林麗萍，羅 婉，賀建清

（湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201）

懸挑十字交叉基礎(chǔ)梁節(jié)點(diǎn)荷載分配方法探討

林麗萍，羅 婉，賀建清

（湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201）

將半無限長梁自由端無限延伸，形成無限長梁；基于Winkler地基上無限長梁的解答，求得集中力偶作用下原半無限長梁自由端處的剪力和彎矩。利用半無限長梁自由端需滿足彎矩及剪力為零的條件，求得需在自由端施加的外荷載。分別計(jì)算外荷載和集中力偶在作用點(diǎn)處產(chǎn)生的撓度，疊加求得集中力偶作用下半無限長梁在作用點(diǎn)處的撓度，并提出集中力偶作用下的懸挑影響系數(shù)計(jì)算公式。根據(jù)靜力平衡和變形協(xié)調(diào)條件，建立豎向荷載和力矩共同作用下具有懸挑的十字交叉基礎(chǔ)的節(jié)點(diǎn)分配荷載的一般公式。

Winkler地基；十字交叉基礎(chǔ)梁；半無限長梁；節(jié)點(diǎn)；荷載分配

1 研究背景

對(duì)于荷載較大的高層建筑，如果地基軟弱，且土的壓縮性或柱荷載沿兩個(gè)柱列方向不均勻，需要基礎(chǔ)縱橫兩向都有一定的抗彎剛度，以減少地基變形，防止過大的不均勻沉降時(shí)，常采用雙向設(shè)置的十字交叉基礎(chǔ)[1-4]。此種基礎(chǔ)剛度較大，能有效地減小柱基之間的沉降差，從而滿足地基承載力和地基變形的要求，以保證建筑物的可靠性[5]。

十字交叉基礎(chǔ)是由柱網(wǎng)下的縱、橫相連的條形基礎(chǔ)組成的一種空間體系，其與地基相互作用的理論分析相當(dāng)復(fù)雜。目前，因考慮上部結(jié)構(gòu)-基礎(chǔ)-地基共同作用的分析方法尚不成熟，工程上常采用一些近似計(jì)算方法來解決節(jié)點(diǎn)處柱荷載的分配問題。文獻(xiàn)[6]給出了Winkler地基上十字交叉基礎(chǔ)梁包含有限長梁及節(jié)點(diǎn)不在梁端的半無限長梁的節(jié)點(diǎn)分配荷載的一般公式。文獻(xiàn)[7]基于無限長Winkler地基梁的解答，推導(dǎo)出具有懸挑的十字交叉基礎(chǔ)梁柱荷載分配系數(shù)的公式。文獻(xiàn)[8]給出了合理的重疊基底反力調(diào)整方法及計(jì)算公式，并通過算例對(duì)節(jié)點(diǎn)力調(diào)整前后基底反力及內(nèi)力的變化進(jìn)行了對(duì)比。文獻(xiàn)[9]提出了一種計(jì)算位于雙參數(shù)地基模型上，具有懸挑的十字交叉基礎(chǔ)梁柱荷載分配系數(shù)的方法。文獻(xiàn)[10]建立了滿足地基承載能力要求的基礎(chǔ)底板寬度的計(jì)算公式。文獻(xiàn)[11]提出了空間框架-十字交叉基礎(chǔ)梁與彈性地基相互作用簡化分析的超元法。文獻(xiàn)[12]提出了彈性地基上十字交叉梁考慮上部結(jié)構(gòu)影響分析的超元法。以上研究在對(duì)節(jié)點(diǎn)處荷載進(jìn)行分配時(shí)，考慮了地基與基礎(chǔ)的共同作用，且滿足靜力平衡和變形協(xié)調(diào)2個(gè)條件，但均忽略了上部結(jié)構(gòu)傳來的力矩對(duì)節(jié)點(diǎn)位移的影響；文獻(xiàn)[13]中雖有提及，但沒有給出考慮力矩影響的節(jié)點(diǎn)荷載簡化分配方法。

