黃 麗，羅文強，李飛翱，劉小珊

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，武漢 430074)

1 研究背景

根據(jù)大量的監(jiān)測資料，降雨和庫水位變化對滑坡位移變形有著重要的影響。降雨和庫水位變化的滯后性和周期性是滑坡變形的重要作用特征。因此在滑坡變形預(yù)測的模型中考慮誘發(fā)因素的滯后性和周期性是非常有必要的。

當(dāng)前，滑坡變形預(yù)測以時序分析為主的研究逐漸增多，例如，繆海波等［1］基于非平穩(wěn)時間序列分析的滑坡變形預(yù)測，用GM(1，1)模型進行趨勢項提取，三角函數(shù)擬合周期項數(shù)據(jù)，應(yīng)用時間序列方法所建模型效果良好;徐峰等［2］提出的基于時間序列分析的滑坡位移預(yù)測模型的研究，采用二次平移分離滑坡位移的周期項和位移項，分別采用GM(1，1)預(yù)測趨勢項和AR模型預(yù)測周期項，滑坡位移曲線擬合較好，與實際位移變化趨勢較一致。以上研究主要是位移與時間單變量時序模型，并未將降雨和庫水位變化直接納入滑坡變形預(yù)測模型中。石愛紅和牛瑞卿［3］提出的庫水位響應(yīng)滯后影響下的滑坡位移預(yù)測模型研究，選取月降雨量與庫水位滯后影響下的庫水位平均變化量為誘發(fā)因子，采用時間序列的方法對滑坡進行了動態(tài)預(yù)測，為滑坡的動態(tài)預(yù)測提供了可靠的依據(jù)，但未能考慮到誘發(fā)因素周期性的影響。針對上述問題，本文根據(jù)誘發(fā)因素的滯后性和周期性的對滑坡變形的影響，采用多元時間序列的方法建立模型:首先用灰色模型進行提取趨勢項位移，然后直接利用滯后的降雨量和滯后的庫水位的變化量預(yù)測當(dāng)期的周期項位移，最后建立描述誘發(fā)因素(降雨量和庫水位變化)的滯后項與滑坡累積位移之間關(guān)系的多元時序模型，并對滑坡位移進行了預(yù)測。

2 滑坡位移的動態(tài)分析

在滑坡發(fā)育過程中累積位移一般呈單調(diào)遞增的特征，具有明顯的增長趨勢，因此滑坡的監(jiān)測數(shù)據(jù)序列可以看作是非平穩(wěn)時間序列［3］。考慮到滑坡由于受到自身地質(zhì)條件的影響會產(chǎn)生一個趨勢項位移;受到降雨、庫水位變化等外在因素的影響會產(chǎn)生一個周期項位移。因此可以將滑坡累積位移序列看成趨勢項、周期項和隨機項，即

式中:St是t時刻觀測的滑坡累積位移;Xt是t時刻的趨勢項;Ct是t時刻的周期項;Rt是t時刻的隨機項。

2.1 趨勢項提取

趨勢項，即反應(yīng)時間序列的發(fā)展動向。滑坡累積位移受其自身基礎(chǔ)地質(zhì)條件的影響會產(chǎn)生一個趨勢向位移?；吕鄯e位移數(shù)據(jù)為單調(diào)遞增的非線性時間序列，且對研究區(qū)不同類型滑坡累計位移監(jiān)測曲線進行分析后發(fā)現(xiàn)，各種檢測曲線為近似指數(shù)增長曲線［4］，所以我們采用GM(1，1)模型提取趨勢項。

GM(1，1)原理［5］如下:

原始數(shù)據(jù)序列表示為

式中:X(0)為一個非負并且相等時間間隔的序列;n為序列的個數(shù)。

當(dāng)X(0)累計求和算子(AGO)，得到序列

則可以通過一個一階微分方程來構(gòu)造GM(1，1)模型，即

式中a和b是待定系數(shù)，可以通過最小二乘法決定，即

其中:

