雷芬麗，許 平

（浙江華東工程安全技術(shù)有限公司，浙江·杭州 310014）

基于小波變換的測(cè)井多尺度分層研究

雷芬麗，許 平

（浙江華東工程安全技術(shù)有限公司，浙江·杭州 310014）

測(cè)井信號(hào)是巖性、地層微觀結(jié)構(gòu)、含流體性等各種信息的總和，測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)是反映地質(zhì)體地質(zhì)信息的載體，地層變化主要體現(xiàn)在測(cè)井信號(hào)的突變點(diǎn)或突變區(qū)域中。以某測(cè)井的自然伽馬曲線為例，提出應(yīng)用零通小波、模極大值對(duì)測(cè)井曲線多尺度分析，在不同尺度上定量劃分出不同級(jí)別的地層界面，分析結(jié)果與實(shí)際地層界面一致。小波分析為地層的定量劃分提供了一種新的思路。

測(cè)井曲線；零通小波；模極值；小波變換；多尺度

目前已提出多種測(cè)井曲線的計(jì)算機(jī)自動(dòng)分層方法，如方差分析法、活度函數(shù)分析法、深—頻分析法等，但與實(shí)際的應(yīng)用尚有差距，其主要原因是往往一個(gè)視覺層次上完成了全部的地層劃分工作。而近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的小波變換引入了多尺度分析的思想，實(shí)現(xiàn)信號(hào)分析的時(shí)頻局部化，能夠模擬“由粗略到精細(xì)，逐級(jí)分層”的人工解釋方法，是測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)時(shí)頻分析與地質(zhì)解釋恰到好處的數(shù)學(xué)工具。

近年來(lái)研究表明，在各尺度上的邊緣能完整且穩(wěn)定地表征信號(hào)，目前基于小波變換的邊緣檢測(cè)，一般有過(guò)零檢測(cè)和模極值檢測(cè)兩種方法。測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)是反映地質(zhì)體信息的載體，地層變化主要體現(xiàn)在測(cè)井信號(hào)的突變點(diǎn)或突變區(qū)域中。本文利用小波變換邊緣檢測(cè)方法，應(yīng)用零通小波、模極大值對(duì)測(cè)井信號(hào)突變點(diǎn)的敏感性和多尺度分析[1]，在不同尺度上定量劃分不同級(jí)別的地層界面，研究該方法的適應(yīng)性并與實(shí)際地質(zhì)界面作對(duì)比分析。

1 小波多尺度分析

1.1 小波變換

設(shè)f(t)是平方可積函數(shù)，記為f(t)?L2(R)，φ(t)為母小波，如果φ(t)滿足容許性條件

則

稱為f(t)的小波變換[2～5]。其中a為尺度因子，決定了信號(hào)的采樣窗口長(zhǎng)度；b為位移因子，決定了逼近信號(hào)的時(shí)間位置。另外小波變換可以寫成卷積形式：

小波的尺度與頻率之間關(guān)系：尺度a越大表示小波被伸展，時(shí)間上觀察范圍大，對(duì)應(yīng)于信號(hào)的低頻分量，用低頻小波做概貌觀察；尺度a越小表示小波被壓縮，時(shí)間上觀察范圍小，對(duì)應(yīng)于信號(hào)的高頻分量，用高頻小波可作細(xì)致觀察。因此，小波變換具有一個(gè)靈活可變的時(shí)間—頻率窗，能在低“中心頻率”時(shí)自動(dòng)變寬，而高“中心頻率”時(shí)自動(dòng)變窄。

1.2 多尺度分析

測(cè)井信號(hào)多尺度分析的基本思想是：將待處理的測(cè)井信號(hào)在不同尺度上小波分解，分解到粗尺度上的信號(hào)稱之為近似信號(hào)，在細(xì)尺度上存在，但在粗尺度上消失的信號(hào)稱之為細(xì)節(jié)信號(hào)，小波分析是連接不同尺度上測(cè)井信號(hào)的紐帶。

對(duì)測(cè)井信號(hào)f(x)離散采樣得到離散采樣序列f(n)(n=1, 2,…,N)，若以f(n)表示信號(hào)在尺度j=0時(shí)的近似值，記為c0,n=f(n)，根據(jù)Mallat算法[6,7]，測(cè)井信號(hào)f(x)的多尺度分解可表示為：

式中，cj+1是cj的低頻近似，dj+1是cj的高頻細(xì)節(jié)，h(n)和g(n)分別為小波低通和高通濾波器系數(shù)。j是小波多尺度分解的層數(shù)。根據(jù)分解的低頻系數(shù)和各層高頻系數(shù)能實(shí)現(xiàn)測(cè)井信號(hào)的重構(gòu)，測(cè)井信號(hào)重構(gòu)表示為：

電子郵箱: lei_f@ecidi.com

聯(lián)系電話: 0571-56553775

以S地區(qū)L1井50.0～150.0m井段自然伽馬（GR）曲線為例，選用db4小波對(duì)其進(jìn)行3級(jí)分解，多尺度分析結(jié)果如圖1所示。圖中，cA1、cA2、cA3分別表示第一、第二、第三尺度上的低頻系數(shù)，cD1、cD2、cD3分別表示第一、第二、第三尺度上的高頻系數(shù)，利用GR曲線3級(jí)分解后的小波系數(shù)重構(gòu)GR曲線，其重構(gòu)最大誤差僅為1.48×e-10。

