羅偉錦，楊蘭強，熊署丹

(1.浙江省工程勘察院，浙江寧波 315000;2.寧波市民用建筑設計研究院，浙江寧波 315000)

1 問題的提出

粗粒料具有壓實性能好、透水性強、填筑密度大、抗剪強度高、沉陷變形小、承載力高等工程特性，在自然界分布廣泛、儲量豐富，廣泛應用于土石壩、公路、鐵路、機場、堤壩、橋梁墩臺、人工筑島及地基處理等建筑工程。

由于粗粒料的顆粒棱角相對豐富，存在較多的缺陷，因此大部分粗粒料土體在高于常規(guī)應力狀態(tài)下會發(fā)生顯著的顆粒破碎現(xiàn)象，甚至有些粗粒料的母巖強度較低，在低應力水平下就已經發(fā)生了顆粒破碎現(xiàn)象。大量的文獻表明［1～8］:(1)顆粒破碎會造成土體的內摩擦角降低;(2)顆粒破碎造成土體較大的沉降變形;(3)顆粒破碎對土體的剪脹性具有一定的抑制作用等。

實際上，由于巖土材料性質的多樣性、復雜性，目前已發(fā)展出來的本構模型在強度、變形上的預測結果遠遠達不到工程要求，而粗粒料的顆粒破碎特性又進一步增加本構模型預測的難度。盡管目前很多學者針對此性質提出了相應的本構模型，但提出的本構模型的適用性較差，模型參數(shù)往往沒有明確的物理含義，使得本構模型的選擇及參數(shù)確定一直困擾著土石壩工程數(shù)值分析的設計工作者。

土力學中應用廣泛的本構模型有Rowe剪脹方程、鄧肯-張模型、K-G模型、劍橋模型和南水模型，這些模型均是在黏土或砂土的基礎上建立的，并且存在著各自的不足。比如，英國曼切斯特大學Rowe［9］(1962)假定沙礫滑動的情況，可以用兩塊剛性楔體在它們的分割面上滑動來模擬，并利用最小能比原理，提出緊密粒狀集合模型或應力與剪脹的關系，提出了著名的剪脹方程:

式中:φf——不包括剪脹和顆粒破碎影響的內摩擦角;

σ1'——有效軸向應力;

σ3'——有效圍壓應力;

εvp——塑性體積應變;

ε1p——塑性軸向應變。

Tzou-shin Ueng等［10］從顆粒平衡出發(fā)，結合最小能比原理，在Rowe剪脹方程的右端項引入含有破碎功的表達式來反映顆粒破碎對剪脹性的削弱作用，提出了考慮顆粒破碎的Rowe剪脹方程:

式中:Ku——能比系數(shù);

dEB——破碎耗能增量;

εv——體積應變;

ε1——軸向應變。

Salim等［11］在 Tzou-shin Ueng等人工作的基礎上，建立了破碎功和顆粒破碎率的關系，使該模型更具有適用性。遲世春等［12］根據 Rowe最小能比原理，推導了破碎修正的屈服函數(shù)微分方程。與原始Rowe剪脹模型相比，經過顆粒破碎修正的Rowe剪脹模型具有低剪脹性等明顯優(yōu)點。Mcdowell等［13］采用類似于修正Rowe剪脹模型的做法，在劍橋模型的能量方程中加入含有破碎功的表達式來考慮顆粒破碎的影響:

式中:Г——表面能;

dS——土顆粒表面積增量;

Vs——土顆粒體積;

p——體積應力;

q——剪切應力;

M——臨界狀態(tài)線斜率。

張丙印等［14］認為，堆石體在達到極限狀態(tài)之前的變形過程中體積是在不斷變化的，這時如用一個常數(shù)Ku來描述Rowe剪脹方程R=D·Ku，是不合適的，所以提出了Rowe剪脹方程的修正形式:

其中，α反映了應力比大小對堆石體剪脹性的影響，是一種材料常數(shù)。顯然當α=1時，式(4)退化為原始的Rowe剪脹方程。

孔德志［15］在通過水泥球模擬堆石料時，也同樣發(fā)現(xiàn)Rowe具有較大的剪脹性，為此將式(1)改寫為:

