王歡

(寶雞文理學院 計算機學院，陜西 寶雞 721016)

0 引言

20世紀80年代，隨著復(fù)雜性科學的興起，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)作為復(fù)雜性理論研究的一部分，成為研究復(fù)雜系統(tǒng)的有力工具，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界性質(zhì)及無標度性質(zhì)的提出，掀起了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的熱潮［1-2］。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析方法被應(yīng)用于各個領(lǐng)域，典型的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由節(jié)點和邊組成，其中節(jié)點代表真實系統(tǒng)中的個體，而邊表示個體之間的某種關(guān)系或現(xiàn)象。例如，神經(jīng)系統(tǒng)可看作是大量神經(jīng)細胞通過神經(jīng)纖維相互連接形成的網(wǎng)絡(luò);計算機網(wǎng)絡(luò)可看作是自主工作的計算機通過通信介質(zhì)相互連接形成的網(wǎng)絡(luò);Internet網(wǎng)絡(luò)是每臺交換機或路由器通過物理連接形成的網(wǎng)絡(luò)。類似的還有電力網(wǎng)絡(luò)、社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、細胞網(wǎng)絡(luò)等［3-6］。雖然這些自然和社會領(lǐng)域中的網(wǎng)絡(luò)功能結(jié)構(gòu)各不相同，但卻表現(xiàn)出一些共同的特征，如小世界性質(zhì)，無標度特性，級聯(lián)分布等。

交通系統(tǒng)是典型的復(fù)雜系統(tǒng)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論也成為研究交通系統(tǒng)的重要工具。2002年，Latora等學者對波士頓地鐵的網(wǎng)絡(luò)特性進行了初步研究，他們將波士頓地鐵網(wǎng)絡(luò)抽象為一個無向加權(quán)圖，研究表明該網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性［7］;高自友等學者研究了城市公交網(wǎng)絡(luò)的無標度特性及度分布指數(shù)，論證了北京的公交網(wǎng)絡(luò)是無標度網(wǎng)絡(luò)［8］;趙金山和狄增如等人對北京市公共交通網(wǎng)絡(luò)的幾何特征進行了研究［9］;李英等學者研究和分析了上海市公交網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)的度分布符合冪率分布，具有較小的平均路徑長度和較高的聚類系數(shù)，且該網(wǎng)絡(luò)的抗隨機失效能力很強，而對有選擇性攻擊的抵抗能力較弱。由此判斷網(wǎng)絡(luò)符合無標度網(wǎng)絡(luò)的特性［10］。

公交系統(tǒng)是城市的交通命脈，研究公交系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)對于城市的交通規(guī)劃和發(fā)展具有重大的現(xiàn)實意義?，F(xiàn)有的國內(nèi)交通網(wǎng)絡(luò)的研究基本都是針對一線二線城市，而中小城市占據(jù)國內(nèi)城市的90%以上，因此對于中小城市公交系統(tǒng)的研究更具有實際與指導意義。本文以陜西省寶雞市公交線路和站點為基礎(chǔ)構(gòu)建了公交系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型，計算并分析了網(wǎng)絡(luò)的度分布、平均路徑長度、聚集系數(shù)等多個統(tǒng)計與拓撲參數(shù)指標，并結(jié)合城市公交系統(tǒng)的特點分析了公交網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，提出了網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的思路。

1 寶雞公交網(wǎng)絡(luò)模型

考慮網(wǎng)絡(luò) GH=(VH，EH)，其中 VH={vi}(i=1，2，…，N)是 N個節(jié)點的集合，EH={vi，vj}是連接任意兩個節(jié)點之間的所有邊的集合。定義鄰接矩陣Aij，如果節(jié)點vi和節(jié)點vj之間存在一條邊，則 Aij=1;反之，Aij=0。

寶雞市公交公司目前共擁有43條線路，經(jīng)過344個不同的站點，本文構(gòu)建的公交網(wǎng)絡(luò)模型基于鄰接站點，具體規(guī)則如下:

1)以寶雞市公交公司的344個公交站點為主，將站點作為構(gòu)建公交網(wǎng)絡(luò)的基本節(jié)點，具有相同名稱的站點視為一個節(jié)點，不同名稱的站點視為不同的節(jié)點，即VH={vi}(i=1，2，…，344)。相鄰站點之間的公交線路作為邊，網(wǎng)絡(luò)抽象為無向網(wǎng)絡(luò);

2)暫不考慮兩個站點間通過的公交線路數(shù)量及發(fā)車頻次，將整個網(wǎng)絡(luò)抽象為無權(quán)網(wǎng)絡(luò)。

3)若兩個站點i和j之間有任意一趟線路經(jīng)過，則認為節(jié)點vi和vj之間有一條邊連接，鄰接矩陣Aij=1;反之，Aij=0。

基于上述規(guī)則構(gòu)建的寶雞市公交網(wǎng)絡(luò)模型包括344個節(jié)點，共916條連邊。網(wǎng)絡(luò)可視化后的示意圖如圖1所示。

