王 雷

(潞安職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，山西 長治 046204)

(2-UPS+U)&R串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間分析

王 雷

(潞安職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，山西 長治 046204)

提出了一種新型串并混聯(lián)機(jī)器人，該機(jī)器人腿部采用了3自由度(2-UPS+U)&R串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)，具有工作空間靈活、能耗低、地形適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)。同時(shí)還對(2-UPS+U)&R串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度進(jìn)行了分析計(jì)算，求解了該機(jī)構(gòu)的工作空間，驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)工作時(shí)的靈活性。

串并混聯(lián)機(jī)器人；自由度；工作空間

0 引言

串聯(lián)機(jī)器人工作空間大，結(jié)構(gòu)簡單，控制簡單，但是承載能力低；并聯(lián)機(jī)器人雖然有很大的承載能力，但是結(jié)構(gòu)復(fù)雜，工作空間小。因此，出現(xiàn)了串并混聯(lián)機(jī)器人，串并混聯(lián)機(jī)器人很好地繼承了串聯(lián)和并聯(lián)機(jī)器人的優(yōu)點(diǎn)，既有很大的工作空間，又有很大的承載能力，是目前機(jī)器人發(fā)展的主流[1-2]。

1 建立坐標(biāo)

本文介紹的是一種3自由度串并混聯(lián)機(jī)器人，其腿部機(jī)構(gòu)如圖1所示，平臺與小腿間采用3條運(yùn)動支鏈相連接，其中，運(yùn)動支鏈2和3結(jié)構(gòu)相同(為UPS支鏈)，其一端通過虎克鉸與平臺連接，另一端通過球副與運(yùn)動支鏈1相連接；運(yùn)動支鏈1其一端通過虎克鉸與平臺相連接，另一端通過轉(zhuǎn)動副與小腿相連接。3條運(yùn)動支鏈構(gòu)成并聯(lián)機(jī)構(gòu)，平臺、運(yùn)動支鏈和小腿3部分構(gòu)成串聯(lián)結(jié)構(gòu)，使得機(jī)構(gòu)既有很大的承載能力又有很大的工作空間。

圖1 串并混聯(lián)機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)簡圖

由圖1可知，該串并混聯(lián)機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)頂部的定平臺為直角三角形，其中，3個(gè)U副分布在直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)處，根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可建立如下坐標(biāo)系：固定坐標(biāo)系O-XYZ固結(jié)在定平臺三角形的直角頂點(diǎn)處，其X軸平行于定平臺直角邊A1A2方向，固定坐標(biāo)系的Z軸垂直于定平臺，且向下為正方向，固定坐標(biāo)系的Y軸方向根據(jù)右手法則確定；動坐標(biāo)系A(chǔ)1-QVW固結(jié)在大腿上，其原點(diǎn)A1位于U支鏈虎克鉸兩轉(zhuǎn)動軸線的交點(diǎn)處，其Q軸與U支鏈虎克鉸內(nèi)圈轉(zhuǎn)動軸線重合，W軸沿大腿A1B方向，且向下為正方向，V軸的方向根據(jù)右手法則確定；動坐標(biāo)系B-XBYBZB固結(jié)在小腿上，其原點(diǎn)位于U支鏈軸線與小腿的交點(diǎn)處，XB軸沿C1C2方向，ZB軸沿大腿A1B方向，且向下為正方向，YB軸的方向根據(jù)右手法則確定；動坐標(biāo)系P-XPYPZP的原點(diǎn)位于小腿足端點(diǎn)P處，其XP軸與XB軸平行，ZP軸的方向沿小腿BP，且向下為正方向，YP軸的方向根據(jù)右手法則確定。

2 自由度

基于修正的Kutzbach-Grübler公式，采用約束螺旋的自由度分析方法[3]，求解該串并混聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的自由度，修正的Kutzbach-Grübler公式為：

(1)

其中：M為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)；d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)；n為構(gòu)件的數(shù)目；g為運(yùn)動副的數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動副的自由度數(shù)；v為機(jī)構(gòu)的冗余約束數(shù)；ζ為機(jī)構(gòu)的局部自由度數(shù)。

