劉起坤 周東方 邢 鋒 雷 雪 余道杰

柱狀物體是空間電磁環(huán)境中最常見的障礙物，如微波器件內(nèi)的金屬支節(jié)、天線支撐架、金屬網(wǎng)架天線罩或微波輻照物等，故柱體散射問題一直是國內(nèi)外的熱門研究課題?，F(xiàn)有研究柱體散射的方法有很多[15]-，目的是希望獲得柱狀物體散射場的精確快速分析。其中，迭代算法因為能夠?qū)ξ矬w之間的多次散射進(jìn)行精確近似，受到越來越多的關(guān)注。現(xiàn)有電磁分析中的迭代算法一般可以分為兩類，第 1類是基于傳輸線理論中的網(wǎng)絡(luò)思想，建立表征入射波與散射波關(guān)系的廣義T矩陣，并對T矩陣進(jìn)行遞推實現(xiàn)問題求解[611]-，該類方法一般稱為遞推T矩陣法；第2類是將原始問題等效為多次散射的疊加，

2015-01-29收到，2015-05-06改回，2015-06-26網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版

國家自然科學(xué)基金（62101056）和國家863計劃項目（2014AA01A707）資助課題

*通信作者：劉起坤 ed-liuqikun@163.com建立迭代前后散射場之間的關(guān)系式，疊加每次迭代時的散射場，得到散射問題的解[12,13]，此種方法一般稱為迭代散射法（ISP）。迭代散射法能夠快速分析柱體陣列的散射特性，已經(jīng)應(yīng)用到腔體內(nèi)金屬枝節(jié)或開放空間柱體散射[1416]-等。但是現(xiàn)有文獻(xiàn)中ISP算法的物理迭代過程缺乏細(xì)致的描述，缺少迭代次數(shù)、適用條件等算法的收斂性分析，并且沒有給出迭代過程的物理意義。本文對自由空間中細(xì)長金屬柱體的電磁散射問題進(jìn)行分析，將初始的場關(guān)系展開為Bessel函數(shù)或Hankel函數(shù)關(guān)系式，詳細(xì)闡述了柱體陣列散射場的迭代過程；根據(jù)迭代后散射場的衰減規(guī)律，得到ISP算法的最優(yōu)迭代次數(shù)，最后疊加得到柱體陣列的散射場。

2 初始平面波入射

2.1 柱體散射場分析

圖1 無限長柱體在坐標(biāo)系中的位置

如圖1建立無限長金屬柱體的柱坐標(biāo)系，柱體i（i表示柱體編號）位于全局坐標(biāo)系的（dio,φio）位置，觀察點P1相對于柱體i局部坐標(biāo)系的位置為（ρi, φi） ，平面波從-x方向水平入射到柱體i，電場方向與+z方向平行。

柱體上產(chǎn)生的散射場為向外傳播的柱面波，考慮到遠(yuǎn)場區(qū)域散射場為有限值，故散射場可以展開為第2類Hankel函數(shù)形式：

令m取最大值M, n取最大值N，可以推出未迭代時散射場系數(shù) bi0m：

2.2 散射矩陣推導(dǎo)

其中，各矩陣意義如下： [bi0m]表示未迭代時散射場系數(shù)矩陣，[Gmi]表示邊界條件矩陣，[Tmion]表示柱體i從全局坐標(biāo)系到局部坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系矩陣，[an]

表示入射場系數(shù)矩陣。

3 迭代散射理論

迭代散射的原理是將其余柱體的第 1n- 次迭代后產(chǎn)生的散射場，作為某柱體第n次迭代時的入射場。所以迭代散射的過程，即是分析柱體間相互作用的過程。柱體陣列的間距通常不能滿足遠(yuǎn)場條件，對于長度遠(yuǎn)大于波長的柱體，散射場可以展開為若干柱面波之和。下面對迭代過程進(jìn)行詳細(xì)闡述。

3.1 第1次迭代過程

柱體陣列的模型如圖2所示，假設(shè)柱體總數(shù)為I，?。ǔサ?i個柱體外的）其余柱體的散射場作為第i個柱體的入射場。

圖2 柱體陣列分布模型

第1次迭代時，柱體j（）ji≠局部坐標(biāo)系下入射場表示為為了計算方便，將各柱體的入射場轉(zhuǎn)換到柱體 i所在局部坐標(biāo)系下，即

第1次迭代后，柱體i的散射場：

根據(jù)理想導(dǎo)體表面邊界條件，最終確定第1次迭代后的散射場系數(shù)1ipb：

3.2 多次迭代過程

迭代過程同上，可以得出迭代v次后的散射場系數(shù)vipb ：

通過多次迭代散射，可以建立散射場系數(shù)與入射場系數(shù)的相對關(guān)系： bV= T （ T （ … T （ a0））） 。

將迭代V次后散射場變換到全局坐標(biāo)系：

4 迭代散射結(jié)果分析

4.1 算法收斂性分析

迭代散射算法基于柱面波函數(shù)展開進(jìn)行分析，限于Bessel函數(shù)及Hankel函數(shù)的性質(zhì)，迭代散射算法需要滿足一定的近似條件。柱體表面的入射電場近似展開為Bessel函數(shù)形式，要求入射電場展開前后的計算誤差滿足

同時，柱體陣列間距有限，迭代的散射場按照Hankel函數(shù)展開為若干柱面波之和。由于 Hankel函數(shù)在零點位置的數(shù)值為奇異點，當(dāng)柱體間距很小時，迭代的散射場會出現(xiàn)不可預(yù)期的畸變。