圖1 GR曲線正交小波多尺度分析Fig.1 Orthogonal wavelet multi-scale analysis of GR curve

2 測(cè)井曲線多尺度分層

測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)是反映地質(zhì)體地質(zhì)信息的載體，地層變化主要體現(xiàn)在測(cè)井曲線的突變點(diǎn)或突變區(qū)域中。測(cè)井信號(hào)中突變點(diǎn)或突變區(qū)域位置，可能反映在小波系數(shù)的過(guò)零點(diǎn)上，也可能反映在小波系數(shù)的極值點(diǎn)上，目前基于小波多尺度的邊緣檢測(cè)，一般有過(guò)零點(diǎn)邊緣檢測(cè)和模極大值邊緣檢測(cè)兩種方法。

2.1 零通小波變換邊緣檢測(cè)

設(shè)φ(x)為一個(gè)光滑函數(shù)，且有Φ(x)是該光滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：Φ(x)=d2φ(x)/dx2定義：是光滑函數(shù)φ(x)關(guān)于尺度因子s的伸縮變換。由于

于是得到：

因此，Wsf(x)正比于φ(x)，是對(duì)測(cè)井信號(hào)f(x)光滑后所得函數(shù)的二階微分。Wsf(x)的零點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)于f(x)*φs(x)的拐點(diǎn)。利用小波變換的零點(diǎn)位置可以確定測(cè)井信號(hào)的突變點(diǎn)，測(cè)井信號(hào)的突變一般反映了地層巖性和物性的突變點(diǎn)，所以可以運(yùn)用測(cè)井信號(hào)的小波變換的零點(diǎn)位置來(lái)檢測(cè)地層巖性和物性的突變點(diǎn)。

利用零通小波對(duì)測(cè)井曲線多尺度邊緣檢測(cè)的步驟：

（1）選擇合適的小波基函數(shù)對(duì)測(cè)井曲線進(jìn)行小波變換，為保證檢測(cè)有效，小波基應(yīng)是某一光滑函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

（3）根據(jù)步驟（2）中求得的零通點(diǎn)進(jìn)行地層多尺度分層。

2.2 模極值邊緣檢測(cè)

設(shè)φ(x)為一個(gè)光滑函數(shù)，且有Φ(x)是該光滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：

基于模極大值的測(cè)井信號(hào)多尺度邊緣檢測(cè)的步驟：

（1）選擇合適的小波基函數(shù)（小波基應(yīng)為某一光滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)）對(duì)測(cè)井曲線進(jìn)行小波變換，得到一系列小波系數(shù)值Wsf(1)，Wsf(2)，…，Wsf(n)；

（2）計(jì)算最佳尺度下的模極值點(diǎn)。確定一個(gè)閾值E，對(duì)i=0，1，…，n，若滿足以下二個(gè)條件：①Wsf(i)≥E；②Wsf(i)在i點(diǎn)處取模極大值且利普希茨指數(shù)（Lipschitz）α＞0；那么i點(diǎn)就是信號(hào)在尺度s下的一個(gè)突變點(diǎn)。

（3）利用尺度s下的模極值點(diǎn)i進(jìn)行地層多尺度分層。

3 實(shí)際資料應(yīng)用

以S地區(qū)L1井50.0～150.0m井段自然伽馬（GR）曲線為例，分別應(yīng)用零通小波變換和模極值的測(cè)井曲線多尺度邊緣檢測(cè)，定量劃分地層。

Mexihat（墨西哥草帽小波）是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，墨西哥草帽小波的形狀與測(cè)井曲線十分相似，可最大程度地突出測(cè)井信號(hào)，因此本文采用該小波基對(duì)實(shí)際GR曲線進(jìn)行處理。圖2為利用零通小波對(duì)GR曲線進(jìn)行多尺度邊緣檢測(cè)從而劃分地層的過(guò)程，從圖中可以看出，零通小波變換用于測(cè)井曲線分層具有良好效果，與實(shí)際巖性柱基本吻合。隨著小波尺度的增大，所檢測(cè)突變的規(guī)模也逐漸增

大，劃分的地層規(guī)模由單巖層到巖層組的組合。

圖2 零通小波用于測(cè)井多尺度分層Fig.2 Multi-scale demarcation of stratigraphy using zero crossing wavelet

高斯小波是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖像的邊緣提取中有重要的應(yīng)用，因此我們對(duì)L1井50.0～150.0m井段自然伽馬（GR）曲線利用高斯小波進(jìn)行基于模極值的測(cè)井多尺度分層，圖3為模極值測(cè)井多尺度分層綜合成果圖。從圖中看出：小波系數(shù)曲線上負(fù)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于測(cè)井曲線的上升沿，正極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于測(cè)井曲線的下降沿；極值點(diǎn)幅度值隨尺度變化反映了測(cè)井曲線的邊緣特性，幅度值較小對(duì)應(yīng)于測(cè)井曲線較緩邊緣，幅度值較大對(duì)應(yīng)于測(cè)井曲線較陡邊緣。小波系數(shù)色譜圖上顏色由亮到暗代表小波系數(shù)從高到低，模極值點(diǎn)正好對(duì)應(yīng)于色譜圖上亮色區(qū)中心位置。利用模極值邊緣檢測(cè)法劃分地層，界面位置準(zhǔn)確，與地層巖性界面有很好的對(duì)應(yīng)。