當(dāng)a和b代入方程(1)中時，得到解為

將累計求和逆算子應(yīng)用到上面方程中，可以得到原始數(shù)據(jù)在時刻k的預(yù)測結(jié)果，即

2.2 周期項提取

周期項，即具有一定周期性變化的序列?；吕鄯e位移受到降雨、庫水位變化等外在因素的影響會產(chǎn)生一個周期項位移。本文考慮降雨、庫水位變化量的周期性和滯后性影響，直接將月平均降雨量和月庫水位變化量作為影響周期項位移的影響因子，構(gòu)造多元時間序列模型，即

式中:C(t)表示t月份的周期項位移;Rt表示t月份的平均降雨量;ΔK(t)表示t月份的庫水位相對于(t－1)月份的庫水位變化量;u為常數(shù)項;α為前一期周期項系數(shù)，βi(i=0，1，2，…，n)為滯后 i期的降雨量系數(shù);ri(i=0，1，2，…，n)為滯后 i期的庫水位變化系數(shù)。

同時考慮誘發(fā)因素的周期性和滯后性作用來進行周期項位移預(yù)測，突出了誘發(fā)因素的作用特征。將趨勢項位移與周期項位移疊加得到滑坡變形位移預(yù)測的多元時序模型，更加清晰地突出了誘發(fā)因素與累積位移之間的動態(tài)變化。

3 實例應(yīng)用

白水河滑坡處于三峽庫區(qū)長江寬河谷地段秭歸縣境內(nèi)，南高北低，呈階梯狀向長江展布，滑坡體為一特大型老滑坡松散堆積體，發(fā)育于秭歸向斜西翼，出露地層為侏羅系下統(tǒng)香溪群中厚層狀砂巖夾薄層狀泥巖［6］。降雨及庫水位變化是誘發(fā)白水河滑坡變形的主要因素，位于預(yù)警區(qū)中西部的ZG93和ZG118監(jiān)測點的位移序列較好地體現(xiàn)了預(yù)警區(qū)滑體在降雨和庫水位變動下的整體變形規(guī)律［7］。本文以監(jiān)測點ZG93為代表，取其2005年1月到2006年12月的滑坡累積位移監(jiān)測數(shù)據(jù)，又由于白水河滑坡為降雨與庫水位聯(lián)合作用型的滑坡，所以同時取2005年1月到2006年12月共24個月的月平均降雨量和2004年12月到2006年12月共25個月的月庫水位監(jiān)測數(shù)據(jù)。以所取得累積位移數(shù)據(jù)、降雨及庫水位數(shù)據(jù)為依據(jù)，采用上述方法確定誘發(fā)因素周期和滯后響應(yīng)的滑坡累積位移預(yù)測的多元時序模型。

圖1為白水河滑坡2005年1月到2006年12月的累積位移數(shù)據(jù)曲線(圖1(a))、降雨量數(shù)據(jù)曲線(圖1(b))、2004年12月到2006年12月的月庫水位數(shù)據(jù)曲線(圖1(c))、2005年1月到2006年12月的月庫水位變化量數(shù)據(jù)曲線(圖1(d))。

從圖1(a)可以看出滑坡累積位移曲線明顯地呈現(xiàn)出非線性，單調(diào)遞增性且類似指數(shù)增長的趨勢，在MatLab中利用GM(1，1)模型提取趨勢項，可得到

不考慮隨機擾動項，利用累積位移數(shù)據(jù)減去趨勢項位移得到周期項位移Ct。周期項曲線見圖2。

圖1 白水河滑坡監(jiān)測累計位移、月平均降雨量曲線、庫水位及庫水位變化量與時間關(guān)系曲線Fig.1 Cumumlative displacement-time，aerage monthly rainfall-time，reservoir water level-time，and reservoir water level variation-time curves of Baishuihe landslide

圖2 白水河剔除趨勢項之后的周期項曲線Fig.2 Curve of periodic term displacement vs.time of Baishuihe landslide in the absence of trend term

從圖2可以看出，剔除趨勢項后的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的周期性，由此可以看出受內(nèi)在因素影響產(chǎn)生的趨勢項位移已基本剔除。

首先對比周期項位移與降雨量對應(yīng)的圖形，從整體來看，圖形趨勢大體一致，從細節(jié)上看當(dāng)降雨量第1次達到最大值時是2005年8月，而周期項位移在2005年9月達到一個最大值;當(dāng)降雨量2005年12月減小到最低值時，而周期項位移在2006年3月達到最小值;當(dāng)降雨量第2次達到最大值時是2006年6月，而周期項位移第2次達到最大值時是2006年7月，顯然降雨對周期項位移有滯后性影響。

