楊 漫，蘇亞坤

(渤海大學(xué) a.大學(xué)基礎(chǔ)教研部;b.學(xué)報(bào)編輯部，遼寧錦州 121000)

經(jīng)典的FCM算法由于沒(méi)有利用到圖像像素周?chē)幕叶刃畔⒑涂臻g信息而對(duì)噪聲非常敏感。針對(duì)經(jīng)典的FCM算法這一局限性，很多學(xué)者已經(jīng)提出了各種改進(jìn)的FCM 算法［1－10］。這些算法都在一定程度上考慮了圖像像素周?chē)男畔?，但算法中均需要選取一個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)α，用它來(lái)調(diào)節(jié)局部鄰域信息項(xiàng)在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中的作用，其選取由圖像的噪聲和灰度濃度決定。實(shí)際生活中圖像的噪聲和灰度濃度一般都是未知的，因此選取一個(gè)最優(yōu)的參數(shù)α非常困難。針對(duì)此問(wèn)題，Cai等［1］對(duì)FCM算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了快速一般化的FCM 算法(fast generalized fuzzy c-means，F(xiàn)GFCM)算法。在FGFCM算法里引入了一個(gè)新的度量因子Sij，它可以根據(jù)像素周?chē)目臻g信息和灰度信息自動(dòng)獲取，取代EnFCM算法及FCMS、FCMS1和FCMS2算法中α的地位。度量因子Sij使FGFCM算法保留了更多的原圖像信息，提高了算法的自適應(yīng)性和抗噪能力。無(wú)論是FGFCM算法還是之前提到的幾類(lèi)算法，都是通過(guò)像素鄰域信息來(lái)提高算法抗噪性。鄰域半徑的選取對(duì)算法的抗噪性及圖像像素信息的保留至關(guān)重要，它常常與噪聲的強(qiáng)度有關(guān)，因此通常對(duì)具有不同類(lèi)型和濃度的噪聲圖像需要通過(guò)人工實(shí)驗(yàn)獲得最優(yōu)窗口半徑。在實(shí)際問(wèn)題中噪聲的類(lèi)型和濃度一般是未知的，因此如何調(diào)整自適應(yīng)性的鄰域窗口半徑大小是該類(lèi)算法要解決的一個(gè)難題。

針對(duì)這一問(wèn)題提出了可以根據(jù)噪聲強(qiáng)度自適應(yīng)調(diào)整鄰域半徑的N-FGFCM算法。該算法能根據(jù)圖像像素局部的噪聲信息自動(dòng)調(diào)節(jié)鄰域窗口半徑的大小。利用人工合成圖像和非合成圖像進(jìn)行了大量數(shù)值實(shí)驗(yàn)，對(duì)FCM算法、FGFCM算法及NFGFCM算法做了細(xì)致的比較。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，N-FGFCM算法比 FGFCM算法、FCM算法具有更強(qiáng)的抗噪能力、自適應(yīng)性和更高的分割準(zhǔn)確率。

1 利用鄰域像素信息改進(jìn)的模糊C-均值聚類(lèi)圖像分割算法

利用鄰域像素信息改進(jìn)的模糊C-均值聚類(lèi)的圖像分割算法沒(méi)有利用到圖像像素局部的灰度和空間信息，因此該算法對(duì)噪聲非常敏感。針對(duì)該問(wèn)題，很多學(xué)者提出了改進(jìn)的 FCM算法，這些算法都在一定程度上考慮了局部像素信息。L.Szilágyi［2］根據(jù)一幅圖像的灰度級(jí)數(shù)比像素?cái)?shù)少很多這一圖像理論特性，對(duì)FCM算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了(enhanced fuzzy c-means，EnFCM)算法。En-FCM算法需要對(duì)像素鄰域內(nèi)的像素進(jìn)行線(xiàn)性加權(quán)計(jì)算得到鄰域信息圖像ξ，其第i個(gè)像素的像素值為

該算法的數(shù)學(xué)模型為:

