范馨月，王慧敏，周 非

(重慶郵電大學(xué)移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400065)

0 引言

傳統(tǒng)定位中，未知節(jié)點(diǎn)的定位需要至少3個(gè)不同的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)。例如，全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)［1］對(duì)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有嚴(yán)格要求，同時(shí)存在GPS接收機(jī)成本高、惡劣環(huán)境受限等問題。因此，基礎(chǔ)設(shè)施布置有限的惡劣環(huán)境下的精確定位問題一直備受關(guān)注。近幾年，協(xié)作定位［2-4］得到了國(guó)內(nèi)外廣泛關(guān)注。協(xié)作網(wǎng)絡(luò)中含有2種節(jié)點(diǎn):一種是位置已知的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)，另一種是不含位置信息的未知節(jié)點(diǎn)。此網(wǎng)絡(luò)通過信標(biāo)節(jié)點(diǎn)獲取部分未知節(jié)點(diǎn)的位置信息，再由已獲得位置信息的節(jié)點(diǎn)通過協(xié)作去定位其他未知節(jié)點(diǎn)，不斷地延伸能感知的外界環(huán)境區(qū)域。由于傳統(tǒng)的、無線定位方法的定位信息只是利用已知信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的位置、角度等信息，這導(dǎo)致信標(biāo)節(jié)點(diǎn)布置有限時(shí)無法滿足定位性能要求，而協(xié)作定位在利用已知信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的位置、角度等信息基礎(chǔ)上還利用了任意2個(gè)未知節(jié)點(diǎn)之間的信息數(shù)據(jù)，不僅解決了不在信標(biāo)節(jié)點(diǎn)覆蓋范圍內(nèi)的未知節(jié)點(diǎn)的定位問題，而且提高了所有未知節(jié)點(diǎn)的位置估計(jì)的準(zhǔn)確度和魯棒性。

協(xié)作定位在搜索與營(yíng)救場(chǎng)景中的應(yīng)用具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。在現(xiàn)實(shí)火災(zāi)、地震或其他緊急場(chǎng)景中，由于火勢(shì)、障礙物、復(fù)雜的地形環(huán)境的影響，被困人員通常無法確定位置并且很難找到出路，這樣直接影響了存活的幾率。如果考慮協(xié)作，被困人員(即未知節(jié)點(diǎn))在不能獲得消防人員或固定信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的測(cè)距信息的情況下，可以通過被困人員之間的協(xié)作功能來實(shí)現(xiàn)有效的自身定位，這樣就可以提高網(wǎng)絡(luò)中定位信息的利用率，從而提高逃生率。

定位精度下界可以作為定位精度高低的性能基準(zhǔn)。定位精度基本限的研究中，Jun Wang等給出了基于混合接收信號(hào)強(qiáng)度(received-signal-strength，RSS)［5］定位方法和到達(dá)方向(direction-of-arrival，DOA)［6］定位方法的克拉美羅界(cramer-rao bound，CRB)［7］，但是文獻(xiàn)沒有采用協(xié)作的思想。作者Yuan Shen提出了基于到達(dá)時(shí)間(time-of-arrival，TOA)［8］定位方法的協(xié)作定位精度下界的研究［9］，但目前只涉及均勻場(chǎng)景下的協(xié)作定位精度分析。眾所周知實(shí)際場(chǎng)景中未知節(jié)點(diǎn)的分布受環(huán)境的影響，通常不是均勻分布的。例如很多大型商場(chǎng)建筑中間區(qū)域鏤空，商場(chǎng)中的人集中在四周的賣場(chǎng)區(qū)域。實(shí)際搜索與營(yíng)救時(shí)的定位問題在不少文獻(xiàn)中被提出，但并未考慮被困人員之間的相互協(xié)作［10-11］?；诖?，將被困人員之間賦予協(xié)作能力，能夠充分利用定位信息從而提高定位精度。本文的主要貢獻(xiàn)是將協(xié)作思想運(yùn)用于實(shí)際搜索與營(yíng)救場(chǎng)景，并將協(xié)作定位精度基本限作為參考指標(biāo)，針對(duì)商場(chǎng)、居民樓等未知節(jié)點(diǎn)非均勻分布的實(shí)際場(chǎng)景，依據(jù)移動(dòng)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的不同位置對(duì)定位精度所產(chǎn)生的影響推斷出實(shí)際場(chǎng)景下信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置，使定位效果最優(yōu)化并且成本最低化。

