性坐標(biāo)變換方法，得到了與一般各向異性介質(zhì)最接近的正交各向異性和TTI各向異性參數(shù)及其對(duì)稱(chēng)軸方向參數(shù)的計(jì)算公式.通過(guò)引入質(zhì)心計(jì)算方法，獲得了求取P波偏振矢量的計(jì)算公式.該方法計(jì)算簡(jiǎn)單、穩(wěn)定、高效，而且不存在解的奇異問(wèn)題.數(shù)值計(jì)算和實(shí)際資料處理結(jié)果表明，本文所使用的反演方法能夠很好地獲得井中接收點(diǎn)處介質(zhì)各向異性參數(shù)，是地震勘探中研究地殼介質(zhì)各向異性性質(zhì)最直接和最可靠的方法.然而，我們尚未對(duì)qS波進(jìn)行處理和解釋?zhuān)?lián)合使用qP和qS波進(jìn)行反演可以對(duì)介質(zhì)的各向異性作出更全面的、完整的解釋?zhuān)@將是我們下一步研究的方向.

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附錄 qP波弱各向異性矩陣元素和弱各向異性參數(shù)坐標(biāo)變換

1 qP波弱各向異性矩陣BMN的表達(dá)式

式中ni為波傳播的方向.

15個(gè)WA參數(shù)與密度歸一化的彈性參數(shù)的關(guān)系為

2 各向異性參數(shù)的坐標(biāo)變換