式(2)中:U=(uji)C×q;V=(vj)C×l;rl表示新圖像中灰度值等于l的像素的總個(gè)數(shù)，滿(mǎn)足μji表示新圖像中像素點(diǎn)xi對(duì)第j類(lèi)的隸屬程度;vj代表第j類(lèi)聚類(lèi)中心。EnFCM算法中交替優(yōu)化迭代的 vj和μji計(jì)算公式為:

EnFCM 算法與FCMS、FCMS1和FCMS2算法的目標(biāo)函數(shù)結(jié)構(gòu)都不同，它需要利用原圖像中每個(gè)像素周?chē)南袼匦畔⑦M(jìn)行線(xiàn)性加權(quán)運(yùn)算得到一個(gè)新的圖像。再對(duì)新圖像采用快速模糊聚類(lèi)算法進(jìn)行聚類(lèi)。EnFCM算法保留了更多的圖像信息，同時(shí)提高了圖像分割的速度。EnFCM算法、FCMS算法、FCMS1和FCMS2算法中都需要選取一個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)α，用它來(lái)調(diào)節(jié)像素局部鄰域信息項(xiàng)在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中的地位，其值的選取由圖像的噪聲和灰度濃度決定。實(shí)際應(yīng)用中圖像的噪聲和灰度濃度一般都是未知的，因此很難直接選取一個(gè)合適的參數(shù)α。針對(duì)上述問(wèn)題，Cai等對(duì)FCM算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種快速一般化的 FCM算法，在FGFCM算法里引入了一個(gè)新的因子sij，它隨圖像噪聲類(lèi)型和濃度的變化而變化，取代了EnFCM算法、FCMS算法、FCMS1和 FCMS2算法中α的地位，不僅考慮了圖像像素局部空間信息和灰度信息，并可以根據(jù)這些像素鄰域信息自動(dòng)獲取。利用sij計(jì)算新的鄰域信息圖像ξ，ξ中的像素值為

式(4)中sij為鄰域信息度量因子，其計(jì)算式為

sij代表以xi為中心的某一窗口鄰域內(nèi)像素xj的鄰域信息度量因子，其中:

式(6)中:Ssij表示像素 xi的鄰域空間信息;是像素xi的空間坐標(biāo);λs為Ssij的懲罰因子，當(dāng)鄰域窗口確定后容易確定λs。式(7)中:Sgij表示像素xi的鄰域灰度信息;λg是Sgij的懲罰因子，文獻(xiàn)［1］證明它的選取比α容易。式(8)中:σgi表示像素xi鄰域的灰度平均程度;NR代表像素xi某鄰域內(nèi)像素的總個(gè)數(shù);Ni表示像素xi鄰域內(nèi)所有像素的集合。FGFCM算法利用被分割圖像中每個(gè)像素周?chē)南袼匦畔?，通過(guò)度量因子sij進(jìn)行線(xiàn)性加權(quán)運(yùn)算得到一個(gè)新的圖像，再對(duì)新圖像采用快速模糊聚類(lèi)算法進(jìn)行聚類(lèi)分割。FGFCM算法保留了更多的圖像信息，提高了算法的自適應(yīng)性和抗噪能力，并且計(jì)算復(fù)雜度小。以上提到的幾種利用像素鄰域信息的算法中都需要提前確定一個(gè)鄰域窗口半徑，但窗口半徑的確定一般通過(guò)人工實(shí)驗(yàn)得到，影響了算法的自適應(yīng)性。同時(shí)在FGFCM算法、FCMS算法中鄰域窗口半徑Ri均取固定的值，沒(méi)有考慮到像素附近圖像噪聲類(lèi)型和濃度的變化。綜上所述，對(duì)于所有像素都選取相同的窗口半徑將丟失原圖像的部分信息，從而影響算法的抗噪能力和分割準(zhǔn)確性。

