何 青，毛新華，褚東亮

（華北電力大學(xué)能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，北京市 102206）

隨機(jī)激勵(lì)下雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)的振動(dòng)特性

何 青，毛新華，褚東亮

（華北電力大學(xué)能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院，北京市 102206）

基于雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)系統(tǒng)參數(shù)的非線性，建立了隨機(jī)激勵(lì)環(huán)境下壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型。研究了振源頻率改變、振源個(gè)數(shù)選取和振幅變化對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響，分析了磁間距變化對(duì)系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)特性和輸出電壓的影響。結(jié)果表明：當(dāng)振源頻率或振幅改變時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為小幅周期運(yùn)動(dòng)、大幅混沌運(yùn)動(dòng)和小幅周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)多個(gè)振源激勵(lì)時(shí)，壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)具有更大的諧振帶寬和更高的能量轉(zhuǎn)換效率。當(dāng)磁間距為3.9 mm＜d＜6.6 mm時(shí)，系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)特性，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為大幅周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)輸出電壓值最大。

振動(dòng)與波；壓電發(fā)電機(jī)；非線性振動(dòng)；動(dòng)力學(xué)模型；動(dòng)態(tài)響應(yīng)；振動(dòng)特性

隨著電子產(chǎn)品向著低功耗化、微型化、集成化的方向發(fā)展，微能源技術(shù)也亟需被開(kāi)發(fā)和利用。微能源包括微型電池和微型發(fā)電機(jī)，具有較廣的應(yīng)用前景。微型壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)因具有無(wú)污染、易于微型化和集成化、輸出功率高等優(yōu)點(diǎn)而成為微能源利用研究的熱點(diǎn)。傳統(tǒng)的壓電振動(dòng)發(fā)電技術(shù)的研究是基于線性振動(dòng)理論的研究和應(yīng)用，但是基于該理論的壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)存在著諧振帶寬窄、頻率波動(dòng)影響較大、不能適應(yīng)真實(shí)環(huán)境下的隨機(jī)振動(dòng)等諸多問(wèn)題。將雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振理論應(yīng)用于壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)領(lǐng)域能有效解決上述問(wèn)題。雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振是一種特殊的非線性現(xiàn)象，它在隨機(jī)力和噪聲的共同作用下能產(chǎn)生隨機(jī)振動(dòng)，具有較大的輸出振幅，這對(duì)應(yīng)用于隨機(jī)、低頻、弱振幅激勵(lì)的真實(shí)環(huán)境尤為必要。目前，將雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)振動(dòng)理論應(yīng)用于振動(dòng)能量收集技術(shù)的研究很多，但是這些研究多數(shù)沒(méi)有考慮系統(tǒng)的非線性幾何特性，對(duì)系統(tǒng)的仿真也只是做了簡(jiǎn)諧振動(dòng)激勵(lì)情況的研究，這與真實(shí)隨機(jī)環(huán)境中的寬帶多頻激勵(lì)情況相差較大[1－5]。

本文考慮了雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)剛度、阻尼、機(jī)電耦合系數(shù)的非線性行為，建立了隨機(jī)激勵(lì)的雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型。并討論了頻率改變、振源個(gè)數(shù)選取、振幅變化以及磁間距變化時(shí)的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，可為壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)的進(jìn)一步研究提供一定參考。

1 隨機(jī)激勵(lì)環(huán)境下雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 考慮幾何變形非線性的機(jī)械動(dòng)力學(xué)方程

雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)的示意圖如圖1所示，懸臂梁的根部粘有PZT壓電薄膜，能將懸臂梁振動(dòng)引起的形變機(jī)械能轉(zhuǎn)換為電能，外接等效電阻為RL。兩個(gè)相距為d的矩形磁鐵具有相同的質(zhì)量和體積，其中一個(gè)磁鐵固定在長(zhǎng)度為l、質(zhì)量為m1的懸臂梁自由端。當(dāng)兩個(gè)磁鐵之間的距離在合理的范圍內(nèi)，懸臂梁式壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)特性。

