朱寬云，詹建明

( 湖北民族學院 數(shù)學系，湖北 恩施445000)

在1999 年，Molodtsov［1］介紹了軟集的概念，這可以看作是一種新的數(shù)學工具來處理不確定性問題．隨后，軟集理論不斷發(fā)展，有些學者將其應(yīng)用到代數(shù)結(jié)構(gòu)上．Jun［2］介紹和研究了軟Bck/BCI 代數(shù)．后來，Acar［3］提出軟環(huán)的定義并且給出軟環(huán)的一些性質(zhì)．在文獻［4－5］中，Liu 已經(jīng)在軟環(huán)上建立了三個同構(gòu)定理和模糊同構(gòu)定理，隨后，F(xiàn)eng［6］介紹了軟半群的軟同態(tài)和軟商半群．后來，Xin［7］將同余關(guān)系作用到環(huán)上，研究了環(huán)上的軟同余關(guān)系，并建立了幾個軟同構(gòu)定理．本文主要介紹半環(huán)上的軟同余關(guān)系，并且通過軟同余關(guān)系來構(gòu)造商結(jié)構(gòu)，刻畫幾個軟半環(huán)的軟同構(gòu)定理．

1 預(yù)備知識

定義1［8］令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個軟半環(huán)，令f:S→T和g:A→B是兩個函數(shù)，如果滿足下面的幾個條件，那么序?qū)?f，g)稱作軟半環(huán)同態(tài)．

1)f是半環(huán)上的滿同態(tài);2)g是滿射;3)對于所有的x∈A，f(F(x))=G(g(x))．

如果在(F，A)和(G，B)之間存在一個軟半環(huán)同態(tài)，那么說(F，A)對(G，B)軟同態(tài)化，表示為(F，A)～(G，B)．更近一步，如果f是半環(huán)上的同構(gòu)，g是雙射，那么稱(f，g)是軟半環(huán)同構(gòu)．在這種情況下，說(F，A)對(G，B)軟同構(gòu)化，表示為(F，A)?(G，B)．

例1 表示? 和Zn分別是整數(shù)半環(huán)和模n的整數(shù)半環(huán)．令f:? →Zn是一個自然映射，對于所有的x∈? ，定義為f(x)=［x］．很明顯，f是半環(huán)上的滿同態(tài)．令?+是所有正整數(shù)的集合，定義一個映射為g:?+→Zn，對于所有的x∈?+，g(x)=［x］，很容易驗證g是滿射．令(α，?+)是? 上的軟集，這里α:? →P(? )是一個極值映射，對于所有的x∈?+定義為α(x)= 3xk|k∈Z}

{

．很容易驗證對于所有的x∈?+，α(x)=3x? 是? 上的子半環(huán)．因此(α，?+)是? 上的軟半環(huán)．令(β，Zn)是Zn上的軟集，這里β:Zn→P(Zn)是一個極值映射對于所有的［x］∈Zn定義為β(［x］)= ［3xk］|k∈Z}

{

．很容易證明(β，Zn)是Zn上的軟半環(huán)．更進一步，對于所有

的x∈?+，因為并且，得到f(α(x))，因此(f，g)是軟半環(huán)同態(tài)并且

2 軟商半環(huán)和軟同構(gòu)定理

定理1 令(σ，A)是半環(huán)S上的軟同余關(guān)系，對于，那么對于α∈A，S/σ(α)在下面的二元運算下是一個半環(huán)．

這里x，y∈S．

證明 首先驗證上面的二元運算是定義合理的．對于所有α∈A，a，a'，b，b'∈S，首先考慮［a］σ(α)=［a'］σ(α)，［b］σ(α)=［b'］σ(α)．因此(a，a')∈σ(α)，(b，b')∈σ(α)，根據(jù)半環(huán)同余的定義，立即可以得到(a+b，a+b')∈σ(α)，(ab，ab')∈σ(α)，因此［a+b］σ(α)=［a'+b'］σ(α)，［ab］σ(α)=［a'b'］σ(α)，現(xiàn)在很容易驗證S/σ(α)是一個半環(huán)．

令σ 是半環(huán)S上的同余關(guān)系，(F，A)是半環(huán)S上的軟半環(huán)，把(F，A)/σ 表示為(K，A)，對于所有α∈A，K(α)= ［a］σ:a∈F(a)}

