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        SCARA 機器人點對點運動軌跡規(guī)劃方法

        2015-12-02 01:12:52趙登步白瑞林沈程慧
        計算機工程 2015年8期
        關(guān)鍵詞:指數(shù)函數(shù)軌跡加速度

        趙登步,白瑞林,沈程慧,李 新

        (1.江南大學輕工過程先進控制教育部重點實驗室,江蘇 無錫 214122;2.無錫信捷電氣股份有限公司,江蘇 無錫 214072)

        1 概述

        隨著機器人在各個領(lǐng)域?qū)ψ鳂I(yè)精度和工作效率需求的不斷提高,要求機器人能夠快速準確地完成作業(yè),即機器人在作業(yè)時既要保證運動軌跡平滑、精準,又要保證運動時間最短,需采用合理的方法對機器人的運動軌跡進行規(guī)劃。對于軌跡為點對點(Point-to-Point,PTP)運動形式的機器人運動軌跡,只需要規(guī)劃機器人關(guān)節(jié)空間軌跡。這種機器人運動軌跡主要用在電子行業(yè)(如電子類的IC 點焊、元器件貼片、分揀裝箱等操作),用于兩點之間的抓放動作。

        若機器人運動軌跡的速度、加速度和加加速度曲線突變或者不連續(xù)將導致機器人運動過程中出現(xiàn)振動現(xiàn)象[1],這將嚴重影響執(zhí)行器的使用壽命,增大機器人軌跡跟蹤誤差,降低跟蹤精度[2]。為此一些研究學者提出采用多項式[3-5]或B 樣條曲線[6-8]插值關(guān)節(jié)空間軌跡以獲得連續(xù)、平滑的軌跡。軌跡時間最優(yōu)對提高生產(chǎn)效率具有重大的意義。對此很多方法是在滿足機器人運動學、動力學約束條件下,通過優(yōu)化算法(遺傳算法[4]、二次規(guī)劃方法[6]、信賴域方法[8]、動態(tài)規(guī)劃算法[9]、特里亞金最小值原理[10])尋優(yōu)時間節(jié)點,使總的運行時間最少,以獲得時間最優(yōu)軌跡。然而這些方法復雜度大,計算時間長,尤其當曲線的階次越高時,計算量越大,這將嚴重影響機器人的實時性。因此,需要研究算法復雜度小、計算簡單的軌跡算法來規(guī)劃PTP 軌跡。

        由于SCARA 機器人執(zhí)行器采用伺服驅(qū)動器驅(qū)動伺服電機,伺服驅(qū)動器一般采用速度控制模式,直接輸入速度曲線,因此可以從速度曲線角度規(guī)劃出最優(yōu)時間軌跡。根據(jù)速度越大時間越短這一特點,通常選擇梯形速度曲線[11]作為時間最優(yōu)軌跡,梯形速度曲線具有公式簡單、計算量小的優(yōu)點[12],但這種曲線會導致加速度突變和力矩不連續(xù)[13],使機器人運行時出現(xiàn)震動現(xiàn)象。為解決加速度突變不連續(xù)問題采用S 形速度曲線[14-16],然而S 形速度曲線算法的表達式是分段形式,方程的形式難以確定;且可能產(chǎn)生無理方程或高次方程,難以在微處理器中求解,并且S 形速度曲線具有加加速度曲線不連續(xù)的缺點[17-18]。

        針對以上研究內(nèi)容的不足,本文提出一種基于時間延時的指數(shù)函數(shù)速度軌跡規(guī)劃方法,此方法規(guī)劃出的速度曲線具有和S 形曲線相同的速度輪廓,不僅擁有連續(xù)的速度、加速度和加加速度曲線,可以產(chǎn)生平滑的軌跡,而且公式簡單、計算量小;軌跡規(guī)劃時只需要確定2 個參數(shù):時間增益α 和延遲時間Td,即可確定規(guī)劃的軌跡。

        2 指數(shù)函數(shù)原理

        定義指數(shù)函數(shù)的表達式為:

        其中,u=αt;νmax表示軌跡的最大速度;α 表示時間增益參數(shù);t 表示時間。其曲線圖形如圖1 所示。

        圖1 指數(shù)函數(shù)曲線

        其表達式分別如下所示:

        一階導數(shù)和二階導數(shù)曲線圖形分別如圖2 和圖3所示。

        圖2 指數(shù)函數(shù)一階導數(shù)曲線

        圖3 指數(shù)函數(shù)二階導數(shù)曲線

        從圖1 中可以看出α 取值越大,指數(shù)函數(shù)曲線越抖,這說明曲線加速度越大。圖2 和圖3 顯示出曲線的一階導數(shù)和二階導數(shù)均連續(xù),即加速度曲線和加加速度曲線將均會連續(xù)和平滑。這為選擇指數(shù)函數(shù)作為速度規(guī)劃曲線奠定基礎,因為其可以產(chǎn)生連續(xù)平滑的加速度和加加速度曲線。

        3 指數(shù)函數(shù)時間增益

        為了保證軌跡規(guī)劃的曲線最大值不超過執(zhí)行器的最大約束范圍。需要研究指數(shù)函數(shù)的最大值。令指數(shù)函數(shù)曲線f(t)的二階導數(shù)和三階導數(shù)都等于0,可知其一階導數(shù)和二階導數(shù)取最大值時的時刻為:

        因此,當給定執(zhí)行器的最大限制條件為Vmax,Amax,Jmax時,為了達到在滿足約束條件情況下運動最快的目的,時間增益α 取值為:

        4 指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法

        針對PTP 運動軌跡,梯形速度曲線產(chǎn)生的軌跡是時間最優(yōu)的,因其采用最大加速度和速度來產(chǎn)生最快的運動。圖4 顯示出其運動位移(m)、速度(m/s)和加速度(m2/s)曲線。圖中運行位移為1 m,梯形曲線最大速度為1 m/s,最大加速度為2 m/s2。由圖4 可以看出梯形速度曲線的加速度曲線是不連續(xù)的,在0.5 s 時刻產(chǎn)生了從0 到最大值的突變現(xiàn)象。這在現(xiàn)實中是不允許的,因為會使執(zhí)行器出現(xiàn)振動現(xiàn)象,降低軌跡跟蹤精度和執(zhí)行器的使用壽命。

        圖4 梯形速度規(guī)劃曲線

        如果采用S 形速度曲線規(guī)劃相同的位移將產(chǎn)生梯形加速度曲線,這將解決加速度突變的問題。然而,S 形速度曲線需要一定的時間來達到最大加速度的值,整個運動過程相比梯形速度曲線會稍微慢一點。圖5 顯示出S 形速度曲線的位移、速度和加速度曲線。從圖中可以看出,S 形速度曲線產(chǎn)生的速度軌跡近似于梯形速度曲線的速度軌跡,可以認為其產(chǎn)生的軌跡是近似時間最優(yōu)的。圖中沒有顯示出S 形速度曲線加加速度曲線,其加加速度曲線是階躍形不連續(xù)的,在執(zhí)行器高速運動時將影響其性能。

        圖5 S 形速度規(guī)劃曲線

        為了解決加加速度不連續(xù)的問題,產(chǎn)生更好的時間最優(yōu)曲線,本文結(jié)合指數(shù)函數(shù)的特點,定義速度曲線公式為:

        其速度曲線如圖6 所示。

        圖6 指數(shù)函數(shù)速度曲線

        圖中t=0~Td為第1 段指數(shù)曲線,Td到Ts為第2 段指數(shù)曲線,第1 段減去第2 段構(gòu)成整條速度曲線。由圖6 可以看出,此速度曲線輪廓和S 形速度曲線輪廓類似,可以認為產(chǎn)生的軌跡也是近似時間最優(yōu)的。

        已知速度求位移可以通過積分的方式獲得,積分時間為0~Td,但此處指數(shù)函數(shù)的積分并不容易,加上速度曲線是由2 段指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的,這增加了積分的難度。從圖中看出,整段速度曲線包括的面積由A1,A2和A3組成,整個位移值可以表示成A1+A2+A3,而A1+A2+A3的值為Vmax·Td的值,所以位移為:

        定義穩(wěn)定時間為達到最大速度值的99.9%。則:

        所以總的運行時間為:

        整個軌跡規(guī)劃流程如圖7 所示。

        圖7 指數(shù)函數(shù)規(guī)劃流程

        5 實驗仿真

        本文實驗仿真對象是SCARA(Selective Compliance Assembly Robot Arm)機器人,如圖8 所示。

        圖8 SCARA 機器人

        SCARA 機器人連桿參數(shù)分別為L1為350 mm,L2為250 mm,d3=100 mm。初始空間位置為(600 mm,0 mm,-100 mm,0°),目標空間位置(-60 mm,388 mm,-350 mm,240°)?,F(xiàn)要從初始位置運動到目標位置,經(jīng)逆解可得SCARA 機器人各關(guān)節(jié)需要運動位移如表1 所示。

        表1 SCARA 機器人各關(guān)節(jié)運動位移

        機器人4 個關(guān)節(jié)機械物理限制條件如表2所示。

        表2 SCARA 機器人物理約束條件

        由推導公式可知時間增益為:

        為方便計算,這里取時間增益為整數(shù),即αmax=4。

        由式(9)得Td1=0.5 s,Td2=0.625 s,Td3=0.39 s,Td4=0.8 s。

        因此,4 個關(guān)節(jié)指數(shù)函數(shù)速度曲線分別為:

        為方便說明本文所設計的軌跡規(guī)劃方法的有效性,采用S 形速度曲線規(guī)劃方法作對比分析。S 形速度曲線的詳細設計過程請參考文獻[16]。

        4 個關(guān)節(jié)運動時間對比分析如表3 所示。仿真結(jié)果如圖9~圖12 所示。

        表3 4 個關(guān)節(jié)運動總時間 s

        圖9 第1 關(guān)節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

        圖10 第2 關(guān)節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

        圖11 第3 關(guān)節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

        圖12 第4 關(guān)節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

        通過以上4 個關(guān)節(jié)的時間對比可以看出,在各關(guān)節(jié)不同約束條件下,S 形速度曲線規(guī)劃比指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃用時短,兩者時間相差近似為固定值0.15 s,可以認為指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法和S形速度曲線規(guī)劃方法運行時間接近,這種規(guī)劃方法也是近似時間最優(yōu)的。圖13 給出指數(shù)函數(shù)曲線最后末端位移運動曲線,由此可知末端可以運動到給定目標點并且誤差很小。從4 個關(guān)節(jié)圖中的加速度曲線和加加速度曲線對比可以得出,指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法規(guī)劃出的曲線明顯要比S 形速度曲線平滑;S 形速度曲線規(guī)劃方法其加加速度曲線會出現(xiàn)突變,而指數(shù)函數(shù)速度規(guī)劃方法的加加速度曲線是連續(xù)平滑的。除此之外,指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法規(guī)劃方法計算量小、公式簡單,只需要控制2 個參數(shù):增益α 和延時Td,即可確定規(guī)劃的軌跡;而S形速度曲線的表達式是分段函數(shù)形式的,需要先計算各分段時間點和根據(jù)總的運動位移判斷曲線由幾段組成,計算量大,公式相對復雜[16]。因此,綜合兩者的性能比較可以確定,指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法比S 形速度曲線規(guī)劃方法更有優(yōu)勢。

        圖13 末端位移曲線

        6 結(jié)束語

        在高速輕載機器人運動過程中,如果機器人運動軌跡的速度、加速度和加加速度曲線突變或者不連續(xù)將導致機器人運動過程中出現(xiàn)振動現(xiàn)象,這將嚴重影響機器人的使用壽命和對位精度。本文為此提出基于指數(shù)函數(shù)的速度軌跡規(guī)劃方法,曲線輪廓和S 形速度曲線相似,但是加加速度卻是連續(xù)、平滑的,而且本文方法和S 形曲線規(guī)劃方法相比,具有公式簡單、計算量小的優(yōu)點,只需要控制2 個參數(shù):時間增益α 和延時Td,即可確定規(guī)劃軌跡。為了提高軌跡規(guī)劃運算速度,可以離線計算3 次指數(shù)函數(shù)的運算,制作成一張表格供在線規(guī)劃時查表。本文方法是針對SCARA 機器人的PTP 運動軌跡,不適用于需要規(guī)劃連續(xù)運動軌跡的笛卡爾空間,因此,下一步的研究是將此方法擴展到笛卡爾空間連續(xù)運動軌跡中。

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