本文首先描述了協(xié)作定位系統(tǒng)模型，運(yùn)用等效費(fèi)歇爾信息矩陣(equivalent fisher information matrix，EFIM)計(jì)算得出協(xié)作定位精度的基本限，即平方位置誤差界(squared position error bound，SPEB);然后將協(xié)作定位模式運(yùn)用在實(shí)際場(chǎng)景中，分析信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的不同布置對(duì)SPEB的影響。仿真結(jié)果表明，實(shí)際場(chǎng)景中被困人員之間的協(xié)作可以降低SPEB，提高定位精度，同時(shí)實(shí)際場(chǎng)景下的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置需要綜合考慮建筑結(jié)構(gòu)、成本、精度等因素。

1 協(xié)作定位系統(tǒng)參數(shù)模型

假定在無線網(wǎng)絡(luò)中布置NU個(gè)未知節(jié)點(diǎn)和NB個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)i接收到來自節(jié)點(diǎn)k的多徑信號(hào)為

(1)式中:i∈A;k∈A∪B(A和B分別是未知節(jié)點(diǎn)和信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的集合);s(t)是發(fā)送的基帶信號(hào);n(t)表示獨(dú)立高斯白噪聲;Alik和τ分別表示信道系數(shù)和時(shí)延;Nik表示節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)k的多徑條數(shù)。則節(jié)點(diǎn)的位置和路徑時(shí)延之間的關(guān)系為

(2)式中:c是信號(hào)的傳播速度;(xi，yi)T是未知節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo);(xk，yk)T代表所有節(jié)點(diǎn)k的坐標(biāo);0是由非視距(non-line-of-sight，NLOS)傳輸引起的距離偏差，對(duì)于視距(line-of-sight，LOS)傳輸，0。引入以下未知參數(shù)矢量代表未知節(jié)點(diǎn)i的位置，并且，θij表示未知節(jié)點(diǎn)i接收到信標(biāo)節(jié)點(diǎn)j的距離偏差和振幅系數(shù)組成的矢量。表示未知節(jié)點(diǎn)i接收到其他未知節(jié)點(diǎn)m的距離偏差和振幅系數(shù)組成的矢量。

2 費(fèi)歇爾信息矩陣與平方位置誤差界

2.1 平方位置誤差界

在觀測(cè)時(shí)間［0To)內(nèi)，r=［r1r2…rNU］T，r是接收波r(t)的矢量形式，可表示為ri=［ri，1…

(3)式中，Jη是η的費(fèi)歇爾信息矩陣(fisher information matrix，F(xiàn)IM)。位置估計(jì)滿足

則SPEB定義為

(5)式中tr{·}是矩陣的跡。

2.2 等效費(fèi)歇爾信息矩陣

觀測(cè)矢量r和參數(shù)矢量η的聯(lián)合分布函數(shù)為

(6)式中，條件概率密度函數(shù)為

gi(ηi)是參數(shù) ηi的先驗(yàn)概率密度函數(shù)。則 η的FIM為

將ln f(r，η)分解得

由公式(9)對(duì)數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)的公式可以得出定位信息由3部分組成，分別是來自信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的定位信息、來自協(xié)作的定位信息以及先驗(yàn)信息，則FIM為

(10)式中等式右邊第3部分可以寫為

(10)-(11)式中:JBE和JU分別是來自信標(biāo)節(jié)點(diǎn)和協(xié)作節(jié)點(diǎn)的位置信息;ΓBE和ΓU是分別與θi和先驗(yàn)信息對(duì)應(yīng)的FIM;ΓP是未知節(jié)點(diǎn)位置Pi的先驗(yàn)信息的FIM。

等效費(fèi)歇爾信息矩陣是維數(shù)小于原始費(fèi)歇爾信息矩陣，但是保持了計(jì)算CRB所有有用信息的矩陣。假設(shè)原始費(fèi)歇爾信息矩陣為其逆矩陣為，則

Je是一個(gè)n×n的半正定矩陣，可以用等效費(fèi)歇爾信息矩陣簡(jiǎn)化各個(gè)節(jié)點(diǎn)的定位信息，然后再把各個(gè)節(jié)點(diǎn)的等效費(fèi)歇爾信息矩陣加起來求得EFIM。

來自信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的FIM可以表示為對(duì)角矩陣

diag{JBE，1+ΓBE，1，…，JBE，NU+ΓBE，NU}，這里每個(gè)分塊矩陣{JBE，i+ΓBE，i}可以被簡(jiǎn)化為維數(shù)是2×2的EFIM，那么整個(gè)2NU×2NU的EFIM為，其中