其次，再對比周期項位移與庫水位變化量的圖形，從圖上可以看出在2005年5，6月時庫水位變化量下降，在6月第1次達到最小(當(dāng)期庫水位下降);而周期項位移曲線在2005年7—9月迅速遞增(周期項位移變大)，在9月周期項位移達到第1個最大值。庫水位變化量在2006年9月和10月開始上升，在10月達到最大值，而周期項位移從2006年10—12月開始迅速變小?？梢?，當(dāng)庫水位下降時，周期項位移加大;庫水位上升時可抑制周期項位移上升，并且從時間上來看庫水位變化量對周期項位移也有一定的滯后影響。

利用Eviews軟件計算滯后項系數(shù)的顯著性，從而篩選滯后項，具體步驟為:

(1)在Eviews中通過自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖對周期項序列進行相關(guān)性分析，判斷周期項序列的當(dāng)前項與前一項是相關(guān)的。

(2)根據(jù)周期項的數(shù)據(jù)曲與降雨量曲線圖和庫水位變化量曲線圖分析，以及公式(2)，計算得到的滯后項系數(shù)所對應(yīng)的P值大小做初步的篩選。P值越大說明此項不能作為周期項位移的可靠指標，要排除;反之，則留下［8］。

根據(jù)上述方法，利用式(2)，在 Eviews的 Estimate Equation中先輸入如下變量:

其中R(i)，R(i－3)，?K(i)和?K(i－2)的系數(shù)對應(yīng)的P值較大(＞0.05)，所以先剔除這幾項，隨后在Estimate Equation中輸入留下的變量C，u，C(i－1)，R(i－1)，R(i－2)，?K(i－1)，得到相應(yīng)的系數(shù)及P值，其中R(i－2)的P＞0.05，所以再剔除R(i－2)這一項，這時對應(yīng)的系數(shù)且P值均＜0.05。最后得到C(t)的表達式為

然后，將趨勢線和周期項疊加則有

從此模型的表達式可以看出，前1個月的月平均降雨量和前2個月的庫水位變化對當(dāng)前一期滑坡累積位移產(chǎn)生的影響，利用此模型對白水河滑坡2007年1—5月的累積位移進行預(yù)測，根據(jù)Rt=St－(Xt+Ct)算出隨機誤差，并分別畫出滑坡累積位移實際數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)對比圖(圖3)和誤差百分比表(表1)。

從圖3可以看出，滑坡實際累積位移曲線與預(yù)測累積位移曲線基本吻合;從表1可以看出，預(yù)測誤差百分比較低，說明此模型能夠較好地反映誘發(fā)因素與累積位移的動態(tài)關(guān)系。

圖3 白水河滑坡監(jiān)測點ZG93累計位移的預(yù)測曲線與實測曲線Fig.3 Curves of predicted and measured cumulative displacement of monitoring point ZG93 of Baishuihe landslide

表1 白水河滑坡監(jiān)測點ZG93累計位移的預(yù)測誤差Table 1 Prediction error of the cumulative displacement of monitoring point ZG93of Baishuihe landslide

4 結(jié)論

(1)降雨、庫水位變化是滑坡發(fā)生的主要外在誘發(fā)因素，降雨和庫水位變化的滯后性和周期性是滑坡變形的重要作用特征。

(2)實例表明，白水河滑坡累積位移受到前一期降雨及前一期庫水位變化量的影響。從模型系數(shù)可以看出，累積位移與前一期降雨成正相關(guān)，與前一期庫水位變化成負相關(guān)，當(dāng)前一期降雨量增大時，當(dāng)期滑坡累積位移會有變大的趨勢;前一期庫水位下降時，當(dāng)期滑坡累積位移變大;當(dāng)前一期庫水位上升時，當(dāng)期滑坡累積位移變化較小。

(3)同時考慮降雨及庫水位變化量的滯后性和周期性影響提高了預(yù)測的精度，平均絕對誤差為1.97%，反映了滑坡位移與誘發(fā)因素之間的動態(tài)關(guān)系。

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