2 鄰域尺度自適應(yīng)模糊C－均值聚類(lèi)算法

2.1 鄰域窗口半徑大小對(duì)算法結(jié)果的影響分析

改進(jìn)的FCM算法利用像素窗口鄰域信息提前計(jì)算一個(gè)新的圖像，再對(duì)新的圖像進(jìn)行聚類(lèi)分割。這些算法一定程度上考慮了像素的局部空間信息和灰度信息，具有一定的抗噪聲能力，但是這些算法的抗噪能力均與選取的鄰域窗口大小有關(guān)。分割圖像時(shí)，所選取的像素鄰域窗口應(yīng)既保證算法的抗噪聲能力又盡量保留原圖像的信息。圖1(a)是加了濃度為0.02的椒鹽噪聲的硬幣圖像，圖中每個(gè)像素周?chē)脑肼暆舛炔皇呛艽?，因此適當(dāng)擴(kuò)大半徑可提高算法的抗噪能力。分割結(jié)果表明:當(dāng)像素周?chē)肼暆舛认鄬?duì)小時(shí)，放大窗口將提高算法的抗噪聲能力，如圖1(c)所示;縮小窗口也能提高算法對(duì)局部信息的保留功能，如圖1(b)所示。因此對(duì)于一幅圖像的每一個(gè)像素點(diǎn)都取相同大小的窗口是不合理的，這樣會(huì)忽略原圖像的一些信息，降低算法的抗噪能力。但在實(shí)際應(yīng)用中分割圖像時(shí)，圖像的噪聲和灰度濃度一般是未知的，這使得很難確定一個(gè)合適的鄰域窗口。

圖1 圖像分割結(jié)果

2.2 N－FGFCM算法基本思想及鄰域窗口自適應(yīng)半徑取法

為解決上述問(wèn)題，提出了改進(jìn)的 FGFCM算法，簡(jiǎn)稱(chēng)N-FGFCM算法。該算法引入新的像素鄰域信息度量因子ωij。ωij類(lèi)似 FGFCM 算法里的sij的作用，用來(lái)刻畫(huà)圖像某一像素的局部空間信息和灰度信息。對(duì)于某一像素xi，其鄰域窗口半徑取為Ri。新算法中，所有 Ri(i=1，2，…，N)取相同的初始值，算法每次迭代時(shí)均根據(jù)中心像素xi(i=1，2，…，N)附近圖像噪聲類(lèi)型和濃度情況，利用快速算法中間步驟得到xi的度量因子，再根據(jù)度量因子自動(dòng)調(diào)節(jié) Ri的大小，直到取到最合適的半徑。以二分類(lèi)問(wèn)題為例，在算法第k次迭代中，計(jì)算得到模糊隸屬度令，μi為中心像素 xi的可信度，且0.5≤μi≤1，μi=1，表示鄰域信息圖像 ξ的第i個(gè)像素 ξi一定屬于某一類(lèi)，此時(shí)它周?chē)脑肼曅畔⑤^少。為提高算法的抗噪聲能力可適當(dāng)擴(kuò)大其鄰域窗口半徑。μi趨近0.5，表示ξi屬于某一類(lèi)的程度逐漸變小，此時(shí)ξi周?chē)脑肼曅畔⑤^多。為提高算法對(duì)局部信息的保留能力，應(yīng)適當(dāng)縮小其鄰域窗口半徑。因此，由上述分析可得，取作為調(diào)節(jié)中心像素鄰域半徑的度量因子，利用 mi調(diào)節(jié)對(duì)應(yīng)像素的鄰域窗口半徑。當(dāng) mi≥0.3時(shí)，所以此時(shí)應(yīng)適當(dāng)擴(kuò)大其鄰域窗口半徑;當(dāng) mi≤0.3 時(shí)，所以此時(shí)應(yīng)適當(dāng)縮小其鄰域窗口半徑?；谝陨辖Y(jié)論，自適應(yīng)鄰域窗口半徑可通過(guò)式(9)～(11)得到。

半徑計(jì)算式(11)表示:當(dāng)0.4≤mi≤0.5時(shí)，此時(shí)其鄰域窗口半徑增加2個(gè)單位;當(dāng)0.3≤mi≤0.4時(shí)，此時(shí)其鄰域窗口半徑增加1個(gè)單位;當(dāng)0.2≤mi≤0.3時(shí)，此時(shí)其鄰域窗口半徑減少1個(gè)單位;當(dāng)0≤mi≤0.2時(shí)，此時(shí)其鄰域窗口半徑減少2個(gè)單位。在 N-FGFCM 算法中，按式(12)計(jì)算ωij。