在工程實(shí)際中，為調(diào)整結(jié)構(gòu)荷載中心與基底平面形心相重合和改善角柱與邊柱下地基受力條件，常在轉(zhuǎn)角和邊柱處，基礎(chǔ)做構(gòu)造性延伸。本文基于Winkler地基上無限長梁的解答，推導(dǎo)出集中力偶作用下半無限長梁在作用點(diǎn)處撓度，提出了集中力偶作用下的懸挑影響系數(shù)計(jì)算公式；根據(jù)靜力平衡和變形協(xié)調(diào)條件，建立豎向荷載和力矩共同作用下具有懸挑的十字交叉基礎(chǔ)的節(jié)點(diǎn)分配荷載一般公式。

2 Winkler地基上梁節(jié)點(diǎn)荷載分配計(jì)算

2.1 Winkler地基上梁撓曲微分方程

Winkler地基上梁的荷載分配分析見圖1。圖中：x為到遠(yuǎn)點(diǎn)的距離；p為基底反力，p(x) 為點(diǎn)x處的基底反力；q為分布荷載，q(x)為點(diǎn)x處的分布荷載；M為彎矩；V為剪力。

圖1 Winkler地基上節(jié)點(diǎn)荷載分配分析簡圖Fig.1 Sketch of load distribution of joint on Winkler foundation

Winkler地基上梁撓曲微分方程為[14-15]

式中：Ec, I分別為基礎(chǔ)梁的彈性模量和慣性矩；

k為地基抗力系數(shù)；

b為基礎(chǔ)梁的寬度；

w為梁的撓度。

2.2 Winkler地基上無限長梁的節(jié)點(diǎn)荷載分配

在Winkler地基上的無限長梁上分別施加一集中力P、集中力偶M0，從而得無限長梁的撓度w、轉(zhuǎn)角 、彎矩M及剪力V，見圖2[16]。圖中，為彈性地基梁的特征系數(shù)，Ax, Bx, Cx, Dx均為參數(shù)，且

圖2 Winkler地基上無限長梁的撓曲和內(nèi)力Fig.2 Deflection and inner force of infinite beam on Winkler foundation

2.3 Winkler地基上半無限長梁集中力作用點(diǎn)處撓度

如圖3所示，在半無限長梁上作用集中力P0，作用點(diǎn)O距梁端A的距離為，則作用點(diǎn)O處梁的撓度[7]

令

從而得

圖3 集中力作用下的半無限長梁Fig.3 Semi-infinite beam under concentrated force

圖4 為集中力作用下懸挑影響系數(shù)曲線。

圖4 集中力作用下的懸挑影響系數(shù)曲線Fig.4 Cantilever-influence coefficient curve under concentrated force

2.4 Winkler地基上半無限長梁集中力偶作用點(diǎn)處的撓度

如圖5所示，在半無限長梁上施加集中力偶M0，作用點(diǎn)O距梁端A的距離為利用疊加原理求解作用點(diǎn)O處梁的撓度，求解方法如下：

將梁從A端向外無限延伸形成無限長梁，按無限長梁方法求解力偶M0在A截面產(chǎn)生的彎矩Ma、剪力Va。由于原半無限長梁A端為自由端，彎矩及剪力均為0，故在無限長梁A處加上彎矩MA、剪力VA以抵消M0在無限長梁上A處產(chǎn)生的彎矩Ma、剪力Va，滿足自由端彎矩及剪力為0的條件。求得彎矩MA、剪力VA后，分別求力偶M0、彎矩MA、剪力VA在無限長梁O處的撓度，然后疊加求出O處的撓度。

求解步驟如下：

1）根據(jù)圖2b中公式，力偶M0在無限長梁A截面產(chǎn)生的彎矩Ma、剪力Va為

2）根據(jù)在無限長梁A處施加的彎矩MA、剪力VA，在該處產(chǎn)生的彎矩、剪力分別為-Ma,-Va的條件，由圖2中公式，建立如下方程：

求解方程（7）得

3）由圖2中公式分別求得力偶M0、彎矩MA、剪力VA在無限長梁O處的撓度，疊加得

令

從而得

圖5 集中力偶作用下的半無限長梁內(nèi)力和撓度計(jì)算Fig.5 Calculation of deflection and inner force of semi-infinite beam under concentrated couples

