懷紅旗（南京六九零二科技有限公司，江蘇 南京 21009）

基于分數(shù)階PID控制的交流伺服系統(tǒng)研究

懷紅旗（南京六九零二科技有限公司，江蘇 南京 21009）

針對傳統(tǒng)的PID控制滿足不了永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)高速高精度的控制要求，提出了分數(shù)階PI控制器。首先建立了調(diào)速系統(tǒng)的方框圖模型，推導了其傳遞函數(shù)。然后采用flat phase法設計了其分數(shù)階PI控制器，并采用Oustaloup濾波法將其實現(xiàn)。由仿真實驗可以看出，所設計的分數(shù)階PI控制器的動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能以及魯棒性均優(yōu)于傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器。

永磁同步電機；分數(shù)階PI；魯棒性

永磁同步電機具有體積小、效率高、轉動慣量小、過載能力強等優(yōu)點，廣泛應用于機器人、數(shù)控機床、辦公自動化、軍用武器隨動系統(tǒng)等場合。但永磁同步電機中各種時變和不確定因素的存在嚴重影響系統(tǒng)控制性能，使得系統(tǒng)的高性能優(yōu)勢無法得到充分發(fā)揮。因此必須采取理想的控制策略，提高永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)的動和靜態(tài)特性，以及魯棒性。諸多新的控制策略被用于永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)控制中，譬如滑模變結構控制[1]、預測控制[2]、自適應控制[3]、反推控制[4]等。但這些控制策略計算量較大，在實時性較強的場合，控制器實現(xiàn)難度較大。

傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制算法比較簡單，易于工程實現(xiàn)，得到廣泛應用。但隨著控制對象的控制精度要求越來越高，PID控制器逐漸滿足不了人們的要求。因此有學者引入了分數(shù)階PID控制，擴大了控制參數(shù)的調(diào)控范圍，改善了傳統(tǒng)PID控制的不足，從根本上提高了系統(tǒng)控制精度，并在分數(shù)階控制器設計和實現(xiàn)方面做了大量的研究工作。

文獻[5]建立了系統(tǒng)的分數(shù)階數(shù)學模型并設計了分數(shù)階PID控制器，取得了比整數(shù)階數(shù)學模型和控制器好的系統(tǒng)性能。文獻[6]將分數(shù)階PID控制器用于伺服電機控制中，在保證帶寬不變情況下，提高了系統(tǒng)的相位裕度。文獻[7]將分數(shù)階PID控制器用于電機調(diào)速系統(tǒng)中，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。但其控制器的設計方法和實現(xiàn)方法均沒有介紹。文獻[8]提出了一種分數(shù)階PID的參數(shù)簡單的整定方法。文獻[9]將伺服系統(tǒng)簡化為一階慣性環(huán)節(jié)，然后對幾種分數(shù)階PID控制器進行了比較研究。文獻[10]將分數(shù)階PID控制器與滑模變結構控制相結合，對伺服系統(tǒng)進行了復合控制。

本文將分數(shù)階PI控制用于永磁同步電機速度環(huán)控制器中。分別介紹了速度環(huán)整數(shù)階和分數(shù)階PI控制器的設計和實現(xiàn)方法。實驗結果表明，分數(shù)階PI控制提高了系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能以及魯棒性，其性能優(yōu)于傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器。

1 永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)及整數(shù)階PI控制器設計

圖1 永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)框圖

永磁同步電機采用id=0的矢量控制時，其調(diào)速系統(tǒng)簡化的方框圖如圖1所示[11]。系統(tǒng)由電流環(huán)和速度環(huán)構成雙閉環(huán)控制。通常先根據(jù)控制要求設計電流環(huán)控制器，然后把電流環(huán)當作內(nèi)環(huán)，設計速度環(huán)控制器。

1.1 電流環(huán)整數(shù)階PI控制器的設計

在電機調(diào)速系統(tǒng)中，需要控制電機的轉矩，使其能夠快速響應，因此電流環(huán)的反饋控制必不可少。電流環(huán)控制器通常采用P或PI控制。

1.2 速度環(huán)整數(shù)階PI控制器的設計

圖2 電流環(huán)簡化后永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)框圖

通常電流環(huán)的剪切頻率 比速度環(huán)的剪切頻率 高出數(shù)倍以上，在剪切頻率 附近，電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為1。速度環(huán)PI控制器的轉折點頻率 為。當 為 數(shù)分之一時，在 附近有 。因此，速度環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)在剪切頻率 附近，可以近似表示為，所以比例增益可以按照確定。而積分增益 則可根據(jù)PI控制器轉折頻率滿足，然后根據(jù) 來求出。

2 速度環(huán)分數(shù)階PI控制器設計及實現(xiàn)

1994年，Dorcak提出了分數(shù)階PD控制器；1999年，I.Podlubny提出了分數(shù)階PID控制器。分數(shù)階PID控制器，一般形式如下：

其中 為正實數(shù)，分別為比例、積分和微分增益。

為微分和積分的階次，一般取值為0～2之間，且均可以為分數(shù)。分數(shù)階PID擴大了整數(shù)階的控制范圍，能夠更好更靈活地控制被控對象，達到更好的控制效果。

分數(shù)階PID控制器的五個參數(shù)對控制系統(tǒng)的性能影響各不相同。 主要影響系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 主要影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，選擇合適可以徹底消除穩(wěn)態(tài)誤差。 主要影響系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。 主要影響系統(tǒng)的相角滯后，會減少相對的穩(wěn)定性，一定程度上消除靜差。 的變化有助于誤差變化調(diào)節(jié)，與 配合作用，改善微分環(huán)節(jié)的作用。