圖1 .雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖

懸臂梁式壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)形成雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)振動(dòng)現(xiàn)象所需的非線性力由兩矩形磁鐵產(chǎn)生，磁力的大小與磁鐵材料的屬性及距離有關(guān)，根據(jù)文獻(xiàn)[6]研究結(jié)果，磁力模型力可近似為

式中μ0=4π×10-7H/m，為空中磁導(dǎo)率；M為磁鐵質(zhì)量；V為磁鐵體積。

在懸臂梁式壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)的隨機(jī)共振中，懸臂梁具有較大的幾何變形，其變形的非線性項(xiàng)不能忽略，系統(tǒng)的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)、機(jī)電耦合系數(shù)也不再是常數(shù)項(xiàng)，而是隨著位移的變化而改變的。雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)系統(tǒng)的非線性剛度系數(shù)、非線性阻尼系數(shù)和非線性機(jī)電耦合系數(shù)可近似為[7]

根據(jù)牛頓定律可知，雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程為

根據(jù)方程（1）—（4），方程（5）可變化為

1.2 懸臂梁雙晶梁壓電發(fā)電機(jī)的電學(xué)方程

懸臂梁式雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電機(jī)采用雙晶梁結(jié)構(gòu)，如圖2所示，兩壓電片采用串聯(lián)模式連接。假設(shè)負(fù)載為純電阻電路，根據(jù)電流定律可知

圖2 .雙晶梁串聯(lián)的壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)電路圖

2 方程組的無(wú)量綱化與求解

對(duì)方程（7）進(jìn)行無(wú)量綱化處理，令

對(duì)方程（8）進(jìn)行無(wú)量綱化處理，依據(jù)上述假設(shè)，有如下變換

采用4階龍格—庫(kù)塔法可求得狀態(tài)方程（13）的解。

3 算例與分析

壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)的系統(tǒng)的主要參數(shù)取值為：m=0.051 kg，l=74 mm，CP=1.25×10-7F，磁鐵體積 V=2.56×103mm ，RL=8 500 Ω ，?=0.09，η=0.013，γ=1，λ=0.5，θ1=0.74，θ2=0.37，β=0.72。

3.1 振源頻率變化對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響

當(dāng)振源為單個(gè)時(shí)，系統(tǒng)輸出響應(yīng)隨振源頻率變化的特性如圖3所示。根據(jù)圖3所示的頻率變化分岔圖可知：當(dāng)激勵(lì)頻率Ω＜0.25時(shí)，壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)系統(tǒng)在一個(gè)勢(shì)阱內(nèi)作小幅周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)激勵(lì)頻率0.25＜Ω＜0.56時(shí)，隨著激振頻率的增大，壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的能量增加，系統(tǒng)克服勢(shì)壘閥值躍遷到另一勢(shì)阱內(nèi)作小幅周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)激勵(lì)頻率0.56＜Ω＜0.76時(shí)，系統(tǒng)獲得足夠能量在雙勢(shì)阱間作大幅周期運(yùn)動(dòng)，如圖4(a)所示。當(dāng)激勵(lì)頻率0.76＜Ω＜1時(shí)，系統(tǒng)作大幅二周期運(yùn)動(dòng)，如圖4(b)所示。隨著激勵(lì)頻率的增加，系統(tǒng)進(jìn)入大幅混沌運(yùn)動(dòng)，如圖4(c)所示。當(dāng)激勵(lì)頻率Ω＞1.5時(shí)，系統(tǒng)勢(shì)阱閥值隨著頻率的增大也在不斷增大，此時(shí)的系統(tǒng)能量又不足以克服勢(shì)壘閥值，而只能在一個(gè)勢(shì)阱內(nèi)作小幅周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)如果要使系統(tǒng)作大幅周期運(yùn)動(dòng)，則需要增加激勵(lì)振源的振幅。