圖6 為集中力偶作用下懸挑影響系數(shù)曲線。

圖6 集中力偶作用下的懸挑影響系數(shù)曲線Fig.6 Cantilever-influence coefficient curve under concentrated couples

3 十字交叉基礎(chǔ)節(jié)點(diǎn)荷載分配

在如圖7所示的十字交叉基礎(chǔ)簡圖上，任一交叉點(diǎn)處都作用有從上部結(jié)構(gòu)傳來的豎向荷載Fi和x,y方向的力矩Mix, Miy。不考慮扭轉(zhuǎn)變形的影響，即一個(gè)方向的條形基礎(chǔ)有轉(zhuǎn)角時(shí)，不引起另一方向條形基礎(chǔ)的內(nèi)力，Mix, Miy分別由x, y方向基礎(chǔ)承擔(dān)[17]。

圖7 十字交叉基礎(chǔ)簡圖Fig.7 Sketch of crossed foundation beams

考慮基礎(chǔ)與地基的共同作用，對(duì)任一節(jié)點(diǎn)，荷載分配必須滿足以下2個(gè)條件：

1）靜力平衡條件。節(jié)點(diǎn)處分配在x, y方向條形基礎(chǔ)的豎向荷載之和等于柱荷載，即

式中：Fi為任一節(jié)點(diǎn)上作用的柱荷載；

Fix, Fiy分別為分配在x, y方向條形基礎(chǔ)梁上的豎向荷載。

2）變形協(xié)調(diào)條件。即x, y方向條形基礎(chǔ)梁在節(jié)點(diǎn)處的撓度相等。

式中，wix,wiy分別為x, y方向條形基礎(chǔ)梁在節(jié)點(diǎn)處的撓度。

文獻(xiàn)[13]在分配十字交叉基礎(chǔ)節(jié)點(diǎn)荷載時(shí)，把交叉基礎(chǔ)分成6種不同的類型，本文采用文獻(xiàn)[7]的分類方法，統(tǒng)一把節(jié)點(diǎn)分成3類：內(nèi)柱節(jié)點(diǎn)，見圖8a；邊柱節(jié)點(diǎn)，見圖8b；角柱節(jié)點(diǎn)，見圖8c。

圖8 交叉基礎(chǔ)節(jié)點(diǎn)類型Fig.8 Various joints of crossed foundation beams

3.1 內(nèi)柱節(jié)點(diǎn)荷載分配

對(duì)內(nèi)柱節(jié)點(diǎn)（圖8a所示），F(xiàn)ix, Fiy分別為柱荷載Fi分配在x, y方向條形基礎(chǔ)梁上的豎向荷載。根據(jù)Winkler地基上無限長梁的解，x方向條形基礎(chǔ)梁在Fix作用下，i節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的撓度為

式中：bx為x方向基礎(chǔ)寬度；

Sx為x方向基礎(chǔ)的彈性特征長度，

同理，y方向條形基礎(chǔ)梁在Fiy作用下，i節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的撓度為

式中：by為y方向基礎(chǔ)寬度；

Sy為y方向基礎(chǔ)的彈性特征長度，

由式（12）～（15）解得

3.2 邊柱節(jié)點(diǎn)荷載分配

對(duì)邊柱節(jié)點(diǎn)（圖8b所示），節(jié)點(diǎn)柱荷載Fi可分解為作用在無限長梁上的Fix和作用在半無限長梁上的Fiy。由式（5）和式（11）可知，y方向條形基礎(chǔ)梁在Fiy, Miy作用下，i節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的撓度為

3.3 角柱節(jié)點(diǎn)荷載分配

對(duì)角柱節(jié)點(diǎn)（圖8c所示），節(jié)點(diǎn)柱荷載Fi可分解為分別作用在半無限長梁上的豎向荷載。同3.2節(jié)類似，x方向條形基礎(chǔ)梁在Fix, Mix作用下，i節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的撓度為

由式（12）～（13）和式（17）～（18）解得

在將節(jié)點(diǎn)上的柱荷載進(jìn)行分配的過程中，基底面積重復(fù)計(jì)算一次，使基底單位面積上的反力較實(shí)際的反力減少，計(jì)算結(jié)果偏于不安全，必須進(jìn)行調(diào)整修正。經(jīng)調(diào)整后，i節(jié)點(diǎn)x, y方向基礎(chǔ)梁上的荷載為[16]