為了保證算法的有效性，迭代散射算法需要滿足以下近似：柱體半徑需要滿足 ri≤0.5λ，柱體間距dij≥λ，柱面波函數(shù)的展開級數(shù)N≥ 1 00。

4.2 迭代次數(shù)分析

迭代散射的過程可以認(rèn)為是柱體間相互作用的過程。從理論上說，迭代次數(shù)應(yīng)該無窮多，這顯然是不能夠?qū)崿F(xiàn)的。本文對柱體陣列的散射場迭代次數(shù)進(jìn)行分析，確定最優(yōu)的迭代次數(shù)。為了體現(xiàn)計算方法的通用性，選取不同半徑、空間位置分布的 4個理想金屬柱體C1～C4，如圖3所示。仿真頻率設(shè)為1 GHz，柱體長度為20倍波長，迭代次數(shù)為3，柱體半徑及相對位置關(guān)系見表1。

圖3 柱體陣列模型示意圖

表1 柱體陣列的半徑及相對位置數(shù)據(jù)

為了兼顧計算精度與計算速度，需要確定 ISP算法的迭代次數(shù)。本文分別選取圖3所示的兩個柱體C1和C2, 4個柱體C1～C4，采用迭代散射法對這兩組柱體陣列的散射場進(jìn)行分析，結(jié)果如圖 4，圖5所示。

圖4為僅存在柱體C1, C2時，不同迭代次數(shù)下柱體C1產(chǎn)生的歸一化散射場方向圖。從圖4中可以看出，未迭代時（圖4中迭代0次曲線）柱體在180°方向產(chǎn)生前向主輻射場，這是由于初始入射場從0°方向入射，在180°方向產(chǎn)生較強(qiáng)的前向輻射場。同時，從圖中可以看出，迭代次數(shù)增加1次，散射場幅度衰減約-15 dB，第3次迭代產(chǎn)生的散射場相對于初始散射場衰減約-50 dB，所以迭代次數(shù)取3次即可保證ISP算法的計算精度。

圖4 柱體C1局部散射場的迭代分析（柱體C1,C2）

圖5 為4個柱體C1～C4的散射場迭代曲線。從迭代曲線來看，未迭代時散射場最大，隨著迭代次數(shù)增加，散射場的幅值逐漸減小，說明多次迭代后柱體間影響逐漸減小。對比圖4，圖5可以看出，隨著柱體數(shù)目的增加，柱體之間的相對關(guān)系較為復(fù)雜，迭代后散射場不均勻。整體上看，迭代次數(shù)增加1次，散射場衰減幅度約-10 dB，第3次迭代產(chǎn)生的散射場比初始散射場衰減約-45 dB，迭代次數(shù)取3次即可保證ISP算法的計算精度。

綜合來看，迭代次數(shù)取3次時，ISP算法分析柱體陣列的散射場可以保證良好的計算精度。

4.3 算法準(zhǔn)確度驗證

平面波從-x方向照射到柱體陣列上，電場極化方向為+z方向。為了驗證ISP算法的準(zhǔn)確度，采用電磁仿真軟件FEKO Suite 5.5中的矩量法（MoM）模塊，對圖3所示柱體陣列模型進(jìn)行對比計算。ISP算法迭代次數(shù)為3，仿真頻率設(shè)為1 GHz，柱體長度為20倍波長，M=100；矩量法模塊中設(shè)置三角形邊長λ/6、線段長度λ/15、線段半徑λ/100，兩種算法的計算結(jié)果如圖6所示。

圖6為柱體C1產(chǎn)生的總輻射場方向圖，以及采用ISP和MoM兩種方法計算柱體陣列輻射場的對比曲線，其中圖 6（a）為 2個柱體（C1,C2）在 xoy平面的電場方向圖，圖 6 （b）為 4 個柱體（C1～C4）在xoy平面的電場方向圖。從圖中可以看出，單個柱體C1在入射波方向（角度0°）產(chǎn)生最大散射；柱體數(shù)目增加到2個時，主輻射方向（角度180°）總散射場增加約0.7 dB, 4個柱體時主輻射方向總散射場增加約1 dB。隨著柱體數(shù)量的增加，散射場的不均勻性逐漸出現(xiàn)，旁瓣電平逐漸增大。對比 MoM 與 ISP的曲線來看，兩條曲線的計算結(jié)果有著很好的一致性。而計算速度方面，計算4個柱體時MoM計算時間需要3384 s（不含搭建模型時間），而ISP算法計算時間僅需440 s。

5 結(jié)論

圖5 柱體C1的散射場迭代分析（柱體C1～C4）

圖6 柱體陣列的總場分析

本文采用了迭代散射法分析了陣列的散射場。通過對單個柱體的散射場進(jìn)行柱面波函數(shù)展開，推導(dǎo)出散射場與入射場系數(shù)之間的迭代關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，通過分析不同迭代次數(shù)下柱體的散射場，在保證計算精度與速度條件下，確定ISP算法的最優(yōu)迭代次數(shù)。在算法精度方面，ISP算法與MoM計算結(jié)果吻合良好；在算法速度方面，ISP算法因為無需對柱體進(jìn)行剖分，計算速度明顯優(yōu)于MoM。本算法不限于柱體陣列散射計算，同樣適用于其它柱狀物體的散射問題。

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