圖3 單個(gè)振源激勵(lì)時(shí)頻率變化的分岔圖

圖4 f=0.422時(shí)不同頻率的相平面圖

當(dāng)環(huán)境中有多個(gè)振源激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)隨振源頻率變化的特性如圖5所示。對(duì)比分析圖3和圖5所示的頻率變化分岔圖可知：多個(gè)振源激勵(lì)時(shí)，隨著頻率的增加，壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)系統(tǒng)在經(jīng)歷勢(shì)阱內(nèi)小幅運(yùn)動(dòng)后直接進(jìn)入大幅混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。與單個(gè)振源激勵(lì)相比，多振源激勵(lì)的壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)系統(tǒng)具有更大的頻率諧振帶寬，且在極低頻率激勵(lì)下，多個(gè)振源激勵(lì)系統(tǒng)更容易發(fā)生大幅運(yùn)動(dòng)，有利于提高壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)振動(dòng)能量收集效率。對(duì)比圖5（a）和圖5（b）可知：當(dāng)振源信號(hào)的個(gè)數(shù)分別為3和5時(shí)，其頻率變化的分岔圖走勢(shì)基本一致，但隨著振源信號(hào)個(gè)數(shù)的增加時(shí)，其振幅輸出幅值的均方根值越來(lái)越大。

圖5 多個(gè)振源激勵(lì)的分岔圖

3.2 振源振幅變化對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的影響

圖6為振源頻率固定幅值變化時(shí)的分岔圖。分析圖6可知：當(dāng)激振幅值較小時(shí)，系統(tǒng)的能量較小，不足以克服系統(tǒng)大幅運(yùn)動(dòng)所必須逾越的勢(shì)壘閥值，壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)只能在一個(gè)勢(shì)阱內(nèi)作小幅周期運(yùn)動(dòng)。隨著激勵(lì)幅值的增加，系統(tǒng)的能量得到增大，此時(shí)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)系統(tǒng)第一次越過(guò)勢(shì)壘閥值，發(fā)生跳躍現(xiàn)象，躍遷到另一勢(shì)阱內(nèi)做小幅周期運(yùn)動(dòng)。后經(jīng)二周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，最后隨著激勵(lì)幅值的進(jìn)一步增大，系統(tǒng)再次進(jìn)入小幅周期運(yùn)動(dòng)，這是因?yàn)榧?lì)振幅越大時(shí)，系統(tǒng)做大幅運(yùn)動(dòng)所需要的頻率也就需要越大。

圖6 振幅變化時(shí)的分岔圖

3.3 磁間距變化對(duì)系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)特性及輸出電壓的影響

圖7（a）為不同磁間距時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能特性,圖7（b）為壓電發(fā)電機(jī)的輸出電壓隨磁間距變化的規(guī)律。對(duì)比分析圖7(a)和圖7（b）可知,當(dāng)磁間距為3.9 mm＜d＜6.6 mm時(shí)，系統(tǒng)非線性勢(shì)能函數(shù)具有雙穩(wěn)態(tài)特性，此時(shí)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)在雙勢(shì)阱間的高能量軌道上運(yùn)行，系統(tǒng)輸出電壓達(dá)到最大值。當(dāng)磁間距為d＞6.6 mm時(shí)，系統(tǒng)具有單穩(wěn)態(tài)特性，此時(shí)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)在單勢(shì)阱內(nèi)的低能量軌道上運(yùn)行，系統(tǒng)輸出電壓較小，這是因?yàn)閮纱盆F距離變大時(shí)，非線性磁力也隨之變小，系統(tǒng)的非線性特性變?nèi)?。?dāng)磁間距為d mm＜3.9 mm時(shí)，系統(tǒng)非線性勢(shì)能函數(shù)具有雙穩(wěn)態(tài)特性，但是此時(shí)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)仍然在單勢(shì)阱內(nèi)的低能量軌道上運(yùn)行，這是因?yàn)殡S著磁間距的變小，系統(tǒng)勢(shì)壘值也增大，此時(shí)，如果不增大外界激勵(lì)的幅值或頻率，系統(tǒng)無(wú)法克服勢(shì)壘閥值而只能在單勢(shì)阱內(nèi)做小幅周期運(yùn)動(dòng)。