圖3 模極值測(cè)井多尺度分層Fig.3 Multi-scale demarcation of stratigraphy using modulus maxima

4 結(jié)論

（1）根據(jù)小波多尺度分析理論，對(duì)測(cè)井曲線進(jìn)行多尺度分析，將一維的測(cè)井信號(hào)變換到二維的時(shí)間—頻率（尺度）域，使其內(nèi)部的能量聚集與分布得以展示，從而在復(fù)雜多變的原始信號(hào)中提取原始測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)所不能體現(xiàn)的信息。

（2）零通小波變換、模極值邊緣檢測(cè)方法具有指示曲線拐點(diǎn)位置和多尺度分析的優(yōu)良特性，運(yùn)用零通小波、模極值邊緣檢測(cè)方法劃分地層界面位置準(zhǔn)確，并且可以選擇適當(dāng)?shù)某叨纫蜃訉?shí)現(xiàn)不同級(jí)別層序地層界面的定量劃分，是傳統(tǒng)研究方法的有效補(bǔ)充，可以推廣至工程應(yīng)用中。

（3）零通小波檢測(cè)容受噪聲干擾，不如模極值檢測(cè)穩(wěn)??；模極值檢測(cè)不僅能夠檢測(cè)邊緣，而且還能夠指示邊緣的性質(zhì)，但需要設(shè)置適當(dāng)閾值，若閾值選擇不合適可能會(huì)造成邊緣粗化，定量劃分的精度降低，而過(guò)零檢測(cè)在某種程度上是自適應(yīng)的，不需要設(shè)置閾值。

References)

[1] Veniste A, Nikoukhah R, Willsky A S. Multiscale system theory[C]//Proceedings of the 29th IEEE conference on decision and control. 1990:2484-2487.

[2] 房文靜,范宜仁,李霞. Morlet小波用于測(cè)井沉積旋回多尺度特性研究[J]. 物探化探計(jì)算技術(shù),2007,2(2):109-111. Fang W J, Fan Y R, Li X. The multi-scale characteristic study of sedimentary cycle in well logging data using morlet wavelet[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration, 2007,2(2):109-111.

[3] 李霞,范宜仁,房文靜,等. 測(cè)井多尺度分析方法用于層序地層劃分研究[J]. 新疆地質(zhì),2006,24(4):454-457. Li X, Fan Y R, Fang W J, et al. Research on the demarcation sequence stratigraphy using multiscale analysis method of well logging[J]. Xinjiang Geology, 2006,24(4):454-457.

[4] 雷芬麗,許平,程武偉,等. 小波分析在測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)融合處理中的應(yīng)用[J]. 上海國(guó)土資源,2013,34(4):87-90. Lei F L, Xu P, Cheng W W, et al. Application of wavelet analysis for multi-scale fusion of well logging data[J]. Shanghai Land & Resources, 2013,34(4): 87-90.

[5] 于繼鋒,李增學(xué). 測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)小波變換及其地質(zhì)意義[J]. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2003,32(3):336-339. Yu J F, Li Z X. Wavelet transform of logging data and its geological significance[J]. Journal of China University of Mining & Technology,2003,32(3):336-339.

[6] Mallat S G. Multiresolution approximation and wavelet orthonomal bases[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1989,315(1):69-88.

[7] 陳正星. 小波分析算法與應(yīng)用[M]. 西安:西安交通大學(xué)出版社, 1998. Chen Z X. Wavelet analysis algorithms and its applications[M]. Xi'an: Xi'an Jiaotong University Press, 1998.

Demarcation of stratigraphy using multi-scale well logging based on wavelet transform

LEI Fen-Li, XU Ping
(Zhejiang Huadong Engineering Safety Technology Co., Ltd., Zhejiang Hangzhou 310014, China)

The logging signal is the summation of lithology, stratigraphic structure, fluid properties, and other information. The well logging curve contains the geological information of geological bodies, and changes in formation are reflected in sharp or gradational boundaries between different logging signals. Taking the gamma ray curve of a well log as an example, this paper presents a multi-scale analysis of the logging curve applying a zero-crossing wavelet and modulus maxima. Quantitative classifications of different stratigraphic interfaces are made at different scales, and the results are consistent with the actual boundaries of the formations. Wavelet analysis constitutes a new method for quantitative stratigraphic demarcation.

well logging curve; zero crossing wavelet; modulus maxima; wavelet transform; multi-scale

P631.8

A

2095-1329(2015)03-0076-04

2014-07-05

2014-08-14

雷芬麗(1983-),女,碩士,工程師,主要從事海洋物探研究.

10.3969/j.issn.2095-1329.2015.01.018