(14)式中:系數(shù)αj，i為非負(fù)的標(biāo)量，是來自信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的測(cè)距信息強(qiáng)度;，是來自信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的測(cè)距信息矩陣，qj，i是未知節(jié)點(diǎn)i到信標(biāo)節(jié)點(diǎn)j的角度;ηi和 μi是的特征值;為角度的旋轉(zhuǎn)矩陣。

來自未知節(jié)點(diǎn)之間的協(xié)作定位信息可以表示為

(15)式中，Ci，n是協(xié)作節(jié)點(diǎn)i和n的協(xié)作信息的2×2的EFIM，其中

(16)式中:αi，n是來自協(xié)作的測(cè)距信息系數(shù);Qi，n是來自協(xié)作的測(cè)距信息矩陣;νi，n是Ci，n的特征值，同時(shí)代表協(xié)作節(jié)點(diǎn)i和協(xié)作節(jié)點(diǎn)n之間的協(xié)作信息強(qiáng)度。因此，協(xié)作定位的整體EFIM為

則SPEB與EFIM之間的關(guān)系為

通過以上理論分析，可以看出等效費(fèi)歇爾信息保留了計(jì)算平方位置誤差界的位置矢量P，其優(yōu)勢(shì)在于縮小了計(jì)算的復(fù)雜度，每個(gè)未知節(jié)點(diǎn)的信息量由原來的NU×NU降低為2×2的低維度，這樣所有節(jié)點(diǎn)的維數(shù)就由原來的(NU×NU)×(NU×NU)改為2NU×2NU。

3 仿真結(jié)果比較與分析

模擬實(shí)際火災(zāi)場(chǎng)景的協(xié)作定位系統(tǒng)示意圖如圖1所示，圖1中被困人員即協(xié)作網(wǎng)絡(luò)中的未知節(jié)點(diǎn)，部分被困人員無法獲取來自固定信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的定位信息，但是可以通過被困人員之間的協(xié)作得到額外的來自被困人員之間的定位信息，從而提高定位精度。

被困人員在整個(gè)參考區(qū)域內(nèi)是非均勻分布的，信標(biāo)節(jié)點(diǎn)在鏤空區(qū)的4個(gè)頂點(diǎn)并沿著虛線向區(qū)域頂點(diǎn)移動(dòng)，信標(biāo)節(jié)點(diǎn)每到一個(gè)位置，測(cè)一次SPEB值，分析比較不同位置得到的SPEB值，進(jìn)而確定信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)位置。

圖1 實(shí)際場(chǎng)景中的協(xié)作系統(tǒng)示意圖Fig.1 Cooperative system in actual scene

3.1 影響SPEB的關(guān)鍵參數(shù)

仿真首先將所有的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的等效費(fèi)歇爾信息矩陣的特征值信息設(shè)為η=1，μ=1，β=0或η=2，μ=1，β=0，以及協(xié)作節(jié)點(diǎn)所有的協(xié)作信息強(qiáng)度統(tǒng)一假設(shè)為ν=0.3或ν=0.7。如圖2所示可以看出，隨著協(xié)作節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增多，SPEB下降，定位精度提高;隨著協(xié)作信息強(qiáng)度ν的增加，SPEB下降，即協(xié)作節(jié)點(diǎn)之間越強(qiáng)的協(xié)作，獲得到越好的定位性能。圖2以后的仿真，采用協(xié)作信息強(qiáng)度 νi，n∝1/d2i，n進(jìn)行仿真分析。

圖2 SPEB隨協(xié)作信息強(qiáng)度變化的關(guān)系圖Fig.2 Relationship between ν and SPEB

3.2 實(shí)際場(chǎng)景1

考慮不規(guī)則場(chǎng)景，如圖3所示為實(shí)際場(chǎng)景1的節(jié)點(diǎn)分布，不規(guī)則十二邊形實(shí)線區(qū)域?yàn)榉抡鎴?chǎng)景區(qū)域，考慮很多商場(chǎng)等類似建筑中間為鏤空區(qū)域，這里假設(shè)中間虛線方形區(qū)域?yàn)殓U空，即方形區(qū)域內(nèi)無人員分布。被困人員即未知節(jié)點(diǎn)在整個(gè)十二邊形實(shí)線參考區(qū)域內(nèi)是非均勻分布的。4種信標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置的布置方式有:布置1，三角形圖標(biāo)(信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為4);布置2，方形圖標(biāo)(信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為4);布置3，三角形圖標(biāo)和正方形圖標(biāo)(信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為8);布置4，圓形和正方形(信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為8)。用d標(biāo)注信標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置與中心點(diǎn)位置間的關(guān)系。假設(shè)考慮未知節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為40，且隨機(jī)分布在非鏤空區(qū)域(即在不規(guī)則參考區(qū)域內(nèi)是非均勻分布的)，并且被困人員之間可以協(xié)作。