圖1 寶雞市公交網(wǎng)絡(luò)模型示意圖

2 寶雞公交網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計與拓撲性質(zhì)分析

2.1 度與平均度

無向圖中，一個節(jié)點i的度ki定義為該節(jié)點與網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點之間相互連接的邊的數(shù)目，即:

這里，當路徑l包含節(jié)點 i，即有邊相連接時，δl=1;反之 δl=0。

對于公交網(wǎng)絡(luò)上任意節(jié)點i，其度值ki反映出與站點i直接相接的公交站點的數(shù)量，ki值越大表明節(jié)點具有較高的連通度，在實際交通規(guī)劃中具有較好的地理空間，可能是實際公交系統(tǒng)中的樞紐站點或者重要換乘點。表1中列舉了度值最高的15個節(jié)點，其中火車站、炎帝園、行政中心、高速客運中心等均是寶雞市的樞紐站點，而金陵橋西、勝利橋南、漢中路口、蟠龍大橋南站等為主要換乘點。

表1 寶雞公交網(wǎng)絡(luò)中高度值站點及其度值

網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點度的平均值稱為網(wǎng)絡(luò)的平均度，記為＜k＞:

其中N為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的總數(shù)，網(wǎng)絡(luò)平均度反映出網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點之間連邊的平均疏密程度。寶雞市公交網(wǎng)絡(luò)的平均度＜k＞=2.66，說明平均1個站點與大約3個站點直接相連。該值遠小于網(wǎng)絡(luò)的總節(jié)點數(shù)，符合稀疏網(wǎng)絡(luò)〈k〉?N的特點。因此，寶雞市公交網(wǎng)絡(luò)是一種稀疏網(wǎng)絡(luò)。

2.2 網(wǎng)絡(luò)度分布

我們用度分布P(k)來考量網(wǎng)絡(luò)中一個隨機選擇的節(jié)點有k條邊的概率，反映網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度的分布情況。寶雞公交網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度值的統(tǒng)計情況如表2所示。

表2 寶雞公交網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度值分布

從表中可以看出，寶雞市公交網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度最高為10，度值大于5的節(jié)點僅占總數(shù)的 4.36%，而度值為2的節(jié)點占總數(shù)的59.01%，說 明網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點分布不均勻，對于大多數(shù)站點來說，僅有左右兩個相鄰站點。圖2顯示了公交網(wǎng)絡(luò)在普通坐標下的度分布情況，圖3則為公交網(wǎng)絡(luò)在雙對數(shù)坐標下的度分布情況，橫坐標為度值k，縱坐標P(k)表示度值為k的概率。圖 3中雙對數(shù)坐標下的度分布可以擬合為一條直線，符合冪律分布的特征，這種冪律分布表明，一個站點有k個站點與其相連的概率遵循P(k)～k-γ，冪指數(shù)γ約為2.79，意味著網(wǎng)絡(luò)具有無標度特性。

無標度網(wǎng)絡(luò)的一個顯著特點是網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)通常由少數(shù)具有大量連接的樞紐節(jié)點所決定，比大多數(shù)僅具有少數(shù)連接的節(jié)點更為重要，這些樞紐節(jié)點對應(yīng)于公交網(wǎng)絡(luò)中的交通要點或主要換乘點。

圖2 公交網(wǎng)絡(luò)k-P(k)度分布

圖3 公交網(wǎng)絡(luò)log-log度分布

2.3 平均路徑長度與直徑

網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點間可能存在許多不同的路徑，其中具有邊的數(shù)量最少的路徑稱為最短路徑，任意兩個節(jié)點i和j之間的距離dij即連接節(jié)點的最短路徑的長度。網(wǎng)絡(luò)中的平均路徑長度記為L，是指網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點對的平均距離，定義為:

對于公交網(wǎng)絡(luò)模型，平均最短路徑反映出任意兩個站點之間平均具有多少個站點，是考量公交系統(tǒng)連通性及出行便利性的一個指標。計算得出，寶雞市公交網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度L為17.13，表明需17站即可到達目的地，網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出部分小世界性質(zhì)。

網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點之間距離的最大值稱為網(wǎng)絡(luò)的直徑，記為D:

網(wǎng)絡(luò)直徑反映了乘客出行可能乘坐的最大站點數(shù)，計算得出公交網(wǎng)絡(luò)直徑D為65，從虢鎮(zhèn)中學(寶雞市區(qū)東側(cè))到縣功(寶雞市區(qū)北側(cè))，這是公交網(wǎng)絡(luò)中出行的極限情況。