其中，d0為試驗參數(shù)，一般小于1.0。對于鋼珠模擬料試驗可得d0=0.71。顯然，當d0=1.0時，式(5)退化為原始的Rowe剪脹方程。

式(2)～(5)給出的本構模型均是考慮粗粒料的顆粒破碎特性、基于Rowe剪脹方程發(fā)展起來的。在一定范圍內有其適用意義，但是依然存在物理意義不明確、參量難以求解等問題。本文基于Rowe剪脹方程，從模型的基本特性展開討論，進而提出了考慮顆粒破碎的本構模型。

2 模型基本假設及其相關規(guī)定

由于巖土材料的復雜性，其不僅與土體的初始狀態(tài)(孔隙比、含水率、應力歷史等)有關，而且還與應力路徑等其他因素有關。為了更好地反映粗粒料的變形機理，這里必須做出一些假設，以期得到能夠反映粗粒料顆粒破碎、剪脹、不同應力路徑等性質的本構模型。本文所建立的模型僅考慮無黏性的飽和粗粒料，不考慮非飽和問題，不考慮應變具有明顯軟化的現(xiàn)象。

(1)在常規(guī)三軸試驗中，應力-應變曲線依然滿足雙曲線關系。

(2)土體在載荷作用下會經歷相對松散的狀態(tài)向密實狀態(tài)轉化。起始階段，體積應力對土體起主導作用，土體剪縮為主，e-p曲線滿足臨界狀態(tài)理論，elnp呈線性關系。

(3)密實階段，剪應力起主導作用，此時將逐漸形成剪切滑動面，土體容易產生剪脹現(xiàn)象，該階段滿足Rowe剪脹方程。

對于無黏性粗粒料，可采用兩種模型來模擬其應力—應變關系狀態(tài)，即:

(1)試樣從相對疏松狀態(tài)-相對致密狀態(tài)，以常規(guī)三軸為例，試樣以體積變形為主，此時試樣內部的剪切面還沒形成，試樣處于收縮狀態(tài)。如圖1(a)所示。

(2)達到相對密實后，剪應力處于主導地位，試樣內部形成剪切面，該過程滿足ROWE剪脹方程。如圖1(b)所示。

圖1 粗粒料的模型假設示意圖Fig.1 Sketch of the coarse aggregates model

為了更好地理解以下導出的公式，這里做一些簡要的規(guī)定。

(1)本文所導出的方程，應力符號均以壓為正，以拉為負。

(2)除了特殊說明，本文所標出的應力符號均為有效應力，而非總應力。

(3)內摩擦角均為有效內摩擦角，黏聚力為零。

3 模型建立

3.1 應力-應變關系

大量的試驗結果表明，采用Duncan-Chang模型中應力-應變曲線為雙曲線關系是可行的，滿足大部分粗粒料的變形關系，即:

式中:φ——內摩擦角;

pa——大氣壓力;

K，n，Kur，m——無量綱常數(shù);

Eur——卸載模量;

Rf——應力破壞比。

3.2 e-p曲線

粗粒料在等向壓縮試驗中，e-p曲線不僅與初始孔隙率、母巖強度等因素有關，顆粒破碎也會使得顆粒間填充得更加密實，從而由顆粒破碎形成多出的一部分體變。目前關于考慮顆粒破碎的e-p曲線理論尚未成熟，雖然有一部分學者做了嘗試，但是適用的粗粒料并不多。為此，為了更好地反映每一個粗粒料的e-p曲線，對每種試樣進行等向壓縮試驗，嘗試采用幾種較為經典的公式進行擬合，通過對比，選出最佳的e-p曲線，如:

其中，粗粒料的孔隙比與初始孔隙比e0、含水率w、體積應力p、相對破碎率Br等因素有關。

圖2為絹云母片巖粗粒料在等q試驗下的比體積v與lnp'之間的關系曲線。

圖2 等q試驗下的比體積v與lnp＇的關系曲線Fig.2 Relationship curve of v and lnp＇in the constant q tests

