高穎龍，王小華，李珍珠，盧　進(jìn)

(長沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410114)

?

基于非線性最小二乘法的電力系統(tǒng)頻率跟蹤

高穎龍，王小華，李珍珠，盧進(jìn)

(長沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410114)

摘要:電力系統(tǒng)頻率是電能質(zhì)量的基本指標(biāo)之一，對頻率的跟蹤測量是電力系統(tǒng)正常運(yùn)行、調(diào)節(jié)和控制的基礎(chǔ)。文中提出了一種基于非線性最小二乘法實(shí)現(xiàn)頻率跟蹤的算法，并對該算法進(jìn)行仿真，比較該算法和傳統(tǒng)的基于最小二乘法的電力系統(tǒng)頻率跟蹤算法的優(yōu)劣，表明該算法具有更好的精確性和實(shí)時性。

關(guān)鍵詞：電力系統(tǒng)；頻率跟蹤；非線性最小二乘

0　引　言

頻率穩(wěn)定是電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行的重要因素，它反映了電力系統(tǒng)中有功功率供需平衡的基本狀態(tài)。頻率質(zhì)量直接影響著電力系統(tǒng)的安全、穩(wěn)定和優(yōu)質(zhì)運(yùn)行，因此實(shí)現(xiàn)精確的頻率跟蹤具有重要的意義。國內(nèi)外對頻率跟蹤的研究較多，主要有周期法，解析法，DFT類算法及其改進(jìn)算法，誤差最小化原理類算法等。周期法物理概念清晰易于實(shí)現(xiàn)，但精度不高，實(shí)時性不好；解析法計算簡明，計算量不大，但是精度不高、速度也不快；DFT類算法能準(zhǔn)確的計算出頻率，考慮諧波和噪聲的情況下，其各類改進(jìn)算法能在一定程度上減小誤差，但存在增大計算量和時滯等缺點(diǎn)；誤差最小化算法中又包括最小二乘法，最小絕對值近似，牛頓類算法，離散卡爾曼濾波算法，這些算法在測量速度、精度、計算量、實(shí)現(xiàn)難易程度等方面各有優(yōu)缺點(diǎn)。本文針對電力系統(tǒng)信號模型，引入一種非線性最小二乘法，通過迭代算法尋找最小誤差值，從而求得電力系統(tǒng)頻率的估計值，并對電力系統(tǒng)信號模型中含有奇次諧波的情形進(jìn)行了詳細(xì)的仿真、分析和比較。仿真結(jié)果證明了該算法的有效性、準(zhǔn)確性。

1　基本原理

因?yàn)閷τ谌魏我粋€周期信號f(t)都可以用一個傅里葉級數(shù)表示，所以電力系統(tǒng)的模型可以表示為：

(1)

式中，an和bn是第n次諧波分量的幅值;ω0是基波角頻率，ω0=2πf0，f0即為所求電力系統(tǒng)頻率。由于在實(shí)際電力系統(tǒng)中可以近似認(rèn)為信號不含直流分量，所以令a0=0，諧波分量最大值定義為N，于是式(1)可以寫為：

(2)

可以先假定ω0是已知的,為了計算an和bn，假定f(t)是在M步長均勻采樣點(diǎn)上，也就是說在f(tk)中k=1,2,…,M。這樣就導(dǎo)出下面的均勻采樣模型：

(3)

由電網(wǎng)特性可知，除基波外，3次、5次和7次等奇次諧波影響權(quán)重較大，偶次諧波與間歇波等幅值小，持續(xù)時間短，可近似忽略，因此，令n∈(1,3,5,7,…,nk)，定義nk為最大諧波分量。所以可以將式(3)改寫為矩陣方程：

(4)

其中：H=[HaHb]

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

利用最小二乘法[1]可以解得：

(10)

以上計算過程是基于ω0假定已知的前提下進(jìn)行的，而實(shí)際上ω0是未知的，即H矩陣是未知的，所以該問題變成一個非線性最小二乘問題,將式(10)代入式(4)有：

(11)

從而可以得到真實(shí)值與估計值的誤差e：

(12)

ω0值的確定可以通過求e的二范數(shù)的平方的最小值來確定。令

(13)

根據(jù)二范數(shù)求解方法有：

(14)

所以要求e的二范數(shù)的平方的最小值就轉(zhuǎn)化為求f的最小值，當(dāng)f最小時，對應(yīng)的ω0即為所求。式(14)是只包含ω0一個未知參數(shù)的一元函數(shù)，所以可以用一維搜索法[2]求出f的最小值,通過一維搜索法得到的f和頻率f0的關(guān)系如圖1。

