朱詩紅
(銅陵學(xué)院,安徽 銅陵 244000)
數(shù)學(xué)期望幾個公式的證明
朱詩紅
(銅陵學(xué)院,安徽 銅陵 244000)
《概率統(tǒng)計》教學(xué)中,在講授數(shù)學(xué)期望這一節(jié)時,許多學(xué)生認(rèn)為連續(xù)型隨機(jī)變量或連續(xù)型隨機(jī)向量的幾個計算公式給出比較突然,不易理解.因此在已知離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算公式的前提下,利用微積分的極限思想,說明了這幾個公式是如何成立的。不僅有助于學(xué)生理解掌握這幾個公式,而且使學(xué)生領(lǐng)略極限在解決問題時的妙用。
數(shù)學(xué)期望;隨機(jī)變量;極限;連續(xù)型
在國內(nèi),許多本科院校學(xué)生使用的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教材中,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望往往是通過計算通常意義下平均數(shù)引入,然后再從隨機(jī)變量角度考察這個平均數(shù)并且推廣而得出離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義。而連續(xù)性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計算公式幾乎都是在介紹離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望之后直接給出,因此很多同學(xué)都難以接受?!盀槭裁词沁@種形式?”“怎么得到的這個公式的?”學(xué)生們這樣的疑問不絕于耳。老師往往由于課時的限制,只能解釋說“這個公式只要會運(yùn)用即可,特別是對于我們經(jīng)管類的學(xué)生”。盡管有些好奇心特別強(qiáng)的同學(xué)下課時和我們一起探討了這個問題,而大多數(shù)同學(xué)由于種種原因擱置了這個問題或者“心甘情愿”地接受它們。所以,想借助此文以消除這些同學(xué)對這些問題的困惑。
先看隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義
對于(1)式,大多數(shù)老師在講授時都是用一個求平均值得實例引入,然后將這個實例一般化推廣而得到.而對于(2)時卻不作說明地直接給出.這給許多同學(xué)造成疑惑,甚至囫圇吞棗.
實際上,我們可以按如下幾步得到公式(2):
且相鄰的兩點相差一個很小的常數(shù),即這些點將x軸劃分成無數(shù)個小區(qū)間.
圖1 區(qū)間△xi曲邊梯形圖
區(qū)間△xi所對應(yīng)的曲邊梯形如圖所示.
再由定積分的定義可得:
下面給予簡單的證明。
證明:
1.同上(略)。
2.同上(略)。
3.近似.考慮最簡單的情形:
再由定積分的定義可得:
若Y=g(X)不是單調(diào)連續(xù)的,則需分段考慮,也可得到相同的結(jié)論。
圖2 △Vi曲頂柱狀圖
下面給予簡單的說明.
O212
C
1672-0547(2015)05-0105-02
2015-09-18
朱詩紅(1972-),男,安徽蕪湖人,銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院教師,研究方向:調(diào)和分析。