由圖2可知，絹云母片巖粗粒料在等向壓縮試驗中，比體積v與體應力p'的對數(shù)呈線性關系，且當q=200 kPa和q=400 kPa時，絹云母片巖比體積v與lnp'依然呈線性關系，且與q=0 kPa時的v-lnp'曲線相互平行。這說明對于砂土、堆石料等離散顆粒型無黏性土體，其固結特性與黏性土有很大差異。大量試驗研究表明［16～19］，無黏性土體的孔隙比與固結壓力之間不存在一一對應的關系，即在不同初始孔隙比下固結對應著不同的正常固結線，因此，在e-lnp'平面內不存在唯一的正常固結線，而是有無數(shù)條正常固結線，彼此之間也不平行。盡管粗粒料也存在無數(shù)條正常固結線，但是卻只存在唯一一條臨界狀態(tài)線。

通過試驗結果，絹云母片巖粗粒料的e-p曲線滿足臨界狀態(tài)理論，公式如下:

若采用增量形式，則表示為:

式中，λ，κ——v-ln(p)的斜率和回彈斜率，均為材料常數(shù);

N——p=1 kPa對應的 v0;

e0——初始孔隙率。

3.3 剪脹方程

對于粗粒料而言，剪脹性是較為明顯的特征。一般而言，相同圍壓下，初始干密度越大，剪脹性越明顯;初始干密度相同時，圍壓越大，剪脹性越小。由此可見，粗粒料的剪脹性與干密度、圍壓有關，實際上顆粒破碎對剪脹性也有明顯的影響。

Rowe剪脹方程通過雙楔體模型，利用最小能比原理，能在一定機理上反映土體的剪脹現(xiàn)象。為此，本文依然沿用Rowe剪脹方程:

變換一種形式為:

3.4 剪脹方程修正

圖3為絹云母片巖粗粒料的Rowe剪脹方程關系曲線，由圖可知，Ku并不是自始至終保持常數(shù)，尤其是在加載初期，Ku有較為明顯的絮亂現(xiàn)象，規(guī)律性較差。隨著三軸剪切試驗的繼續(xù)進行，試樣內部開始萌生剪切滑動面，此時Ku逐步趨向于一個定值，該值與峰值內摩擦角一致。

粗粒料變形的細觀機理十分復雜，主要包括堆石顆粒的滑移、轉動以及破碎。其中，顆?；谱冃问嵌咽献冃蔚闹饕⒂^機理。因此采用Rowe剪脹方程是較為合理的，但是研究表明顆粒破碎對粗粒料的變形具有顯著的影響。張丙印等［14］對Rowe剪脹方程添加一個參量α進行修正，孔德志［15］同樣對Rowe剪脹方程添加一個參量d0，以期反映顆粒破碎的影響。但是其物理意義不明確，取值較為困難。

圖3 絹云母片巖粗粒料不同應力路徑的Rowe方程曲線Fig.3 The Rowe equation curve of the sericite schist coarse aggregates under different stress path

實際上，孔德志假定的參量d0在載荷作用下是一個動態(tài)變量，而非定值，它與顆粒破碎有關，當顆粒破碎達到終止顆粒破碎狀態(tài)時，d0=1，退化到原始Rowe方程，即:

式中:Br'——表征顆粒破碎的參量，從0變化到1;

Br——相對破碎率;

Bru——終止相對破碎率。

3.5 強度修正

在粗粒料中，由于顆粒的幾何堆積，可以在無任何物理和化學引力的體系中引起表觀黏聚力［20］。以初始干密度1.98g/cm3的試樣為例，如圖4所示。

圖4 固結排水試驗應力莫爾圓Fig.4 The Mohr-Coulomb model in the consolidated drained triaxial test

圖4為絹云母片巖粗粒料固結排水三軸剪切試驗的抗剪強度與強度包線。由圖4可知，在圍壓低于800 kPa時，其強度包線基本在一條直線上，此時黏聚力c為13.55 kPa，該黏聚力正是咬合力的反映。由于絹云母片巖顆粒間不存在膠結，因此反映顆粒內部的各種引力的黏聚力非常低，可近似認為絹云母片巖的黏聚力為零，則峰值內摩擦角可由下式得出:

另外，由圖4可知，隨著圍壓的增大，特別是當圍壓達到2 000 kPa時，其強度包線有明顯的下降趨勢。大量的研究表明，由于顆粒破碎導致粗粒料的內摩擦角隨著圍壓的增大而降低。因此，簡單地采用摩爾-庫倫強度準則，會過高評估高圍壓下的粗粒料的強度。因此，為了反映顆粒破碎導致峰值內摩擦角下降的情況，絹云母片巖粗粒料采用Duncan等人提出的非線性強度準則，進行強度分析:

3.6 本構方程

綜合以上公式的推導，可得出如下本構關系:

實際上，當試樣在等向壓縮條件下時，則:

4 本構模型參數(shù)及確定方法

本文提出的模型共有14個模型參數(shù)，其中，計算應力應變曲線參數(shù)5個，計算體變曲線參數(shù)4個，計算強度參數(shù)2個，計算顆粒破碎參數(shù)2個，如表1所示。下面對模型參數(shù)的確定方法進行詳細說明。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

(1)應力應變曲線參數(shù)

K，n，Kur，m，Rf這 5 個參數(shù)的物理意義以及求解方法同 Duncan-chang模型［21］。

(2)體變曲線參數(shù)

e0為材料的初始孔隙率，λ，κ分別為等向壓縮試驗v-lnp曲線的加載斜率和卸載斜率。φcv為Rowe剪脹模型中的臨界摩擦角。

(3)強度參數(shù)

由于顆粒破碎的影響，內摩擦角不斷下降，φ0、Δφ分別為材料參數(shù)，可通過φ與lg(σ3/Pa)的關系擬合，φ0為截距，Δφ為其斜率。

(4)顆粒破碎參數(shù)

Hardin認為，在非常高的應力(極限應力)下，試樣內的所有顆粒將會破碎至0.074 mm。也就是說粒徑小于0.074 mm的土顆粒不會發(fā)生破碎，并以0.074 mm作為破碎極限粒徑。因此Hardin定義的相對破碎率Br的數(shù)值范圍均從0變化到1，其中Br=1表示在極限應力狀態(tài)下，試樣內所有顆粒均破碎至0.074 mm。

但是隨著研究的深入，實際上存在一種破碎終止階段，即在持續(xù)荷載增加下顆粒破碎變化越來越慢并趨于穩(wěn)定。Turcotte［22］(1986)認為任何初始級配在荷載作用下將會趨向一個幾何自相似分布狀態(tài)，隨后這種觀點得到了 Sammis［23］的驗證，并提出了終止級配曲線的概念。如果假設存在Hardin認為的Br=1的情況，即在極限應力狀態(tài)下，試樣內所有顆粒均破碎至0.074 mm。那么在荷載作用下，顆粒分布應該會出現(xiàn)試樣內所有的顆粒粒徑由大到小依次完全破碎的現(xiàn)象。但是隨著試驗的深入研究，發(fā)現(xiàn)盡管在荷載作用下，導致顆粒不斷細化，但是卻沒有發(fā)現(xiàn)試樣內某一粒徑(特別是最大粒徑)完全破碎消失，更看不到所有顆粒破碎至0.074 mm的情況，如圖5所示。實際上在顆粒破碎發(fā)展過程中，大顆粒會被小顆粒包圍在一起而很難造成大顆粒繼續(xù)破碎，這就是 Tsoungui［24］等發(fā)現(xiàn)的緩沖效應(Cushion Effect)。為此 Coop［25］(2006)通過試驗分析，提出了終止級配的概念。

圖5 三軸剪切條件下Dog海灣砂的級配曲線演化［25］Fig.5 Evolution of grain size distribution of the Dog’s Bay sand during the shear tests

因此，極限高壓下顆粒破碎達到終止狀態(tài)，試樣內部形成結構自相似、粒徑分形分布系統(tǒng)，而非Hardin所謂的所有顆粒將破碎至d＜0.074 mm的粒徑均勻分布系統(tǒng)。那么，Hardin提出的Br=1的情況不可能出現(xiàn)，而是在某處存在一個終止級配曲線，使得高壓力下，顆粒破碎不再發(fā)生或者發(fā)生的很少。

Br為Hardin定義的相對破碎率，可以通過三軸試驗前后的級配曲線求得。由于粗粒料在高壓力下，顆粒破碎變化越來越緩，在某處出現(xiàn)一個終止級配曲線。此時的相對破碎率定義為終止相對破碎率Bru，它反映了材料的終止顆粒破碎情況。