根據(jù)螺旋理論[4]可知，UPS支鏈本身具有6個(gè)自由度，所以UPS支鏈并不對空間串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行約束，為無約束支鏈，而本課題所設(shè)計(jì)的(2-UPS+U)&R串并混聯(lián)腿部機(jī)構(gòu)含有兩條UPS支鏈，采用螺旋理論對該腿部機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析時(shí)可以不對其進(jìn)行分析。因此，只需利用螺旋理論對該串并混聯(lián)機(jī)器人的大腿U支鏈與小腿R支鏈串聯(lián)的機(jī)構(gòu)進(jìn)行分析，通過腿部機(jī)構(gòu)各運(yùn)動副的螺旋求解其約束螺旋，即可求解出該串并混聯(lián)機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)、冗余約束數(shù)和自由度數(shù)及類型。

如圖1所示，在定平臺固定坐標(biāo)系下，腿部的大腿機(jī)構(gòu)和定平臺之間的虎克鉸相當(dāng)于兩個(gè)轉(zhuǎn)動副，大腿機(jī)構(gòu)與小腿機(jī)構(gòu)之間的轉(zhuǎn)動副具有一個(gè)螺旋，可以得到腿部機(jī)構(gòu)的約束螺旋系為：

(2)

在該串并混聯(lián)機(jī)器人的腿部機(jī)構(gòu)中，腿部機(jī)構(gòu)的階數(shù)d=6，其構(gòu)件數(shù)n=7，運(yùn)動副數(shù)g=8，所有運(yùn)動副具有的自由度數(shù)之和為∑fi=15，腿部機(jī)構(gòu)不存在冗余約束和局部自由度，故v=ζ=0，將腿部機(jī)構(gòu)這些參數(shù)代入自由度計(jì)算公式(1)中，即可求得該串并混聯(lián)機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的自由度為：

M=3.

(3)

由上述的運(yùn)動螺旋和約束螺旋分析可得：該串并混聯(lián)機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)具有繞X軸轉(zhuǎn)動、繞Y軸轉(zhuǎn)動和沿Z軸移動共3個(gè)自由度。

3 工作空間

在求解串并混聯(lián)腿部機(jī)構(gòu)工作空間時(shí)，由于腿部機(jī)構(gòu)包含虎克鉸、球鉸等運(yùn)動副，因此受這些運(yùn)動副和腿部機(jī)構(gòu)各構(gòu)件長度的限制，腿部機(jī)構(gòu)只能在一定的范圍內(nèi)運(yùn)動。因此，要想求解腿部機(jī)構(gòu)的工作空間，首先需要確定腿部機(jī)構(gòu)各影響因素的限制條件。

3.1 各輸入構(gòu)件的桿長約束

腿部機(jī)構(gòu)的輸入構(gòu)件桿長在一定的范圍內(nèi)變化，當(dāng)某構(gòu)件的桿長達(dá)到其臨界值時(shí)，腿部機(jī)構(gòu)末端所設(shè)定的參考點(diǎn)同時(shí)也就到達(dá)了該腿部機(jī)構(gòu)工作空間的邊界。設(shè)輸入構(gòu)件桿長的最小和最大值分別為lmin、lmax，則腿部各輸入構(gòu)件桿長li需滿足的約束條件為：

lmin≤li≤lmax.

(4)

3.2 虎克鉸和球鉸的轉(zhuǎn)角約束

在腿部機(jī)構(gòu)的某一姿態(tài)下，可求得該腿部機(jī)構(gòu)各虎克鉸的轉(zhuǎn)角δi，而最大許用轉(zhuǎn)角δmax由虎克鉸的結(jié)構(gòu)決定。則腿部機(jī)構(gòu)的虎克轉(zhuǎn)角δi需滿足的約束條件為：

δi≤δmax.

(5)

球鉸鏈由于其自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，其轉(zhuǎn)角范圍也被限制在一定范圍內(nèi)，設(shè)qi為球鉸鏈座與大腿分支部分的法向量，lli為UPS支鏈連桿的向量，則球鉸鏈的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角ηi為：

(6)

其中：║qi║、║lli║分別為這兩個(gè)向量的矩陣范數(shù)。

而球鉸最大許用轉(zhuǎn)角ηmax由球鉸結(jié)構(gòu)決定，則球鉸鏈轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動條件為：

0≤ηi≤ηmax.

(7)

3.3 構(gòu)件約束限制

腿部機(jī)構(gòu)的構(gòu)件采用寬和高均為d的均勻長方體形桿件，設(shè)定腿部機(jī)構(gòu)各構(gòu)件之間的最短距離為dij，那么腿部機(jī)構(gòu)各構(gòu)件避免干涉的條件為：

dij≥d.