圖3 實(shí)際場(chǎng)景1的節(jié)點(diǎn)分布Fig.3 Distribution of nodes in scene 1

圖4為d=6時(shí)采用蒙特-卡羅法得到的被困人員數(shù)量與SPEB之間的關(guān)系圖。

圖4 場(chǎng)景1下SPEB與被困人員個(gè)數(shù)的關(guān)系Fig.4 SPEB with respect to the number of trapped people in scene 1

由圖4可以看出以下幾點(diǎn)。

1)隨著橫坐標(biāo)增大，無協(xié)作情形下每種信標(biāo)節(jié)點(diǎn)分布模式的SPEB值均無變化，而協(xié)作情形下的4種信標(biāo)節(jié)點(diǎn)布置方式的平方位置誤差界都逐漸下降，定位精度越來越好，可以看出被困人員之間的協(xié)作可以提高定位精度。

2)縱向比較布置1－4，可以看出隨著信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增多，平方位置誤差界下降，精度越來越好。

3)比較布置1－4，可以看出，在d=6時(shí)布置1擁有比布置2更低的SPEB，即更好的定位精度;同樣，布置3擁有比布置4更低的SPEB。這是由于在4個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)情況下，布置1中的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)覆蓋區(qū)域中所含的被困人員數(shù)比布置2中的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)覆蓋區(qū)域中所含的被困人員數(shù)多;同樣，在8個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的情況下，布置3中的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)覆蓋區(qū)域要比布置4中的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)覆蓋區(qū)域好。

圖5為圖3的仿真環(huán)境基礎(chǔ)上通過蒙特－卡羅法得到的SPEB隨d變換的關(guān)系。

圖5 場(chǎng)景1下SPEB與d的關(guān)系曲線Fig.5 SPEB with respect to d in scene 1

據(jù)仿真圖5可以看出以下幾點(diǎn)。

1)對(duì)于所有信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置來說，隨著d的增大，SPEB先減小后增大。由此可以看出實(shí)際非均勻場(chǎng)景中，SPEB并非隨著d線性變化，而是存在一個(gè)合適的位置使得定位精度達(dá)到最優(yōu)。所以信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置需要考慮一個(gè)最佳距離。這一現(xiàn)象在理論上也是可以推斷的，因?yàn)閐太小，信標(biāo)節(jié)點(diǎn)覆蓋到未知節(jié)點(diǎn)的范圍狹窄，定位效果差，d逐漸增大會(huì)提高定位精度，但同時(shí)越遠(yuǎn)的距離也意味著越大的路徑損耗，距離增大到一定程度時(shí)，定位效果又開始變差。

2)當(dāng)d=0時(shí)，定位誤差很大，這是由于對(duì)于每一個(gè)未知節(jié)點(diǎn)來講，4個(gè)或8個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)都是來自同一個(gè)方向，即獲得定位信息少，導(dǎo)致了定位精度變差。所以實(shí)際場(chǎng)景中的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置要分散開來，集中分布的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致定位信息利用率變低，從而浪費(fèi)資源。

3)由圖5可以看出，兩種8個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置定位效果都要比4個(gè)的布置情況更優(yōu)。所以實(shí)際場(chǎng)景中信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)當(dāng)然是越多越好，但是綜合考慮成本問題，可以選擇在規(guī)定誤差范圍內(nèi)的最少信標(biāo)節(jié)點(diǎn)布置個(gè)數(shù)。另外，比較布置1和布置2可以看出:當(dāng)d＜8(近似值，以下類似)時(shí)，布置1優(yōu)于布置2;當(dāng)d＞8時(shí)，布置2優(yōu)于布置1。4個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)布置的情形下，布置1大約在d=6時(shí)SPEB最低;d＜9時(shí)，布置3優(yōu)于布置4;d＞9時(shí)，布置4優(yōu)于布置3。8個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)布置的情形下，布置4在d=10時(shí)最優(yōu)。由此可以看出實(shí)際場(chǎng)景布置中，若選定了信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，布置節(jié)點(diǎn)的位置和距離要根據(jù)多次模擬才能綜合得出最優(yōu)布局。