設計分數(shù)階PID控制器的關鍵是整定控制器的五個參數(shù)。其參數(shù)整定方法很多，如主導極點法、幅值裕量與相位裕量法、優(yōu)化方法等。本文采用陳陽泉教授提出的Flat phase法設計速度環(huán)的分數(shù)階PI控制器。此時控制器的表達式為：

Flat phase法需要滿足的主要三個條件如下：

（1）在剪切頻率 處，整個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的模值為1。

其中 為控制器的傳遞函數(shù)， 為被控對象的傳遞函數(shù)。

（3）相角在剪切頻率附近幾乎保持不變，使系統(tǒng)對增益的變化具有魯棒性，系統(tǒng)響應的超調(diào)在該范圍內(nèi)基本不變。

，其中 ， 。

將控制器的傳遞函數(shù)和被控對象的傳遞函數(shù)帶入式中，可得：

其中

選擇剪切頻率 ，相位裕量 ，根據(jù)公式(7)～(10)，便可以得到分數(shù)階PI控制器的三個參數(shù) 。

分數(shù)階PID控制的實現(xiàn)方法有Fourier級數(shù)計算法、Grunwald-Letnikov法、Oustaloup濾波法、離散濾波近似法等[9]。本文采用Oustaloup濾波法對所設計的分數(shù)階積分

進行了實現(xiàn)。假設選定的擬合頻率段位為（ ），可以得到連續(xù)濾波器的傳遞函數(shù)為：

3 仿真結果分析

圖3 永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)仿真示意圖

為了驗證所設計的速度環(huán)分數(shù)階PI控制器的性能，在MATLAB/ Simulink下，根據(jù)圖3所示的仿真圖對系統(tǒng)進行了仿真。一種情況是電流環(huán)和速度環(huán)均采用整數(shù)階PI控制器，另一種情況為電流環(huán)采用整數(shù)階PI控制，速度環(huán)分數(shù)階PI控制。永磁同步電機的各參數(shù)設置如下: ?， ，轉動慣量，轉子永磁磁鏈 ，極對數(shù) ，粘滯摩擦系數(shù) 。

（1）電流環(huán)和速度環(huán)均采用整數(shù)階PI 控制器

根據(jù)永磁同步電機的參數(shù)以及本文1.1中電流環(huán)PI控制器的設計方法，若選取電流環(huán)的剪切頻率 ，速度環(huán)的剪切頻率，速度環(huán)PI控制器的轉折頻率 ?？傻秒娏鳝h(huán)整數(shù)階PI控制器的參數(shù) ，。速度環(huán)整數(shù)階PI控制器的參數(shù)為，。

（2）電流環(huán)采用整數(shù)階PI 控制器，速度環(huán)采用分數(shù)階PI控制器電流環(huán)選參數(shù)設置同第一種情況。速度環(huán)選擇剪切頻率，相位裕量為 ，根據(jù)公式，借助于MATLAB可得速度環(huán)分數(shù)階PI控制器的三個參數(shù)分別為。

電機額定轉速得到的響應曲線如圖4所示。可以看出在超調(diào)量兩種情況相當時，速度環(huán)選用分數(shù)階PI控制器時，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間明顯比整數(shù)階要短。

在時間為1秒時，給系統(tǒng)加入了 的額定負載，響應曲線如圖4所示?？梢钥闯龇謹?shù)階PI控制時系統(tǒng)的轉速幾乎沒有波動，其魯棒性優(yōu)于整數(shù)階PI控制器。

圖4 速度環(huán)為整數(shù)階PI和分數(shù)階PI控制器時系統(tǒng)響應曲線

4 結語

為提高永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)的性能，提出采用速度環(huán)分數(shù)階PI控制器。首先分析了在id=0矢量控制時，永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)的數(shù)學模型。然后介紹了分數(shù)階PI控制flat phase設計方法，以及分數(shù)階PI控制器的Oustaloup濾波實現(xiàn)方法。分數(shù)階PI控制器比傳統(tǒng)的整數(shù)階PI控制器多了一個可調(diào)參數(shù)，在保證系統(tǒng)具有足夠帶寬的情況下，可提高系統(tǒng)的相位裕量。仿真結果表明，采用分數(shù)階PI控制器時，系統(tǒng)的靜態(tài)特性、動態(tài)特性及魯棒性均優(yōu)于采用整數(shù)階PI控制器時。

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作者介紹

懷紅旗（1981-），男，高級工程師，碩士研究生，現(xiàn)就職于南京六九零二科技有限公司，主要研究方向為伺服系統(tǒng)的設計及應用。

Speed-Adjusting System of the PMSM Based on Fractional Order PI Control Algorithm

Aiming at the unsatisfactory speed and control accuracy of the PMSM with traditional PID, the fractional order PI controller is designed to improve the performance of the speed adjustment system of PMSM. The transfer function is deduced based on the block diagram mathematical model of speed control system. Then the design of fractional order PI controller is introduced by using flat phase method. And an Oustaloup integer order approximation of the fractional order operator is applied. It shows that the fractional order PI controller has a better performance than the integer order PI controller. And it can improve the robustness performance of the PMSM speed-adjusting system. Key words: PMSM; Fractional order PI; Robustness

B

1003-0492(2015)05-0100-03

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