姜　靜，董麗鑫

(沈陽理工大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110159)

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二維離散系統(tǒng)的H∞濾波仿真研究

姜靜，董麗鑫

(沈陽理工大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110159)

摘要：基于Roesser模型對二維離散系統(tǒng)的H∞濾波問題進行研究，討論了二維H∞濾波器的設計方法。針對任意能量范圍內(nèi)的噪聲輸入，二維H∞濾波器能保證噪聲衰減的水平。應用LMI(線性矩陣不等式)方法和黎卡提不等式方法處理二維H∞濾波問題。設計基于觀測器的H∞濾波器，最后通過圖像處理的相關(guān)實例進行結(jié)果仿真驗證。仿真結(jié)果表明，濾波誤差系統(tǒng)的頻率響應低于指定的H∞噪音衰減水平，濾波效果明顯。

關(guān)鍵詞：二維離散系統(tǒng)；Roesser模型；H∞濾波器；線性矩陣不等式；黎卡提不等式

工程上常用的濾波算法是Kalman濾波算法，但是Kalman濾波器計算較為復雜，并且它要求精確已知系統(tǒng)的數(shù)學模型和噪聲統(tǒng)計，當這些條件不能很好滿足時，Kalman濾波的性能將遭到破壞。隨著魯棒控制理論的發(fā)展，提出了H∞優(yōu)化設計的魯棒濾波技術(shù)，其設計思想是使得噪聲能量和估計誤差能量的最大比值小于某一正數(shù)，從而確保在任意有限能量干擾下所得到的估計誤差能量最小[1]。二維有界實引理可以應用LMI[2]和Riccati不等式解決二維H∞濾波問題[3]。本文主要完成基于觀測器的H∞濾波器設計。

1　二維離散系統(tǒng)模型

各種線性離散二維狀態(tài)空間模型中，Roesser模型是最常見的也是最有用的模型之一，它在圖像處理等領(lǐng)域有十分重要的應用。

Roesser模型為

(1)

(2)

(3)

式中：xh∈Rn1、xv∈Rn2分別是橫向狀態(tài)，縱向狀態(tài)；ω∈Rq是屬于l2{(0，∞)，(0，∞)}的噪音信號；y∈Rl是測量輸出；z∈Rp是待估信號；A、B、C、D和L為適當維數(shù)的常值實數(shù)陣。

2　二維系統(tǒng)有界實引理

線性系統(tǒng)的一個基本屬性是有界實性，它與線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有限增益(即H∞范數(shù))有關(guān)。在狀態(tài)空間設置中的一維 H∞控制和濾波問題的解決方案很大程度上依賴于所謂的有界實引理，它涉及到系統(tǒng)的有界實性質(zhì)。

根據(jù)一維系統(tǒng)的H∞噪音衰減的概念，定義二維系統(tǒng)的H∞噪音衰減如下：

(4)

則稱二維系統(tǒng)式(1)～(3)有H∞噪音衰減γ。

當已知邊界條件為0時，即X(0)=0，式(4)可以寫成

(5)

考慮二維Roesser模型：

(6)

(7)

定理1給定一個正標量γ，如果滿足下面任意的等價條件，則稱未知邊界條件二維系統(tǒng)式(6)～(7)有H∞噪音衰減γ。

(1)如果存在塊對角矩陣P=diag{Ph,Pv}>0，其中Ph∈Rn1×n1，Pv∈Rn2×n2滿足Ph<γ2R1和Pv<γ2R2,則使得

ATPA-P+γ-2(ATPB+HTL)[I-γ-2(BTPB+LTL)]-1(BTPA+LTH)+HTH<0

(8)

并且I-γ-2(BTPB+LTL)>0。

(2)存在一個針對LMI塊對角矩陣，

Y=diag{Yh,Yv}>0,

(9)

3　基于觀測器的H∞濾波器設計

應用定理1設計基于觀測器的H∞濾波器。

3.1　基于觀測器的H∞濾波器形式

根據(jù)二維狀態(tài)觀測器理論，基于觀測器的二維濾波器形式適用于系統(tǒng)(1)～(3)研究二維H∞濾波問題：

(10)

(11)

記狀態(tài)估計誤差為

(12)

從式(1)～(3)和式(10)～(12)，可以得到誤差系統(tǒng)：

(B-KD)ω(i,j)

(13)

(14)

這樣就找到了如同式(10)形式的濾波器，使其誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，并且滿足式(4)。

3.2　黎卡提不等式方法

假定DDT>0，即所有的測量受噪聲干擾。

定理2為系統(tǒng)(1)～(3)提供一個黎卡提不等式方法實現(xiàn)H∞濾波。

對于ARI

(15)

在這種狀況下，可以得到一種合適的濾波增益：

K=(AVCT+LTDT)(CVCT+DDT)-1

(16)

式中，V=Q+γ-2QBΩ-1BTQ。

(A-KC)TQ(A-KC)-Q+γ-2(A-KC)TQB

(I-γ-2BTQB)-1BTQ(A-KC)+LTL<0

(17)