3.3 實(shí)際場(chǎng)景2

和實(shí)際場(chǎng)景1類似，考慮不規(guī)則場(chǎng)景，如圖6所示為實(shí)際場(chǎng)景2的節(jié)點(diǎn)分布。外圍不規(guī)則九邊形實(shí)線區(qū)域?yàn)樗紤]的場(chǎng)景形狀，中間三角黑色虛線圍成的區(qū)域?yàn)殓U空。同樣，未知節(jié)點(diǎn)分布在周圍3個(gè)區(qū)域，可見不規(guī)則九邊形實(shí)線參考區(qū)域內(nèi)未知節(jié)點(diǎn)分布是非均勻分布的。根據(jù)建筑形狀，這里考慮3種信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置方式:布置1:三角形圖標(biāo)(信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為3);布置2:正方形圖標(biāo)(信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為3);布置3:三角形圖標(biāo)和方形圖標(biāo)(信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為6)，所有信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的位置關(guān)系用圖6中D表示。本次假設(shè)未知節(jié)點(diǎn)布置個(gè)數(shù)為30，且未知節(jié)點(diǎn)之間可以協(xié)作。

圖6 實(shí)際場(chǎng)景2的節(jié)點(diǎn)分布Fig.6 Distribution of nodes in scene 2

圖7同樣采用蒙特－卡羅模擬法，其仿真結(jié)果表明:對(duì)于實(shí)際場(chǎng)景2來說，所有信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置仍是隨著D的增大，SPEB先減小后增大;當(dāng)D=0時(shí)，對(duì)于每個(gè)協(xié)作點(diǎn)來說，3個(gè)或6個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)都是來自同一個(gè)方向，即獲得定位信息少，導(dǎo)致了大的SPEB值;且6個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置要優(yōu)于3個(gè)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置;當(dāng)D＜14(約值，以下類似)時(shí)，布置1優(yōu)于布置2，D＞14時(shí)，布置2優(yōu)于布置1。對(duì)于此模擬場(chǎng)景，若確定信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，且考慮信標(biāo)節(jié)點(diǎn)布置在參考場(chǎng)景內(nèi)時(shí)，最優(yōu)布置為布置1，因?yàn)樵贒＜14的整個(gè)區(qū)間內(nèi)，布置1相較布置2來說，其SPEB值比較低。

分析比較實(shí)際場(chǎng)景1和實(shí)際場(chǎng)景2可以看出，由于建筑結(jié)構(gòu)不同，選用的信標(biāo)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與布置方式也不同，因此信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布置要考慮匹配場(chǎng)景的結(jié)構(gòu)與形狀，從而避免多余的開銷，提高信標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置信息的利用率。

總之，布置信標(biāo)節(jié)點(diǎn)要綜合考慮實(shí)際場(chǎng)景、定位精度、成本等因素。根據(jù)不同的場(chǎng)景選擇最有效的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)以及最優(yōu)的布局，從而解決實(shí)際場(chǎng)景下的精確定位問題，提高搜索與營(yíng)救的效率。該方法也適用于無固定信標(biāo)節(jié)點(diǎn)布置的場(chǎng)景，給攜帶信標(biāo)設(shè)備的消防員提供最優(yōu)的參考信源位置，進(jìn)而解決被困人員定位的問題。

圖7 場(chǎng)景2下SPEB隨D的變化Fig.7 SPEB with respect to D in scene 2

4 結(jié)束語

在協(xié)作定位模型的基礎(chǔ)上分析了協(xié)作定位精度基本限問題，并通過等效費(fèi)歇爾信息矩陣來計(jì)算SPEB。主要研究了實(shí)際搜索與營(yíng)救系統(tǒng)場(chǎng)景中定位問題，為提高定位信息的利用率，我們將被困人員賦予協(xié)作能力。以SPEB作為協(xié)作定位精度性能的參考基準(zhǔn)，考慮實(shí)際場(chǎng)景中未知節(jié)點(diǎn)分布不均勻的情況，仿真部分通過移動(dòng)信標(biāo)節(jié)點(diǎn)在不同位置得到的SPEB值，確定了信標(biāo)節(jié)點(diǎn)的布局對(duì)定位精度下界的影響，并由此推出實(shí)際場(chǎng)景中信標(biāo)節(jié)點(diǎn)布置的參考因素。

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