2.4 聚集系數(shù)

真實系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中，不同節(jié)點間常會趨于相互合作，形成一個個的小集團，聚集系數(shù)用來反映網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點間的集團性。節(jié)點i的聚集系數(shù)ci定義為與該節(jié)點直接相鄰的ki個節(jié)點間實際存在的邊數(shù)ei占最大可能存在的邊數(shù)ki(ki-1)/2的比例，即:

圖4為寶雞公交網(wǎng)絡(luò)中各個站點的聚集系數(shù)分布圖，按聚集系數(shù)值大小呈降序排列。圖中可以得到有個231個節(jié)點的聚集系數(shù)值為0，占總節(jié)點數(shù)的 67.15%，說明寶雞市有一多半站點的鄰接站點是不連通的，僅有41個節(jié)點的聚集系數(shù)為1，占總節(jié)點數(shù)的11.92%。

網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)C定義為所有節(jié)點聚集系數(shù)ci的平均值，描述網(wǎng)絡(luò)的局部集團化程度，即網(wǎng)絡(luò)的緊密程度:

圖4 公交網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)統(tǒng)計圖

網(wǎng)絡(luò)聚集系數(shù)越大，說明站點與附近各個站點連接緊密度越高，公交線路越密集，便于市民換乘車。計算得出寶雞公交網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)C=0.124，相對較低，說明在公交網(wǎng)絡(luò)中交通負荷不均勻，網(wǎng)絡(luò)較為稀疏，還有一定的發(fā)展空間。

3 寶雞公交網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性分析

寶雞市公交網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出無標度特性，這將導致網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性，因此，公交網(wǎng)絡(luò)存在魯棒性與脆弱性。一方面，表現(xiàn)為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點隨機堵塞的魯棒性;另一方面表現(xiàn)為選擇性堵塞的脆弱性，即所謂的“魯棒但又脆弱”。度值最大的樞紐站點一旦發(fā)生擁堵則有可能造成整個公交網(wǎng)絡(luò)的癱瘓，這些樞紐站點對于整個網(wǎng)絡(luò)的連通性起到重要的作用，對于這些高度連接的市區(qū)中心站點或主要換乘站點，應(yīng)及時消化客流量，通過開辟公交專線、減少中轉(zhuǎn)次數(shù)等方式提高運輸效率，以保證整個公交網(wǎng)絡(luò)的通暢。

寶雞市公交網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)結(jié)果體現(xiàn)出網(wǎng)絡(luò)負載不均勻，對于承載壓力過高的站點，僅通過增加發(fā)車頻率及增開線路等方式并不能有效地提高運輸能力，相反站點間的線路過于密集會導致多輛車排隊等候進站的狀況，引起交通堵塞?？梢钥紤]分散原有的中心站點，將公交線路加以分流，優(yōu)化主干網(wǎng)與支路網(wǎng)之間的合理性，充分利用公交系統(tǒng)中的支路網(wǎng)絡(luò)，保證整個網(wǎng)絡(luò)的連通性，從而提高網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，增強網(wǎng)絡(luò)的運輸能力。

4 結(jié)束語

本文構(gòu)建了陜西省寶雞市的公交網(wǎng)絡(luò)模型，通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論加以分析，得出如下結(jié)論:

(1) 公交網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度分布不均勻，網(wǎng)絡(luò)度分布服從冪律分布，呈現(xiàn)出無標度特性。大部分節(jié)點的度值很小，只有很少一部分樞紐節(jié)點具有較高的度值，這些節(jié)點對應(yīng)市區(qū)內(nèi)的中心站點或者主要換乘點;

(2) 公交網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度為17.13，聚集系數(shù)為0.124，具有部分小世界特性，還有較大的發(fā)展空間;

(3) 公交網(wǎng)絡(luò)對于隨機堵塞具有魯棒性，同時對于樞紐站點堵塞具有脆弱性。因此，從樞紐站點出發(fā)，提高這些站點的運輸能力，考慮公交網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化方案，最終增強公交出行的便捷性。

公交網(wǎng)絡(luò)是復(fù)雜的交通系統(tǒng)，本文結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論構(gòu)建和分析了寶雞市的公交系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，通過分析其統(tǒng)計和拓撲特性可為交通系統(tǒng)的優(yōu)化提供理論分析，但還有一些問題有待更進一步研究。例如考慮將相鄰站點間經(jīng)過的線路作為網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重，構(gòu)建無向加權(quán)網(wǎng)絡(luò)研究公交網(wǎng)絡(luò)與客流壓力之間的關(guān)系。通過研究公交網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性與內(nèi)在動力學特性，深入研究公交系統(tǒng)的優(yōu)化問題。

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