{

．因為F(α)是半環(huán)S上的子半環(huán)，很容易知道K(α)是S/σ 的子半環(huán)．因此(F，A)/σ是S/σ 的一個軟半環(huán)．

定義1 令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個軟半環(huán)，令(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個軟同態(tài)，把ker(f，g)定義為半環(huán)S上軟二元關(guān)系(δ，A)，對于所有α∈A，

命題1 令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個軟半環(huán)，如果(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個軟同態(tài)，那么ker(f，g)是(F，A)上的軟同余關(guān)系．

證明 因為(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個軟同態(tài)，由定義f:S→T是半環(huán)上的滿同態(tài)，g:A→B是滿射，并且對于所有的α∈A，f(F(x))=G(g(x))．把軟關(guān)系ker(f，g)寫為(δ，A)，對于所有的α∈A，δ(α)=(kerf)|F(α)．因為kerf是半環(huán)S上的等價關(guān)系，容易知道對于所有的α∈A，δ(α)是子半環(huán)F(α)上的等價關(guān)系．更近一步，假設(shè)(a，a')∈σ(α)，(b，b')∈σ(α)，那么f(a)=f(a')，f(b)=f(b')，因此有:

這表明(a+b，a'+b')∈δ(a)，(ab，a'b')∈δ(a)，因此對于所有的α∈A，δ(α)是F(α)上的同余關(guān)系．故ker(f，g)是(F，A)上的軟同余關(guān)系．

定理2 令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個軟半環(huán)，如果(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個軟同態(tài)并且g:A→B是一個單射，那么對于所有的α∈A，存在唯一一個軟同構(gòu)(h，g):(F，A)/kerf→(G，B)使得h(F(α)/kerf)=G(g(α))．

證明 因為(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個軟同態(tài)，因此f:S→T是半環(huán)上的滿同態(tài)，g:A→B是滿射，并且對于所有的α∈A，f(F(x))=G(g(x))．令h:S/kerf→T是一個映射，定義為h(［a］kerf)=f(a)，這里a∈S．因為:

們立刻得到h既是良定義又是單射．更進一步，可以驗證h:S/kerf→T是半環(huán)上的滿同態(tài)．事實上，令a，b∈S，則:

因此h是從S/kerf→T的同態(tài)映射，因為由假設(shè)f:S→T是滿同態(tài)，所以h是滿射．把軟集(F，A)/kerf表示為(K，A)，對于所有的α∈A，K(α)=F(α)/kerf，因此，有:

而且，由題設(shè)條件，g是雙射，因此(h，g)是(F，A)/kerf→(G，B)的軟同構(gòu)．

定理3 令(F，A)和(G，B)分別是半環(huán)S和T上的兩個軟半環(huán)，如果(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個軟同態(tài)，ρ 是半環(huán)S上的同余關(guān)系并且滿足ρ?kerf，那么對于所有的α∈A，存在唯一一個軟同態(tài)(h，g):(F，A)/ρ→(G，B)使得h(F(α)/ρ)=G(g(α))．

證明 因為(f，g)是從(F，A)到(G，B)的一個軟同態(tài)，因此f:S→T是半環(huán)上的滿同態(tài)g:A→B是滿射，并且對于所有的α∈A，f(F(x))=G(g(x))．

令h:S/ρ→T是一個映射定義為h(［a］ρ)=f(a)，這里a∈S．

因為［a］ρ=［b］ρ?(a，b)∈ρ?kerf?f(a)=f(b)，立刻得到h是良定義，更進一步，可以驗證h:S/ρ→T是半環(huán)上的滿同態(tài)．事實上，令a，b∈S，則:

因此h是從S/ρ→T的同態(tài)映射，因為由假設(shè)f:S→T是滿同態(tài)，所以h是滿射．把軟集(F，A)/kerf表示為(K，A)，對于所有的α∈A，K(α)=F(α)/ρ，因此，有:

因此(h，g)是(F，A)/ρ→(G，B)的軟同態(tài)．

［1］ Molodtsov D．Soft set theory－first results［J］．Comput Math Appl，1999，37(4/5):19－31．

［2］ Jun Y B．Soft BCK/BCI－algebras［J］．Comput Math Appl，2008，56(5):1408－1413．

［3］ Acar U，F(xiàn)atih K，Bekir T．Soft sets and soft rings［J］．Comput Math Appl，2010，59(11):3458－3463

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