(8)

(2-UPS+U)&R串并混聯(lián)機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的工作空間為其末端的運(yùn)動范圍，也就是其足端點(diǎn)P所能達(dá)到的所有點(diǎn)的集合。本節(jié)將運(yùn)用三維球坐標(biāo)搜索方法，利用MATLAB軟件進(jìn)行編程，通過循環(huán)函數(shù)使搜索角度θ、φ以及搜索半徑ρ依次增加，并根據(jù)腿部機(jī)構(gòu)的約束條件得到工作空間邊界面上的點(diǎn)，將搜索到的點(diǎn)連成面即為所求工作空間的內(nèi)、外表面，其內(nèi)、外表面的交集即為(2-UPS+U)&R串并混聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，如圖2所示。

圖2 三維球坐標(biāo)搜索

根據(jù)(2-UPS+U)&R串并混聯(lián)機(jī)器人所設(shè)定的尺寸參數(shù)，按照上述的球坐標(biāo)搜索法，利用MATLAB軟件進(jìn)行編程，求解并繪制出該機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)末端的工作空間三維圖及其在XOY平面的投影，分別如圖3(a)和圖3(b)所示。

圖3 腿部工作空間三維圖及XOY平面內(nèi)投影

由圖3(a)可知，該工作空間總體上呈錐體，且沿YOZ平面對稱，即腿部機(jī)構(gòu)可沿其兩側(cè)擺動，其內(nèi)表面由兩個(gè)凹弧面組成，外表面也由兩個(gè)凹弧面組成。腿部機(jī)構(gòu)的工作空間在Z軸方向上的范圍大約是-600 mm～-300 mm，X軸方向上的范圍大約是-300 mm～+300 mm，Y軸方向上的范圍大約是-200 mm～+200 mm。此外可以看出，腿部機(jī)構(gòu)的工作空間較大，空間內(nèi)部連續(xù)性比較好，能夠滿足(2-UPS+U)&R串并混聯(lián)機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的運(yùn)動要求。

本文還利用幾何法畫出了腿部的工作空間截面圖，如圖4所示，與圖3所示的腿部機(jī)構(gòu)工作空間三維圖進(jìn)行對比，可知其與工作空間三維圖的YOZ截面一致，從而驗(yàn)證了腿部機(jī)構(gòu)工作空間求解的正確性。

4 結(jié)論

本文主要進(jìn)行了串并混聯(lián)機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，確定了(2-UPS+U)&R串并混聯(lián)腿部的結(jié)構(gòu)方案。此外，建立了該機(jī)構(gòu)的靜坐標(biāo)系和腿部各支點(diǎn)的動坐標(biāo)系，并對該機(jī)構(gòu)自由度進(jìn)行了分析和求解。本文還求解了該機(jī)構(gòu)的工作空間，并對工作空間進(jìn)行了分析和驗(yàn)證。

圖4 腿部機(jī)構(gòu)工作空間截面圖

[1] 田興華,高峰,陳先寶,等.四足仿生機(jī)器人混聯(lián)腿構(gòu)型設(shè)計(jì)及比較[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2013(6):81-88.

[2] 崔國華,張艷偉,張英爽,等.六自由度串并聯(lián)機(jī)械手的構(gòu)型設(shè)計(jì)與運(yùn)動學(xué)分析[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào),2010(1):155-159.

[3] 黃真孔,高躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,1997.

[4] 熊有倫,劉恩滄.機(jī)器人學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,1993.

Workspace Analysis of A (2-UPS+U)&R Hybrid Robot

WANG Lei

(Lu’an Vocational & Technical College, Changzhi 046204, China)

A novel hybrid robot is proposed in this paper, to help people complete kinds of complicated tasks. The robot adopts the (2-UPS+U)&R series-parallel leg mechanism and has the characteristics of flexible working space, lower energy consumption, strong terrain adaptability, etc. The DOF of the robot is calculated, the workspace of the robot is analyzed, and the flexibility of the robot is verified.

hybrid robot; DOF; workspace

1672- 6413(2015)06- 0156- 02

2015- 10- 12；

2015- 10- 16

王雷(1985-)，女，山西臨猗人，助教，碩士，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及自動化。

TP242

A