值得一提的是，由于Hardin定義的Br以及本文提出的終止顆粒破碎率Bru的概念，都是在某一初始級配、初始孔隙率的情況下建立起來的。實際上壓實度越高，造成的顆粒破碎也顯得更大些，為了能夠反映初始級配、初始孔隙率對顆粒破碎的影響，本文又定義了相對破碎率密度φB的概念。

式中:Vs——試樣固體顆粒的體積;

φB——單位固體顆粒體積內的相對破碎率密度，可反映初始孔隙比的影響。

Vs可通過下式計算獲得:

式中:m——試樣總質量;

w——試樣初始含水率;

ρd——干密度。

顆粒破碎是與粒徑、級配、顆粒形狀、孔隙比和顆粒硬度等因素有關，因此顆粒破碎造成的級配演化是一個復雜的過程。已有的研究資料表明［26］，顆粒破碎與圍壓、軸向應變等因素有關，圍壓和軸向應變越大，顆粒破碎越大。實際上大部分研究成果主要是基于常規(guī)三軸試驗分析得到，但在復雜應力路徑條件下僅通過圍壓或應變來刻畫顆粒破碎情況，就顯得非常困難。已有學者［27］認為顆粒破碎與加載過程中的輸入能量有關，為此建立了相對顆粒破碎率與塑性功之間的關系:

式中:wp——塑性功;

a，b——表征材料參數(shù);

其余符號意義同前。

圖6為絹云母片巖粗粒料的在復雜應力路徑下，相對破碎率密度與塑性功之間的關系。由圖6可知，wpVs/Br與wp具有良好的線性關系。

當塑性功wp→∞，即外荷載無限大時，相對破碎率趨于一個常數(shù)值，即1/b。也就是說在外荷載無限大下，顆粒破碎將趨于穩(wěn)定，達到終止顆粒破碎的狀態(tài)，用終止顆粒破碎率Bru表示，通過式(25)可求得a、b這兩個參數(shù)，進而可由式(26)求得終止相對破碎率密度φBu，由式(27)求得終止顆粒破碎率Bru:

圖6 相對破碎率密度與塑性功的關系Fig.6 Relationship between relative the breakage density and the plastic work

式中:Bru——終止顆粒破碎率;

φBu——終止相對破碎率密度。

其余符號意義同前。

5 模型驗證及其討論

采用絹云母片巖粗粒料2種初始干密度下的固結排水(CD)試驗結果對提出的本構模型加以驗證，具體的模型參數(shù)求解方法參照上文，絹云母片巖粗粒料的材料參數(shù)如表2所示。

表2 絹云母片巖粗粒料的材料參數(shù)Table 2 Material parameters of the schist coarse aggregates

圖7為干密度1.98g/cm3下CD試驗結果與本構模型模擬情況。如圖7所示，模型計算結果與試驗數(shù)據擬合得很好。所建立的模型能夠很好地描述應力應變關系曲線的這一變化趨勢。由于絹云母片巖粗粒料的易顆粒破碎性質，嚴重抑制了剪脹的發(fā)展，本文通過改進的Rowe方程除了能夠反映剪脹特性，還能通過相對破碎率的引入，抑制了剪脹的發(fā)展，使得絹云母片巖粗粒料體變以剪縮為主，與試驗結果吻合較好。

圖8為干密度2.18g/cm3下的CD試驗結果與本構模型模擬情況。如圖8所示，模型計算結果與試驗數(shù)據擬合得很好。由于控制干密度較大，為此促進了剪脹的發(fā)展，因此模型曲線在圖8(b)中有一定體現(xiàn)，雖然與試驗結果有一定的偏離，但其絕對誤差僅只有0.63%。

圖7 干密度為1.98g/cm3時CD試驗與模型驗證Fig.7 CD test curve and its model validation when the dry density is 1.98g/cm3

對于大部分粗粒料，其應力-應變關系曲線基本符合Duncan-chang模型中的雙曲線部分，但是對于粗粒料體變-軸向應變關系，若采用Duncan-chang模型預測則效果并不太理想。由于粗粒料黏聚力較低，散體性較強，剪脹性較為明顯，而由母巖強度、圍壓等因素影響的顆粒破碎對剪脹性、強度又存在著直接的影響。為此工程界廣泛應用的Duncan-Chang模型進而顯得捉襟見肘。