式中：ΔAi為i節(jié)點(diǎn)多算了的基底面積；

p為調(diào)整前的基底壓力平均計(jì)算值。

4 算例

本文選取文獻(xiàn)[12]中算例，圖9為某框架結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)平面。

圖9 計(jì)算實(shí)例Fig.9 The calculation example

已知柱荷載F1=2 400 kN，F(xiàn)2=3 200 kN，F(xiàn)3=4 000 kN，F(xiàn)4=4 500 kN；彎矩M1x=30.0 kN·m，M1y=33.8 kN·m，M2x=23.8 kN·m，M2y=28.0 kN·m，M3x=35 kN·m，M3y=33.0 kN·m，M4x=26.3 kN·m，M4y=28.0 kN·m。持力層地基抗力系數(shù)k=5×104kN/m3，基礎(chǔ)混凝土彈性模量Ec=2.55×107kN/m2，x方向基礎(chǔ)梁的寬度、慣性矩、懸挑長度分別為3.0 m, 0.127 m4, 1.5 m，y方向基礎(chǔ)梁的的寬度、慣性矩、懸挑長度分別為2.0 m, 0.110 m4, 1.8 m。

4.1 節(jié)點(diǎn)荷載分配

對(duì)JL-1基礎(chǔ)梁，有bx=3.0 m，Ix=0.127 m4，

對(duì)JL-2基礎(chǔ)梁，有by=2.0 m，Iy=0.110 m4，

采用式（16）、式（18）和式（21）分別計(jì)算分配在x, y方向條形基礎(chǔ)梁上的豎向荷載Fix, Fiy，計(jì)算結(jié)果見表1。

表1 節(jié)點(diǎn)豎向荷載分配Table 1 Distribution of vertical load on joints

4.2 分配荷載調(diào)整

作用在諸節(jié)點(diǎn)上集中力的總和為

基礎(chǔ)的實(shí)際底面積為

交叉基礎(chǔ)各節(jié)點(diǎn)重疊的基地面積之和為

調(diào)整前的基底壓力平均計(jì)算值為

由式（16）可得各節(jié)點(diǎn)經(jīng)調(diào)整后的分配荷載。計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 節(jié)點(diǎn)分配荷載調(diào)整Table 2 Adjustment of distributed loads on joints

5 結(jié)語

1）基于對(duì)Winkler地基上無限長梁的解答，推導(dǎo)出集中力偶作用下半無限長梁在作用點(diǎn)處的撓度，提出了集中力偶作用下的懸挑影響系數(shù)的計(jì)算公式。

2）根據(jù)靜力平衡和變形協(xié)調(diào)條件，建立了豎向荷載和力矩共同作用下十字交叉基礎(chǔ)的邊柱和角柱節(jié)點(diǎn)分配荷載的一般公式。

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（責(zé)任編輯：鄧光輝）

Investigation on Load Distribution of the Joint of Cantilever Crossed Foundation Beam

Lin Liping，Luo Wan，He Jianqing
（School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology，Xiangtan Hunan 411201，China）

Semi-infinite beam is extended from free end to infinitely long beam. Based on solutions for infinitely long beam on Winkler foundation, the shear force and bending moment at the free end of semi-infinite beam under the concentrated couples are derived. The external load applied at the free end is obtained by using the condition of the free end to meet zero moment and zero shear. The deflections at the action points are calculated separately under external loads and concentrated couples and the deflection at the action points are calculated under superposition of concentrated couples and external loads, and the calculation formula for cantilever influence coefficient with the action of concentrated couple is presented. According to the conditions of static equilibrium and deformation compatibility, general formulas for distribute load on joints of cantilever crossed foundation beams under vertical load and moments are given.

Winkler foundation；crossed foundation beam；semi-infinite beam；joint；load distribution

TU471

A

1673-9833(2015)02-0031-07

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.02.006

2015-01-21

湖南科技大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（S140009）

林麗萍（1989-），女（滿族），吉林遼源人，湖南科技大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)閹r土工程，E-mail：1286979743@qq.com