其中:

式(12)中ωij代表以像素xi為中心的某一鄰域窗口內(nèi)像素 xj的鄰域信息度量因子;式(13)中dij表示xj與中心像素xi的距離;式(14)中λg是σgi的懲罰因子，控制灰度信息對(duì)分割效果的影響。利用ωij計(jì)算新的鄰域信息圖像ξ，ξ中的像素值為

3 N-FGFCM算法的基本結(jié)構(gòu)

步驟1 讀入 N個(gè)待分類(lèi)的數(shù)據(jù) X=(x1，x2，…，xN)。

步驟2 確定參數(shù) m，ε，λg，初始半徑R及圖像的灰度級(jí)數(shù)q，取分類(lèi)數(shù)C為2。

步驟3 初始化模糊劃分矩陣U(0)，U(0)=(μ(0)jl)2×q。

步驟4 設(shè)置循環(huán)數(shù)k=0。

步驟5 利用式(12)～(16)計(jì)算鄰域信息圖像ξ，ξ中像素值為l(l=1，2，…，q)的像素個(gè)數(shù)為rl。

步驟6 用 U(k)計(jì)算2類(lèi)聚類(lèi)中心1，2，

步驟7 用v(k)j計(jì)算μ(k+1)jl，

圖2 合成鋸齒圖像分割結(jié)果

4 N-FGFCM算法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本研究以一組人工合成圖像和一組非合成圖像的數(shù)值實(shí)驗(yàn)為例，對(duì) FCM，F(xiàn)GFCM，N－FGFCM三種算法的分割能力、錯(cuò)分率及分割時(shí)間進(jìn)行比較。

用3種算法分別對(duì)加噪后的合成鋸齒圖像、醫(yī)學(xué)腦部圖像進(jìn)行分割，分割結(jié)果見(jiàn)圖2、3和表1、2。算法中的參數(shù) C和 m統(tǒng)一取為2。在FGFCM算法和N-FGFCM算法中，算法初始的窗口半徑Ri均取值為5。在FCM 算法中，以0.2為初始值，以8為終止值，以0.2為步長(zhǎng)確定α值。在FGFCM算法和 N-FGFCM 算法中，以0.2為初始值，以6為終止值，以0.2為步長(zhǎng)確定λg值。在FGFCM算法中，λs取3(一般為窗口半徑值)。

圖3 腦部醫(yī)學(xué)圖像分割結(jié)果

表1 3種算法分割加不同噪聲的合成鋸齒圖像的錯(cuò)誤率

表2 3種算法分割加不同噪聲的合成鋸齒圖像的時(shí)間

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:用3種算法分割圖像時(shí)，NFGFCM算法通過(guò)自適應(yīng)調(diào)節(jié)鄰域窗口半徑，比FGFCM算法FCM保留了更多的圖像像素的信息，因此具有更強(qiáng)的抗噪能力，且分割速度也很快。

5 結(jié)束語(yǔ)

目前已有的改進(jìn)FCM算法雖然考慮了鄰域空間的信息以增強(qiáng)其抗噪性，但需要提前根據(jù)噪聲強(qiáng)度統(tǒng)一設(shè)定每個(gè)鄰域窗口的大小，但實(shí)際應(yīng)用中圖像各個(gè)區(qū)域的噪聲強(qiáng)度可能不同，因此對(duì)于一幅圖像的每一個(gè)像素點(diǎn)都取相同大小的窗口是不合理的，這樣原圖像的某些信息會(huì)被忽略，算法的抗噪能力會(huì)下降，在一定程度上影響了算法的自適應(yīng)性。針對(duì)以上問(wèn)題提出了一種自動(dòng)改變窗口半徑的N-FGFCM算法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明N-FGFCM算法具有很好的抗噪能力。

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