圖1 根據(jù)一維搜索法得出的f和頻率f0的關(guān)系圖形

2　算法仿真

該算法中影響頻率跟蹤的因子有兩個，取樣間隔與諧波分量，因此在仿真的過程中針對這兩個因子進(jìn)行仿真。在實(shí)際電力系統(tǒng)中，諧波分量越高對電力系統(tǒng)的影響越小，所以取13次諧波分量就可以很好地對該算法進(jìn)行仿真。

設(shè)定電力系統(tǒng)取樣頻率恒定為50 Hz，取樣間隔為10 ms，諧波分量分別取7次諧波和13次諧波，觀察在相同取樣間隔的情況下諧波分量對于頻率跟蹤的影響，仿真結(jié)果如表1。

表1　不同諧波分量下頻率跟蹤誤差值

由表1可知在取樣間隔相同的情況下，諧波分量為7次諧波時，得到的跟蹤頻率值與真實(shí)值的最大誤差為0.9 Hz,諧波分量為13次諧波時，得到的跟蹤頻率值與真實(shí)值的最大誤差為0.12 Hz，通過仿真可知在取樣間隔相同的情況下，諧波分量越大跟蹤結(jié)果越精確。

設(shè)定電力系統(tǒng)取樣頻率恒定為50 Hz，諧波取13次分量，取樣間隔分別為10 ms與20 ms進(jìn)行仿真，觀察在相同諧波分量的情況下取樣間隔對于頻率跟蹤的影響，通過仿真得到表2結(jié)果。

表2　不同取樣間隔下頻率跟蹤誤差值

由表2可知在諧波分量相同的情況下，取樣間隔為10 ms時，得到的跟蹤頻率值與真實(shí)值的最大誤差為0.11 Hz；在取樣間隔為20 ms時，得到的跟蹤頻率值與真實(shí)值的最大誤差為0.02 Hz。通過仿真可知在諧波分量相同的情況下，取樣間隔越大跟蹤結(jié)果越精確。

最后針對電力系統(tǒng)模型作如下仿真，設(shè)定頻率在50～54 Hz之間變化，比較基于非線性最小二乘法與基于最小二乘法[3]對該模型的跟蹤結(jié)果，如圖2、圖3所示。圖中設(shè)定頻率首先在50 Hz保持不變，然后迅速變化到54 Hz再緩慢變化到50 Hz左右。

仿真結(jié)果表明，非線性最小二乘法比最小二乘法的跟蹤效果好，延時更短，更準(zhǔn)確，對于諧波的抑制能力也比較強(qiáng)，便于在線實(shí)時對電力系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤。

圖2 基于最小二乘法的頻率跟蹤的仿真圖形

圖3 基于非線性最小二乘法的頻率跟蹤的仿真圖形

3　結(jié)　論

非線性最小二乘法通過迭代尋找最佳估計值，可以快速、準(zhǔn)確地對電力系統(tǒng)頻率進(jìn)行跟蹤，對于諧波的影響也較小，可以滿足對電力系統(tǒng)在線實(shí)時跟蹤的要求，并且精度較高、計算量較小、收斂速度比較快。

參考文獻(xiàn)：

[1]王毅非. 最小二乘算法的研究與改進(jìn)[J].繼電器，2000, 28(3)：5-8.

[2]張燕，徐爾. 精確一維搜索下幾種共軛梯度法的分析比較[J].北京工商大學(xué)學(xué)報，2009，27(1)：69-71.

[3]Miodrag D,Kusljevic,Josif J. Frequency Estimation of Three-Phase Power System Using Weighted-least-Square Algorithm and Adaptive FIR Filtering[J].2010，59(2)：322-329.

研制開發(fā)

Frequency Tracking Algorithm for Power System Based on Nonlinear Least Squares Method

GAO Ying-long, WANG Xiao-hua, LI Zhen-zhu, LU Jin

(College of Electrical and Information Engineering,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410114,China)

Abstract:Power system frequency is one of the basic indexes of power quality, and tracking and measurement of frequency is the basis of normal operation, adjustment and control of power system. The paper proposes a frequency tracking algorithm based on the nonlinear least squares method, and simulation of this algorithm was carried out. Comparisons between this algorithm and the traditional power system frequency tracking algorithm based on least square method show that the proposed algorithm has a better accuracy and real-time performance.

Key words:power system; frequency tracking; nonlinear least squares

中圖分類號：TP18

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3664(2015)02-0042-02

作者簡介：高穎龍(1988-)男，湖南常德市臨澧縣人,碩士研究生，研究方向：信號處理與通信。

收稿日期：2014-12-11