Rowe在研究砂土時提出的剪脹方程能夠較好地反映剪脹性，但是往往過高預測了剪脹性的影響。本文作者依然沿用Duncan-Chang模型的雙曲線關系來預測其應力-應變關系。其中體變-軸向應變關系采用修正的Rowe方程模擬，大膽采用顆粒破碎指標進行修正，使得方程不僅能夠反映粗粒料的剪脹性，還能反映顆粒破碎的影響。

圖8 干密度為2.18g/cm3時CD試驗與模型驗證Fig.8 CD test curve and its model validation when dry density is 2.18g/cm3

6 結論

本文建立的數(shù)學模型可視為鄧肯-張模型的改進模型。它不僅考慮了剪脹性的影響，還通過引入破碎指標反映顆粒破碎的影響，此外，顆粒破碎對內摩擦角的影響，該本構模型也有所反映。該本構模型主要以粗粒料的應力-應變曲線普遍呈雙曲線型為依據，把受載作用下的土體變形歷程分為2個階段:

(1)土體在載荷作用下會經歷相對松散狀態(tài)向密實狀態(tài)轉化。起始階段，體積應力對土體起主導作用，該階段，土體剪縮為主，e-p曲線滿足臨界狀態(tài)理論，e-lnp呈線性關系。

(2)密實階段，剪應力起主導作用，此時將逐漸形成剪切滑動面，土體容易產生剪脹現(xiàn)象，該階段滿足Rowe剪脹方程。

此外，采用絹云母片巖粗粒料的兩種初始干密度下的固結排水試驗結果對提出的本構模型進行了驗證。結果表明，模型計算結果能夠很好地擬合試驗曲線，能夠反映軟巖粗粒料在不同圍壓下的剪切特性。

［1］ Marsal R J.Research on Granular Materials(Rockfill and Soil-Gravel Mixtures)［D］.Universidad Nacional Autonoma De Mexico，1977.

［2］Maksimovi˙e M.Nonlinear failure envelope for coarsegrained soils［C］//XII ICSMFE，1989，Riode Janeiro，Vol.I.

［3］ Marcu A，Luca E，Cracium F.Nonlinear rockfill parameters and stability of dams［C］//XIII ICSMFE，New Delhi，India，1994:955-958.

［4］ Jerry A.Yamamuro，Poul V.Lade.Instability of granular materials at high pressures［J］.Soils and Foundations，1997，37(1):41-52.

［5］ 周藝，何川，鄒育麟，等.破碎軟巖隧道施工期位移控制值的確定及其應用研究［J］.水文地質工程地質，2013，40(3):33-40.［ZHOU Y，HE C，ZOU Y L，etal. Establishmentand application ofthe deformation during the value for soft rock tunnel in break zone［J］. Hydrogeology ＆ Engineering Geology，2013，40(3):33-40.(in Chinese)］

［6］ TarantinoA， Hyde A F L. An experimental investigation of work dissipation in crushable materials［J］.Geotechnique，2005，55(8):575-584.

［7］ 郭熙靈，胡輝，包承綱.堆石料顆粒破碎對剪脹性及抗剪強度的影響［J］.巖土工程學報，1997，19(3):83-88.［GUO X L，HU H，BAO C G.Experimental Studies of the Effects of Grain Breakage on the Dilatancy and Shear Strength of Rock Fill［J］.Chinese J Geot Eng，1997，19(3):86-91.(in Chinese)］

［8］ 劉漢龍，秦紅玉，高玉峰，等.堆石粗粒料顆粒破碎試驗研究［J］.巖土力學，2005，26(4):562-566.［LIU H L，QIN H Y，GAO Y F，et al.Experimental study on particle breakage of rockfill and coarse aggregates［J］.Rock and Soil Mechanics，2005，26(4):562-566.(in Chinese)］

［9］ Rowe P W.Stress-Dilatancy Relation For Static Equilibrium Of An Assembly Of Particles In Contact［C］//Proceedings of the Royal Society of London Series a-Mathematical and Physical Sciences，1962，269(1339):500.