公式(17)重新給定如下條件

ATQA-Q+LTL+γ-2ATQBΩ-1BTQA

+K(DDT+CQCT+γ-2CQBΩ-1BTQCT)KT

-K(CQA+DL+γ-2CQBΩ-1BTQA)

-(ATQCT+LTDT+γ-2ATQBΩ-1BTQCT)KT<0

(18)

并且，令LA=γ-1BTQA，CA=COA+DL,LC=γ-1BTQCT,

(19)

根據(jù)定理2中的假設DDT>0，X1>0，可以得到

(20)

因此，在公式(15)和(18)中的Q和K滿足不等式(17)，可以實現(xiàn)H∞濾波。

3.3　LMI方法

文中應用LMI方法來計算濾波器得到式(10)中的K。

定理3針對未知邊界條件時考慮二維系統(tǒng)(1)～(3)，給定噪音衰減γ>0，且常數(shù)加權(quán)矩陣R1>0,R2>0如果存在一個實對稱矩陣P=diag{Ph,Pv}>0，其中Ph∈Rn1×n1,Pv∈Rn2×n2滿足Ph<γ2R1和Pv<γ2R2且有秩為(n1+n2)×l的矩陣S，則存在一個形式為式(10)的濾波器來解決二維 H∞濾波問題[6-10]。

對于LMI滿足

(21)

這里，通過K=P-1S對式(10)給出一個合適的濾波器。

證明考慮濾波器的誤差系統(tǒng)(11)～(12)。由定理1(2)，如果存在一個實對稱矩陣P=diag{Ph,Pv}>0，滿足Ph<γ2R1，Pv<γ2R2則系統(tǒng)有H∞噪音衰減γ，所以

(22)

當S=PK時，式(21)成立，所以可得K=P-1S。

4　實例驗證

文中設計一個圖像處理中固定隨機場的二維 H∞濾波器。通常，平穩(wěn)隨機場可以用如下二維系統(tǒng)模型表示：

η(i+1,j+1)=a1η(i,j+1)+a2η(i+1,j)

-a1a2η(i,j)+v1(i,j)i=0,1,…,j=0,1,…

(23)

記xh(i,j)=η(i,j+1)-a2η(i,j)，并且xv(i,j)=η(i,j)。方程(23)可以轉(zhuǎn)換成形式為式(1)的二維Roesser模型：

令a1=0.2,a2=0.1，假定測量輸出和待估信號如同式(2)、(3)所示。

C=[01]，D=1，L=[01]

并且，系統(tǒng)是零邊界條件。

首先，應用定理2黎卡提方法設計H∞濾波器，通過計算機仿真，噪音衰減的最優(yōu)標準是γ=1.16。

其中，濾波器的增益為

其次，考慮一個基于觀測器的二維濾波器(10)～(11)，并且用定理3來為隨機場系統(tǒng)(23)設計一個H∞濾波器。通過計算機仿真，得到噪音衰減的最優(yōu)標準是γ=1.16。

根據(jù)式(21)給出相一致的解決方法為

得到濾波器的增益為

擾動ω到估計誤差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G(z1,z2)=L[diag{z1In1,z2In2}-(A-KC)]-1(B-KD)

濾波前系統(tǒng)的頻率響應圖如圖1所示。

圖1　濾波前系統(tǒng)的頻率響應圖

在Matlab仿真環(huán)境下，|G(ejω1,ejω2)|，令0<ω1<2π，0<ω2<2π，濾波誤差的頻率響應如圖2所示。

圖2　濾波誤差的頻率響應圖

可以看出濾波誤差系統(tǒng)的頻率響應低于指定的H∞噪音衰減水平γ=1.16，濾波效果明顯。

5　結(jié)論

討論了設計基于觀測器的二維H∞濾波器的中的黎卡提不等式和LMI方法，給出了用Roesser模型描述的二維系統(tǒng)的H∞濾波器的設計過程。針對一個圖像處理中的實例進行了計算機仿真，驗證了LMI方法的濾波效果。采用Roesser模型解決二維離散系統(tǒng)H∞濾波問題的LMI方法不同于黎卡提方法，LMI方法的優(yōu)點是它的計算功能。

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(責任編輯：馬金發(fā))

H∞Filtering Simulation Based on 2-D Discrete Systems

JIANG Jing，DONG Lixin

(Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China)

Abstract：H∞filtering problem of 2-D discrete state systems is investigated by Roesser model，and a linear 2-D filter is designed.2-D filter guarantees a prescribed level of H∞noise attenuation for any energy bounded noise input.The 2-D H∞filtering problem is solved by Riccati inequality and LMI approach.Observer-based 2-D H∞filter is designed,which verifies the related examples image through simulation results.The simulation result shows that the filtering error system frequency response is below the level of H∞noise attenuation and filtering effect is obvious.

Key words：2-D Discrete State system;Roesser model;H∞filter;LMI;riccati inequality

中圖分類號：TP29

文獻標志碼：A

文章編號：1003-1251(2015)01-0029-05

作者簡介：姜靜(1973—)，女，副教授，博士，研究方向：復雜系統(tǒng)的建模、優(yōu)化、控制及仿真。

收稿日期：2014-04-11