何燈，李云杰

(福清第三中學(xué)，福建福清350315)

關(guān)于雙曲函數(shù)的Cusa-Huygens型不等式的改進(jìn)

何燈，李云杰

(福清第三中學(xué)，福建福清350315)

本文將雙曲函數(shù)的Cusa-Huygens型不等式作了進(jìn)一步的改進(jìn)，所建立的雙邊不等式優(yōu)于現(xiàn)有的諸多結(jié)果，文末導(dǎo)出一條涉及算術(shù)平均、幾何平均、對(duì)數(shù)平均的不等式鏈.

雙曲函數(shù)；Cusa-Huygens型不等式；Seiffert平均；不等式

0 引言

文獻(xiàn)[1-2]建立了著名的Cusa-Huygens不等式，文獻(xiàn)[3]給出了雙曲函數(shù)的Cusa-Huygens不等式，針對(duì)文獻(xiàn)[3]所建立的不等式的改進(jìn)與推廣，現(xiàn)有諸多結(jié)果[4-13].本文研究sh x/x更優(yōu)的上下界形式，從而可將雙曲型Cusa-Huygens不等式作進(jìn)一步的推廣和改進(jìn)，并由此建立了涉及算術(shù)平均、幾何平均、對(duì)數(shù)平均的一條不等式鏈.

1 預(yù)備知識(shí)

Cusa-Huygens不等式[1-2]：設(shè)，則有.

雙曲函數(shù)的Cusa-Huygens不等式[3]：設(shè)x∈（0，+∞），則有

朱靈[7]將式（1）推廣為：設(shè)x>0，，則有.

E.Neuman與J.Sándor改進(jìn)式（1）為：設(shè)x>0，則.

成立當(dāng)且僅當(dāng)q≥3.

朱靈[15]將式（2）推廣為：設(shè)x>0，p>1或p≤8/15，則當(dāng)且僅當(dāng)q≥3（1-p）.特別地，令p＝1/2，q=3/2，可得

楊鎮(zhèn)杭[11]將式（3）推廣為：

最近，楊鎮(zhèn)杭[16]證得如下兩個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1設(shè)p，x＞0，雙邊不等式

結(jié)論2設(shè)x＞0，則

綜合上述結(jié)論，可得不等式鏈

2 引理及證明

引理1設(shè)n∈N*，n≥7，則22n＞（1+p）2n+0.57n（1+p）2n，其中（下同）.

引理2設(shè)an=89×22n+121-（2n+1）[25（1+p）2n+25（1-p）2n+34+75p2n]，n∈N*，則an≥0.

證明當(dāng)n＝1，2，3，可求an＝0.可求.

當(dāng)n≥7，由引理1得

綜上，引理2成立.

3 主要結(jié)論及其證明

從而式（5）右端不等式成立.又

由引理2可證最后一個(gè)不等式成立，則有式（5）左端不等式成立.

結(jié)合式（4），可得式（6）成立.

4 定理2的等價(jià)形式

兩個(gè)正數(shù)a，b的冪平均定義為[17]

A2，A1，A0分別稱(chēng)為這兩個(gè)數(shù)的平方根平均，算術(shù)平均及幾何平均.

四類(lèi)Seiffert平均分別定義為

從而定理2等價(jià)于下定理3.

定理3設(shè)a，b>0，a≠b，則如下不等式鏈成立

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Im provement of Cusa-Huygens Type Inequality for Hyperbolic Functions

HE Deng，LI Yunjie
（Number 3 Middle School，F(xiàn)uqing 350315，F(xiàn)ujian，China）

In this paper，Cusa-Huygens type inequalities for Hyperbolic Functions are improved.The double inequality is obtained.An inequality chain about arithmetic mean，geometric mean，logarithmic mean is derived.

Hyperbolic functions；Cusa-Huygens type inequality；Seiffert mean；inequality

O 178

A

1001-4217（2015）02-0028-07

2014-09-08

何燈（1984-），男，福建福清人，學(xué)士，全國(guó)不等式研究會(huì)成員.研究方向：解析不等式及不等式機(jī)器證明.E-mail：hedeng123@163.com.