圖7 磁間距變化對(duì)系統(tǒng)特性的影響

4 結(jié)語(yǔ)

在考慮雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)各參數(shù)非線性特性的情況下，建立了隨機(jī)激勵(lì)環(huán)境下的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)在隨機(jī)激勵(lì)下的振動(dòng)特性進(jìn)行了仿真分析，主要的結(jié)論如下：

（1）當(dāng)振源頻率或振幅較小時(shí)，系統(tǒng)初期具有較小的能量，不足以克服勢(shì)壘閥值，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為單勢(shì)阱內(nèi)的小幅周期運(yùn)動(dòng)，隨著頻率或幅值的增加，系統(tǒng)具有足夠的能量克服勢(shì)壘閥值，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為勢(shì)阱間的大幅混沌運(yùn)動(dòng)，隨著頻率和幅值的增加，系統(tǒng)勢(shì)壘閥值也隨之增大，系統(tǒng)具有的能量又不足以克服勢(shì)壘閥值，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為單勢(shì)阱內(nèi)的小幅周期運(yùn)動(dòng)；

（2）與單個(gè)振源激勵(lì)相比較，多個(gè)振源激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)具有更好的低頻響應(yīng)性能和更大的諧振帶寬，壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)具有更高的能量轉(zhuǎn)換效率；

（3）當(dāng)磁間距處于合理范圍時(shí)，系統(tǒng)具有雙穩(wěn)態(tài)特性，能在高能量軌道上做大幅周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的壓電振動(dòng)發(fā)電機(jī)輸出電壓值最大。

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表2 葉頻振動(dòng)計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比

5 結(jié)語(yǔ)

該計(jì)算方法對(duì)于求解泵內(nèi)由流體脈動(dòng)特征頻率誘發(fā)的振動(dòng)情況，有一定的實(shí)用價(jià)值，但是因?yàn)閿M合精度和激勵(lì)力因素考慮不周全等因素，計(jì)算結(jié)果與測(cè)試值存在一定的誤差，且由于采樣點(diǎn)數(shù)的限制，在頻域分辨率上有很大的欠缺，如果提高采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以得到更高的頻率分辨率，可以進(jìn)行低頻段振動(dòng)加速度的估算。由于復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)高頻段的模態(tài)十分密集，對(duì)于動(dòng)力學(xué)響應(yīng)問(wèn)題，有限元法在低頻段是有效的，而在高頻段誤差比較大，所以在高頻段該計(jì)算方法適用性不大。

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Dynamic Characteristics of a Bistable Piezoelectric Vibration Generator under Random Excitation

HE Qing,MAO Xin-hua,CHU Dong-liang
(School of Energy Power and Mechanical Engineering,North China Electric Power University, Beijing 102206,China)

The dynamic model of a piezoelectric vibration generator under random excitation was established based on the nonlinearity of its parameters.Influences of the changes of frequency and amplitude,and the choice of numbers of vibration sources on the system output response were studied.Effect of the magnetic distance d changes on the bistable characteristics and the system output voltages was analyzed.The results show that when the frequency or amplitude of the vibration source changes,the system response develops from small periodic motion to large chaotic motion,and then returns to the small periodic motion.Under the multi-source excitation,the piezoelectric vibration generator has larger resonant bandwidth and higher energy conversion efficiency.When 3.9 mm＜d＜6.6mm,the system has bistable characteristics and vibrate with large period,and the output voltage of the piezoelectric vibration generator will get the maximum.

vibration and wave;piezoelectric generator;nonlinear vibration;dynamic model;dynamic response;vibration performance

O422.6

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2015.02.009

1006-1355(2015)02-0036-05

2014－09－24

何青(1962－)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向：振動(dòng)能量收集。E-mail:hqng@163.com。

毛新華（1976－），男，講師，博士研究生，主要研究方向：振動(dòng)能量收集。E-mail:30400414@qq.com