［10］ Ueng Tzou-shin，chen Tse-jen.Energy aspects of particle breakage in drained shear of sands［J］.Geotechnique，2000，50(1):65-72.

［11］ Salim W， Indraratna B. A new elastoplastic constitutive modelforcoarse granularaggregates incorporating particle breakage［J］.Can Geotech J，2004，41:657-671.

［12］ 賈宇峰，遲世春，林皋.考慮顆粒破碎影響的粗粒土本構模型［J］.巖土力學，2009，30(11):3261-3266.［JIA Y F，CHI S C，LIN G.Constitutive model for coarse granular aggregates incorporating particle breakage［J］.Rock and Soil Mechanics，2009，30(11):3261-3266.(in Chinese)］

［13］ Mcdowell G R，Bolton M D，Robertson D.The fractal crushing of granular materials［J］.J Mech Phys Solids，1996，44(12):2079-2102.

［14］ 張丙印，賈延安，張宗亮.堆石體修正Rowe剪脹方程與南水模型［J］.巖土工程學報，2007，29(10):1443-1448.［ZHANG B Y，JIA Y A，ZHANG Z L.Modified Rowe’s dilatancy law of rockfill and Shen Zhujiang’s double yield surfaces elastoplastic model［J］.Chinese J Geot Eng，2007，29(10):1443-1448.(in Chinese)］

［15］ 孔德志.堆石料的顆粒破碎應變及其數(shù)學模擬［D］.北京:清華大學，2009.［KONG D Z.Particle Breakage Strain of Rockfill Materials and Its NumericalSimulation［D］. Beijing:Tsinghua University，2009.(in Chinese)］

［16］ MIURA N.A consideration on the stress– strain relation ofsand under high pressures［C］//Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers.Tokyo:［s.n.］，1979:127-130.

［17］ MIURA N，MURATA H，YASUFUKU N.Stressstrain characteristics of sand in a particle-crushing region［J］.Soils and Foundations，1984，24(1):77-89.

［18］ CECCONI M，VIGGIANII G M B.Structural features and mechanical behaviour of a pyroclastic weak rock［J］. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2001，25(15):1525-1557.

［19］ MCDOWELL G R，HUMPHREYS A.Yielding of granular materials［J］.Granular Matter，2002，4(1):1-8.

［20］ 李廣信.高等土力學［M］.北京:清華大學出版社，2004.［LI G X.Advanced soil mechanics［M］.Beijing:Tsinghua University Press，2004.(in Chinese)］

［21］ Duncan J M ，Chang C Y.Nonlinear analysis of stress and strain in soils［J］.Journal of the Soil Mechanics and Foundation Division，ASCE，1970，96(SM5):1629-1653.

［22］ Turcotte D L.Fractals and fragmentation［J］.J.Geophys Res，1986，91:1921-1926.

［23］ Sammis C G，King G，Biegel R.The kinematics of gouge deformations［J］.Pure Appl Geophys，1987，125:777-812.

［24］ Tsoungui O，Vallet D，Charmet J C.Numerical model of crushing of grains inside two-dimensional granular materials［J］.Powder Technol， 1999，105:190-198.

［25］ Coop M R.Limitations to critical state frameworks as applied to the behaviour of coarse grained soils［C］//Keynote Lecture.In:International Symposium on Geomechanics and Geotechnical Particulate Media.IS-Yamaguchi，12-14 September 2006，Ube，Japan.

［26］ 孔德志，張丙印，孫遜.人工模擬堆石料顆粒破碎應變的三軸試驗研究［J］.巖土工程學報，2009，31(3):464-469.［KONG D Z，ZHUANG B Y，SUN X.Triaxialtestson particle breakage strain of artificial rockfill materials［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2009，31(3):464-469.(in Chinese)］

［27］ 楊光，張丙印，于玉貞，等.不同應力路徑下粗粒料的顆粒破碎試驗研究［J］.水利學報，2010(3):338-342.［YANG G，ZHANG B Y，YU Y Z，et al.An experimental study on particle breakage of coarsegrained materials under various stress paths［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2010(3):338-342.(in Chinese)］